解放军文职招聘考试大范围分析

 大范围分析

　　“大范围”(Global)也可以译为整体、全局，它的原意是全球．它的对立面是局部．流形的局部是欧几里得空间，在它上面有着丰富的结构，更有着各种坐标系，使我们很容易在上面开展数学分析，因此，长期以来，数学分析基本上是局部分析．局部n维欧几里得空间，经过拼接之后，可以成为各种各样的n维流形，所以，大范围分析也可以说是流形上的数学分析．它包括流形上的微积分，流形上的微分方程，流形上的变分法，流形上的函数论及泛函分析等等．

　　 虽然大范围分析这个名词在1965年才开始出现，可是它的内容至少已有一百多年的历史了．在微分流形上考虑微分算子的思想至少可追溯到黎曼与贝尔特拉米．到19世纪八十年代，大数学家庞加莱，已经在常微分方程论中引进几何方法，开创了微分方程定性理论的新方向．他一反过去具体局部求解的方法，而着重研究大范围内解曲线的分布状况．他发现，微分方程的奇点起着关键的作用，通过奇点的分类，对于解的性态有深入的了解，特别是提出了稳定性问题．后来的发展围绕着稳定性，周期解及极限环等问题展开，而且很快在电路问题中找到应用．庞加莱去世之前，对狭义三体问题(即其中一体的质量远远比其他二体为小)证明定理：(1)运动方程的解除了已知的雅可比积分之外，不存在其他的解，并提出(2)存在无穷多周期解．他没能证明这点，只是把它归结成一个拓扑定理，这就是所谓“庞加莱最后问题”．没有料到，他去世不到半年，这问题就被美国数学家柏克霍夫解决．他还用拓扑方法研究回归问题(如一个星体经过一段时期后是否还回到原来位置附近)，并用极小极大方法来推动动力系统的研究，这可以说是大范围分析的第一个分支．大约同时，有人对环面上的微分方程进行充分的研究．

　　 二十年代中期，柏克霍夫的学生莫尔斯(H．M．Morse，1892—1977)开创大范围变分法，也即莫尔斯理论．莫尔斯理论把流形上的函数的临界点与流形的拓扑性质连系在一起．莫尔斯理论促进了微分拓扑学的大发展，特别是证明了广义庞加莱猜想．

　　二十年代中期，美国数学家惠特尼开创了大范围分析的第三个分支——微分映射奇点理论，到五十年代中期取得突破性进展，其后成为托姆的突变理论的基础．

　　大约同时，英国数学家浩治(W．Hodge， 1903—1975)应用流形上的微分算子来研究微分流形的拓扑性质，即所谓调和积分理论或浩治理论．

　　 数，所谓f的临界点就是使微分df在该点等于零的那些点x∈V，这实际上是函数取极大值或极小值的点的推广．f的临界点集可以是V中任意闭集，因此，企图根据其临界点的性质来对C∞函数进行分类似乎是不现实的．临界点称为非退化的，如果f在这点的某一邻域中的泰勒展开的二次项所构成的多项式是一个非退化二次型；根据定义这个二次型的指数就是临界点的指数．只有非退化临界点并且在这些点(它们必定是 关．

　　奇点理论的主要问题是通过某种等价关系来分类无穷可微映射f：M→N，f与f′看成等价，如果f′=h·f·g，其中g和h分别是M和N的微分同胚，或者g和h分别是M和N的同胚．1955年，惠特尼和托姆开创了研究奇点理论的大规模纲领．他们的新思想主要是集中注意于一般的映射．这个纲领主要由麦泽尔(J．Mather，1942—)在60年代初的工作而大大推进了．他证明，拓扑稳定的映射总构成ε(M，N)中的稠密开子集，但是对于微分稳定的映射，同样的论断只对某些明显走出的维数对(m，n)(“好维数”)才成立．一般的映射总是拓扑稳定的，而在好维数下，一般的映射恒同于微分稳定映射．这里证明的技术在于把微分稳定性的问题归结为所考虑映射的导网的相应问题，然后，由于一个关键的结果，即拉格朗日把魏尔斯特拉斯的“预备定理”推广到C∞函数，从而可以运用交换局部环理论这个工具．