解放军文职招聘考试概率论的由来

 概率论

　　概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，它产生于17世纪中叶．古典概率论来源于赌博中提出的一些问题，当时用的工具主要是排列组合理论，由此得出概率及数学期望等概念．另外，人口统计，射击理论，特别是观测误差的理论，使概率论与解析方法相结合，引出了像正态分布、大数定律等概念，引进了在自然科学中有着广泛应用的最小二乘法．一直到20世纪二十年代之后，概率论才从一个较小的、孤立的课题，形成一个有自己体系的独立学科．1925年到1940年，被称为概率论的英雄时代，在这段时期中，对概率论做出最大贡献的有下列几位数学家：法国数学家保尔·莱维，他在1919年被高等工艺学校邀请讲授高斯正态分布律及误差理论，结果他发现，这门学科的数学基础很缺乏，这激起他开始进行这方面的研究．其后十几年间，他和别人完全解决了经典的极限定理问题，并为随机过程理论奠定基础；苏联数学家柯尔莫哥洛夫，他在1933年对概率论的公理化标志着概率论这门学科的正式诞生，他在极限定理及随机过程理论方面也有决定性的贡献；苏联数学家辛钦(А．Я．ХИНЦИН，1894—1959)、美国数学家杜布(J．L．Doob，1910—)、费勒(W．Feller，1906—1970)也都是现代概率论的奠基者．第二次世界大战以后，分别形成了法国学派、苏联学派和美国学派三个主要的概率论研究中心．

　　概率论的最基本概念是“概率”，它也叫“几率”“或然率”等，是随机事件的或然性或者可能性的数值估计．它有多种定义，如由大量试验所计算出来的“频率”(统计定义)，由“等可能性”出发，按照组合方法的古典定义，以及做为认识主体“信念程度”的定义．但是只有到1900年测度论发展起来以后，才有正确的理解．这时，我们把“事件”归结成“集合”，比如掷一颗骰子得1，2，3，4，5，6点，我们把它对应于{1，2，3，4，5，6}这样一个集合，而事件的“概率”，则表示集合中各子集合的“测度”，只要它满足整个集合的测度(概率)，等于1．因此，如果骰子没有不均匀处，发生{1}，{2}，…，{6}事件 　　

如此等等．这样的概率表述方法的优点在于它可能推广到可列无穷集合上乃至一般的无穷集合如连续统(区间)上．

　　古典概率论两大极限定理是由伯努利和德·莫伏瓦在18世纪上半叶所奠基的大数定律和中心极限定理．前者是说当试验次数n增加时，取得成功的频率与概率p的偏差几乎可以任意小，比如掷硬币，掷的次数

 频率与概率的误差分布越来越接近正态分布．这两个定理经过拉普拉斯、泊松、切贝舍夫、马尔科夫的经典研究之后，在1900年由李雅普诺夫开创了一个新时期．他引进特征函数，这实际上是过去应用很久的傅里叶变换法(傅里叶、拉普拉斯、油松及柯西均在不严格的情形下用过)，并改进切贝舍夫及马尔科夫的大数定律，同时证明李雅普诺夫定理．马尔科夫用截断变量的矩量法加以证明．后来柯尔莫哥洛夫于1926年最终给出大数定律的充分且必要条件，林德伯格(J．Lindeb- erg)1922年给出中心极限定理的充分条件．最后1937年费勒证明林德伯格条件是充分且必要的，从而结束了古典极限定理的研究时期．

　　大约同时，也开始了对极限定理的新研究．例如，极限分布不是正态分布的情形，求独立且同分布的随机变量的和收敛于给定的极限的条件．关键的一步是意大利数学家芬耐蒂(B．de．Finetti)在1929年引进无穷可分分布律，1934年莱维给出它完全的刻划．1936年辛钦证明某种条件的独立随机变量和的极限分布都是无穷可分分布律．最后1939年苏联数学家格涅坚科(Б．В．Гнедко，1912—)及德国数学家杜 分必要条件 .

　　概率论当前最重要的分支是随机过程理论．比如一个口袋里含有b个黑球及r个红球，一次摸出一个球，摸出以后不放回，如果第七次摸到黑球，则令xt＝1，否则令xt＝0，从而xt是个随机变量，每一次具体抽样，就得到一个样本序列w，{x1(w)，x2(w)，…xb＋(w)}，这序列称为一个随机过程．这个例子中t的值及xt的取值均为离散的，我们称之为离散随机序列，同样可以推广成连续随机序列，离散随机过程及连续随机过程，随机过程研究诸xt之间的依赖关系．

　　随机过程的研究不仅有内在的意义，而且还与数学许多领域有着密切联系．它由测度论、位势论、傅里叶分析、巴拿赫空间中的算子半群，谱理论及遍历理论得到解析工具，反过来它又应用到函数不等式、微分方程、信息论、统计数学等领域，并通过随机积分应用到数学物理的许多分支中去．

　　最早最严格定义并深入研究的随机过程有马尔科夫过程及平稳过程．

　　马尔科夫过程是1906年由俄国数学家马尔科夫(A．A．Ma-Рков，1856—1922)提出来的．粗浅地讲，它的含义是，一个体系将来的发展只与体系的现在状况有关，而与体系过去的历史无关．

　　离散时间的马尔科夫过程称为马尔科夫链．1907年保尔·埃伦菲斯特(Paul Ehrenfest，1880—1933)夫妇提出一个简单而漂亮的马尔科夫链的模型．考虑两个容器A和B，A中盛有标记 1到N号码的球，然后在一个签盒中(号码 1到N)抽一个签得x，就把号码为x的球由它所在的容器搬到另一容器中．当然B最初是空的，第一步显然由A搬到B，其后A中球数就指数地减少到N/2，其后就在N/2附近摆动．这有点像气体由一瓶中扩散到真空瓶中的过程，所不同的是，这样一个过程总是以概率1回到初始状态，也就是全部N个球回到容器A，当然回到初始状态所经历的时间可以是很长很长的，而且永远也不返回初始状态的过程在所有过程当中是极少极少的．

　　马尔科夫过程最典型的例子是布朗运动．1827年，美国植物学家布朗(R．Brown，1773—1858)在显微镜下观察到液体中的颜料粒子做奇特的无规则运动．他在1828年发表这个结果后，曾引起许多不同意见的争论，长时间没有满意的定量解释．一直到1900年爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955)和波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(H．VOO SOOIOChOWSki，1872—1917)独立给出物理上的解释，这就是布朗运动是分子无规则碰撞的结果．他们还得出粒子在某一轴上投影的位置．

 (J．Perrin，1870一1942)在1908年发表了他关于布朗运动的实验结果，并给出测定阿伏加德罗常数的一个精确测定方法．这就无可辩驳地证明了原子论，打击了唯能论．1916年，斯莫卢霍夫斯基把布朗运动归结为一个数学问题，但不是从随机过程的观点出发的．第一个从数学上深刻研究布朗运动的是维纳，1923年他第一次给出随机函数(即后来随机过程)ω(t，ω)的严格定义，证明x=σω(c，ω)可以是布朗运动的理论模型．这种函数早在1900年已被法国数学家巴夏里耶(L．Bachelier，1870—1946)在他的博士论文中考虑过，不过他的论文是投机理论的．他在寻求股票市场的涨落过程中，发现W(t，w)的许多特征性质．他实际上发展了一种随机过程理论，而且也提到布朗运动．不过，由于当时对于概率论的普遍忽视，没有受到注意．维纳从样本路线的观念出发，研究“路线”的集合，引进维纳测度，并证明几乎所有轨道是连续的．1933年英国数学家佩莱，波兰数学家齐格蒙与维纳合作证明布朗运动的几乎确定所有轨道在每一点都是不可微的．这种连续而不可微函数在过去很长时间被认为是病态，而现在成为概率论中最重要的一类函数．

　　而从马尔科夫过程观点研究布朗运动的是保尔·列维．他从1938年起，对布朗运动进行系统的研究，他研究随时间增长的样本路线，总假定未来与过去无关这种马尔科夫性质．