解放军文职招聘考试朗道的数论

 数论

　　1912年，德国数学家朗道(E．Landau，1877—1938)在英国剑桥召开的第五届国际数学家大会上十分悲观地说：即使要证明下面比较弱的命题，在当时也是十分困难的：存在一个正整数k，使得每个≥2的整数都是不超过k个素数之和．

　　不难看出，这个命题同希尔伯特不久前证明的华林问题在形式上十分相似．它们都是把任一整数表示成为有限多个某种特殊类型的整数之和的可能性问题．希尔伯特只解决了这种表示的存在性问题，但并没有给出法数的估计．1918年英国数学家哈代(G．H．Hardy，1877—1947)与印度数学家拉曼纽詹(S．Ramanujan，1887—1920)首先发表圆法，但没有应用于哥德巴赫猜想及华林问题．

　　1920年开始，哈代与李特尔伍德发表一系列论文，总题目是“‘数的分拆’的某些问题”，系统地发展了圆法并首先应用于华林问题，并给出g(k)及G(k)的明显公式，其中1923年发表的Ⅲ，Ⅴ两篇文章就是专门讨论哥德巴赫猜想的．

　　1920年挪威数学家布龙(V．Brun，1885—1978)改进了原始的筛法，创造了所谓布龙筛法，得到了任何大偶数都可以表示为两个数之和，每个数的素因子数目不超过9个的结论．(我们简记为9＋9)．后来相继改进为(7＋7)(1924)，(6＋ 6)(1932)，(5＋5)(1938)和(4＋4)(1940)， 1947年挪威数学家塞尔伯格(A．Selberg，1917—)大大改进了布龙筛法，它能得出更好的定量结果(相当于2＋3)．1941年苏联数学家林尼克(Ю．В．ЛИННИК，1915—1972)发明大筛法，1948年匈牙利数学家瑞尼(A．Renyi，1921—1970)把大筛法加以精密化，首先得出(1＋c)．1965年英国数学家罗斯(K．F．Roth，1925—)及意大利数学家明比利(E．Bombieri，1940—)大大改进了大筛法，得出大筛法不等式，因此可以得出(1＋3)．1966年陈景润改进前人的方法，宣布了(1＋ 2)， 1973年发表了全部证明．

　　研究加法数论的另一个初等方法是密率法，它是由苏联数学家史尼列尔曼在1930年创造的，首先解决了朗道在1912年提出的较弱的哥德巴赫猜想，这在当时引起了轰动．朗道等人很快就对方法及结果加以改进，不仅得出新结果，而且应用到其他数学领域．

　　黎曼猜想是如此重要，以致成为许多20世纪数学家研究的对象．

至少有AT那么多(其中A是一个正实数)．1942年，挪威数学家塞尔伯

 临界线上．

　　代数数论是研究代数数域及其代数整数环的结构的．所谓代数数是指满足有理整系数代数方程的根，如果代数方程的首项系数为1，则代数数称为代数整数．最早把整数推广到代数整数的是高斯，他在1831年为了研究四次互反律而引进所谓“复数”，即形如

 的数，其中ρ是1的三次根， a，b是有理整数．而一般的二次数域理论是高斯(1801)首先用二元二次型的术语表达的，整系数二元二次型在线性变换之下可以划分为等价类，给定判别式的二元二次型的等价类数目称为类数．类数的计算是代数数论中头等重要的问题．狄利克雷(1840)给出二元二次型的类数公式．高斯和狄利克雷的工作后来被翻译成二次数域的语言，连同库默尔发展的分圆域理论，构成代数数域的理论基础．它们分别由戴德金在1871年到1894年用理想的语言以及克罗内克在1882年用除子的语言所发展，而真正代数数域理论的完整形式最后是希尔伯特在他的《数论报告》(1897)中奠定的．

　　希尔伯特不仅统一了以前的零散理论，而且把它们大大发展了．他引进类域及范数剩余记号等概念，而且在特殊情形下研究类域许多性质，然后推广到一般情形下的猜想．大约十个这样的猜想构成20世纪代数数论的主流——类域论．该分支研究数域k的阿贝尔扩张与k的某些理想类之间的一一对应，而且描述在这种对应之下，k中的素理想如何在k的阿贝尔扩张中分解．希尔伯特的猜想从本世纪初起一个一个地被证明，

 本数学家高木贞治(1875—1960)的成果．高木(1920)还推广了类域的概念，证明代数数域k的任何阿贝尔扩张K，都可以表示为k上的类域，这把经典代数数域理论纳入类域论的框架之中．1927年阿廷证明了一般互反律，建立了k的阿贝尔扩张的伽罗瓦群与k的理想类群的某一商群的明显同构，从而完成类域论的建立．不过这些证明都极复杂，而且运用了解析工具．20年代末，法国年轻的数学家厄布朗及薛华荔开始对类域论进行探索及改造，他们在诺特、阿廷及哈塞(H． Hasse，1898—1979)的影响下，不仅简化了许多证明，而且薛华荔在他1933年的博士论文中奠定了自成体系的类域论基础．在其后几年的研究中，他去掉解析工具，得出了完整的算术证明(1935)，并把有限次扩张推广到无穷次扩张上(1936)，为此他引进伊德尔，从而成功地完成从“局部”到“全局”的过渡——直接由局部类域论得出全局类域论所有结果(1940)．40年代，由于同调代数的发展，阿廷和他的学生泰特(J.Tats，1925—)用伽罗瓦上同调的语言重新表述类域论．

　　希尔伯特在1900年提出的著名的23个问题中数论的问题除了素数

 之类的数是否超越数．它的定义如下：一个数如果满足有理系数的代数方程，就叫做代数数．不是代数数的数就称为超越数．这种问题很难，直到1882年才证明圆周率π是超越数．希尔伯特曾对他的第七问题的解决很悲观，认为黎曼猜想的解决要比这个问题容易．不料情况完全相反，1929年苏联数学家格尔芳德(A．O．ГеЛЬФОНД，1906—1968)取得了突破，不久就解决了第七问题．近年来超越数论取得了重大的进展，并解决一系列经典问题，比如人们很早(1844)猜想ab－cd＝1只有唯一一组解32－22＝1，一直到1977年才由于超越数论的进展而得到肯定解决．