解放军文职招聘考试抽象代数几何学和丢番图方程

 抽象代数几何学和丢番图方程

　　古典代数几何学主要研究三维复射影空间Pn(C)中的代数曲面和代数曲线，实际上与复分析不可分．但是无论从理论上还是从应用上讲，都要求对代数几何学作推广．例如把基本定理——黎曼—洛赫定理推广到代数曲面及高维代数簇上，多个代数簇的交截问题，舒伯特(H．Schubert，1848—1911)的计数几何的严密基础问题(这是希尔伯特第十五问题)等，尤其是许多数论问题更要求有限域的求解．这些都促使代数几何学的抽象化．从30年代起，抽象代数学、代数拓扑学、微分几何学的发展为代数几何学的抽象化提供了许多新工具，尤其是四十、五十年代层论中层的上同调及纤维丛的思想及同调代数方法更导致代数几何学基础的两次革新，并在不定方程上取得两次大突破，这是抽象代数几何学的突出成就．

　　 第一次革新是抽象代数几何学的基础的建立，它反映在魏伊1946年出版的《代数几何学基础》(Foundations of Algeb-raic Geometry，1962年第二版)一书中．虽然从30年代起，范·德·瓦尔登在十几篇论文中已经为代数几何学一些概念(如“一般点”)给了严密的定义，但“交截重数”的概念仍然成问题．魏伊解决了这个问题，他还把定义域由复数扩充到一般的代数封闭域(特别是特征不等于0的域，从而为数论问题的解决打通道路)．他还第一次把代数簇的概念由射影空间中解放出来，也就是给出一个“内在的”定义．相应地对于代数簇的其他概念也作了推广．1949年魏伊又把纤维空间概念引进理论当中．运用新的代数几何学工具，他于1948年成功地证明有限域上曲线的黎曼猜想，1949年提出更一般代数簇上的黎曼猜想，并证明一些特殊情形．这个所谓“魏伊猜想”推动了其后二、三十年的代数几何学再一次更新．

　　 第二次革新主要是格罗登迪克所建立的“概型”的庞大理论．概型理论把所有交换代数学都包括进去．它来源于1955年塞尔的工作．塞尔把多复变函数论中层的语言引到抽象代数簇上，把抽象代数簇定义为环式空间，这样代数簇成为具有查瑞斯基拓扑的拓扑空间，从而可以建立上同调理论，这样可以给出算术亏格等古典不变量一个上同调解释．1958年，格罗登迪克定义了比代数簇远为一般的概型概念，在其后十多年里，运用上同调理论，不仅推广了一系列古典定理，如查瑞斯基的主要定理，而且得出了一系列辉煌的新成就．

　　1．黎曼—洛赫定理的推广

　　1951年小平邦彦把代数曲线的黎曼—洛赫定理推广到代数曲面情形，把原来意大利数学家的不等式变成等式．照这样推广下去到高维存在许多困难，德国数学家希策布鲁赫当时在普林斯顿高等研究院同小平邦彦的讨论得知塞尔了解如何把黎曼—洛赫定理中的不变量用上同调来表示，从而得出一般代数簇的黎曼—洛赫定理的表达式，1953年底又知道托姆的配边理论，于是在1954年一举证明一般情形的黎曼—洛赫定理．1958年格罗登迪克又推广到更一般情形，最后纳入阿拉雅(M．Atiyah，1929—)—辛格(I．Singer，1924—)指标定理．

　　2．奇点解消

　　 奇点解消是通过坐标变换把奇点消去或化简．19世纪已知代数曲线的奇点可以通过双有理变换消去，而代数曲面则一直到1935年才由沃克(R．Walker，1909—)及查瑞斯基用不同方法给出证明．三维代数簇一直到1944年时查瑞斯基给出证明．高维代数簇的奇点解消越来越复杂，正由于一般理论的建立，1964年日本数学家广平中祐(1931—)一举证明特征为0的情形，但特征为P的情形还未解决．

　　3．代数曲线的参模空间结构

　　1965年，美国数学家曼福德(Mumford，1937—)证明，任意代数闭域亏格为g的代数曲线的参模空间Mg具有抽象代数簇(概型)结构．1969年德林(Deligne，1944—)及曼福德证明Mg是不可约拟射影代数簇．塞梵利曾猜想它们是有理的，并证明g≤0时是有理簇的象，但曼福德等人证明g≥23非但不成立，而且还是一般型的．

　　 与参模空间结构有关的变形理论于1955年由小平邦彦及斯宾塞(D．Spencer，1912—)系统给出．

　　4．高维代数簇的系统分类

　　 高维代数簇要比代数曲线和曲面复杂得多．单有理代数曲线是有理的，也即同射影曲线双有理等价．但是对于三维及三维以上代数簇，长期以来并不知道，1970年左右，三组数学家用不同方法举出反例，由此可以看出高维问题极为困难．

　　 但1972年左右，日本年轻一代数学家饭高茂(1940—)仿照代数曲面的分类，引进小平维数对n维代数簇分成四类．其后其他日本数学家也对高维代数簇进行更细微的探讨，其中突出的结果有1978年森重文(1951—)对光滑完全不可约n维代数簇是有理簇给出充分必要条件，即具有丰富的切丛，而且对特征大于0的代数闭域也成立．1987年森重文等完成三维代数簇的分类工作．

　　代数几何学在数论上取得两项突破：

　　第一个突破是德林在1973年证明的魏伊猜想．魏伊猜想是关于有限域上代数簇的同余ζ函数的黎曼猜想，对于代数曲线惰形，阿廷在1924年仿照黎曼ζ函数对于特殊情形定义了同余ζ函数．1931年施密特(F．K．Schmidt，1901—1977)把它推广到一般情形．1934年哈塞证明椭圆曲线的同余ζ函数的黎曼猜想．对于亏格≥2的曲线，魏伊用他的抽象代数几何学工具于1940年给出了征明，1948年全文发表．1949年他对于一般的代数簇，定义类似的同余ζ函数并提出类似的黎曼猜想即所谓魏伊猜想．他还对一些特殊情形作了证明．以证明魏伊猜想为目标，格罗登迪克学派发展一系列新工具，特别是平展上同调使德林走完最后一步．魏伊猜想对许多数论问题的解决有极大的促进，特别是证明拉曼努詹猜想以及三角和的估计．

　　 第二个大突破是法尔廷斯(G．Faltings，1954—)关于莫德尔(L．Mordell，1888—1972)猜想的证明．莫德尔猜想是说：如果K是任何数域，x是K上定义的亏格大于1的任何曲线，则x只有有限多个K有理点．它的最简单的情形是指如果n次多项式方程f(x，y)=0的系数是有理数，且n≥s，则这方程的有理数解的个数只有有限多个．如果方程系数是代数数，类似的结果也成立．1928年魏伊证明解构成的点群是有限生成的．1929年西格尔(C．L.Siegel，1896—1981)用丢番图逼近的方法证明多项式方程的整数解是有限的．其后30年间这问题进展不大．代数几何学的进展有助于得到一些结果，特别是1963年到1965年许多数学家独立证明，如果把代数数域换成代数函数域则答案是肯定的．1962年沙法列维奇(Ц．Щафаревиц，1923—)提出一个猜想，1968年证明了由沙法列维奇猜想可以推出莫德尔猜想．而沙法列维奇猜想又与1963年发表的泰特猜想有关．这样利用代数几何学的工具在这些猜想之间来回穿梭，终于在1983年完成了莫德尔猜想的证明．