解放军文职招聘考试多复变函数论

 多复变函数论

　　多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广．早在19世纪末，就已经把单复变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理(整函数的表示问题)及米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情形．1895年，法国数学家库辛(P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解．而第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多复变解析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解析开拓性：设Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都可开拓到整个G上．这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展道路．对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去．而不具有这种性质的域则称为全纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻划问题．为此哈托格斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译拟凸性)的概念，1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划全纯域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到1953年才证明一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．Bremermann，1926—)也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决．

　　 另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．Reinhardt)于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—1977)从1922年开始的核函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，庞加莱早就知道C2中圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域．

　　 最早的多复变函数论的综述是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979)及图仑的 erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．

　　 首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年德国数学家施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名的施泰因流形．它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举出一个反例．

　　 复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流形．因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为此，必需把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．

　　 解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映射的基本结果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚层的各次直接象都是Y的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平祐还把奇点解消定理推广到解析空间．

　　 与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共形映射)．庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同胚．1980年以后，有人给出简短的证明．　

　　与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年 于紧黎曼面与光滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在方法上却有微分几何学及分析上的好处． 非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形．凯勒流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲率与拓扑性质联系起来．

　　1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，

 方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非紧、带边缘复流形上．