解放军文职招聘考试代数拓扑学及微分拓扑学

 代数拓扑学及微分拓扑学

　　1939年底波兰数学家爱伦堡(S．Eilenberg，1913—)到达美国，开始了他同麦克莱因(S．Maclane， 1909—)及斯廷洛德(N．Steenrod，1910—1971)的合作，为代数拓扑学奠定了基础．特别是他1944年定义了奇异(上)同调群并和斯廷洛德在1945年把同调论公理化，结束了战前那种多种同调论并存的局面．1939年英国数学家怀特海(J．H．C．Whitehead，1904—1960)引进了CW复形并对同伦等价条件进行代数刻划，使代数拓扑学有了相当合理的对象．1947年斯廷洛德发展了障碍理论，定义了第一个同调运算Sq，成为代数拓扑学的重要工具．

　　但是战后代数拓扑学的大发展得力于法国学派的兴起．特别是1948年H·嘉当(H．Cartan，1904—)讨论班，对代数拓扑学产生重大突破．早在三十年代末，产生纤维丛的概念，这时扩展成纤维空间的概念，成为拓扑不变量的有力工具．1951年塞尔(J．P．Serre，1926—)引入1945年勒瑞发明的谱序列方法首先对球面同伦群的计算得出一系列成果．1952年道姆(R．Thom，1923—)得出道姆基本定理，直接导向配边理论的发展．1956年美国数学家鲍特(R．Bott，1923—)对于李群的稳定同伦群得出周期性定理，这一结果是K理论的重要组成部分．1970年外斯特(J． West)及钱普曼(T．Chapman， 1940—)证明任何CW复形的同胚都是单同伦等价．

　　由于代数拓扑学工具的发展，促进了微分拓扑学的大跃进．微分拓扑学主要研究流形的拓扑学，随着流形上拓扑结构、分段线性(组合)结构及微分结构的不同，流形分成三大范畴TOP，PL，DIFF．早在30年代，美国数学家凯恩斯(S．Cairns，1904—1982)等就证明，凡是微分流形都可以加以剖分产生与其微分结构相协调的组合结构．但是组合流形反过来并不一定有相应的微分结构，这首先由瑞士数学家克外尔(M． Kervaire，1927—)在1959年举出反例．更令人震惊的是美国数学家米尔诺(J.Milnor，1931—)在1956年证明七维球面上有多种不同的微分结构．其后他们还定出球面上到底有多少种不同的微分结构．1960年美国数学家斯梅尔(S．Smale，1930—)证明了广义庞加莱猜想，即五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与球面同胚．对于拓扑流形何时存在PL结构，以及其PL结构是否唯一的问题(去猜想)，为美国数学家克拜(R．Kirby，1938—)及基奔曼(L．Siebenmann，1939—)在1969年完全解决，他们得出了不存在的“障碍”．他们的方法用到无限维的分类空间．

　　七十年代最困难的三维拓扑学开始取得突破，虽然原来的庞加菜猜想还没有得到证明，但美国数学家色斯顿(W．Thurs-ton，1946—)证明，除了三维球面情形之外，其他三维流形可以得到完全的分类．更令人惊异的是，最为困难的是四维流形情形，1981年美国数学家弗里德曼(M．H．Freedman，1951—)证明拓扑的庞加莱猜想，而且利用英国数学家唐纳森(S．Donaldson，1957—)的结果，可以证明，四维球面上有无穷多种微分结构．低维流形最有兴趣的扭结问题长期以来没有取得新突破： 1984年琼斯(V．Jones， 1953—)得到新的多项式， 1988年高尔登(C．M．Gordon)等证明了蒂茨猜想(1908)．