解放军文职招聘考试数论——最古老的数学分支之一

 数论

　　数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范式，直到19世纪才成为可能．在这方面，主要应归于四位数学家：高斯、狄利克雷、黎曼和库默尔．

　　1801年，高斯发表了《算术探讨》，在这部伟大的著作中他把记号标准化了，把现存的定理系统化并推广了，引进了许多新的方法，解决了许多问题，发现了一些新的成果，因此这部著作标志着数论研究新纪元的开始．他在数论方面的主要贡献是：开创了同余理论的研究，通过研究复整数的理论而奠定了代数数论的基础，系统化并扩展了型的理论，关于素数定理的工作．

　　高斯在《算术探讨》中首先引入了同余的记号

a≡b mod m

　　并且系统地给出了关于同余式的算术运算．随后就给出了关于多项式同余式基本定理的证明：一个n次同余式

Axn＋Bxn-1＋…＋Mx＋N≡0(modp)

 

　　高斯在证明了著名的二次互反律之后，在19世纪20年代，他又开始研究高次同余式的反转定律．在1828—1832年的论文中，他给出了双二次剩余定理及其证明，但没有发表．1836—1837年雅可比公开给出了证明，高斯的学生爱森斯坦(F．G．Eisens－tein，1823—1852)从1844年起先后给出了5个证明．1808—1817年高斯研究并得出了三次反转定律，但直到他去世后人们才发现他曾获得过这一成果，三次反转定律的第一个证明是1844年爱森斯坦给出的，但雅可比在1827年曾在一次讲演中给出了这个定律及其证明．一般地，设k＞1，m＞1，若有x适合xk≡n(modm)，(n，m)＝1，则n叫做模m的k次剩余，人们可以一般地讨论k次反转定律．

　　利用多项式的同余式，柯西在1847年还给出了复数的另一种定义：f(x)≡a＋bx modx2+1．因为x2≡-1modx2＋1，故有

　　f(x)＋g(x)≡(a＋bx)＋(c＋dx)≡(a＋c)＋(b＋d)x modx2＋1，

　　f(x)·g(x)≡(ac-bd)＋(ad＋bc)x modx2＋1．令x＝i，人们可以把对i2＋1有相同余式的所有多项式归入同一类，那么这些类就是复数．我们看到，通过这种方式定义复数在逻辑上也是完备的，这一点可与哈密顿引进有序偶定义复数交相辉映．

　　千百年来，人们都只承认0，±1，±2，…，是整数，但高斯却引入了“高斯整数”——复整数a＋bi，(a，b是整数)，如2＋3i，-1-5i．在1820年左右，为了讨论双二次剩余和三次剩余理论，高斯需要将形如4n＋1的素数如5分解成复的因数，因此他就认识到必须超出通常的整数域而引进复整数，这样5＝(1＋2i)(1－2i)可以分解了．早年欧拉和拉格朗日曾将复整数引入数论，但高斯却使它具有了异乎寻常的重要性．

　　在高斯所引入的复整数数论中，可逆元素不再是±1，而是±1，±i．如果一个复整数是两个非可逆元素的复整数的乘积，则这个复整数就叫做合数．17＝(1＋4i)(1－4i)，因此是合数，而3，7却是复素数．

　　高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质，普通素数的许多定理可以转化为复素数的定理．更为重要的是，由高斯引入的复整数理论开辟了代数数论这一新的数论分支．这一理论，在19世纪得到了巨大的发展．

　　从1844年开始，库默尔开始了他的理想数理论的工作．他把xp＋yp(p为素数)分解成(x＋y)(x＋αy)…(x＋αp-1y)，其中α满足

αp-1＋αp-2＋…＋α＋1＝0．

　　然后他称f(α)=a0＋a1α＋…＋ap-2αp-2(ai为有理整数)为复整数，这是他引进的一类代数数．

　　开始，他以为在上述所引进的那类代数数中唯一因子分解成立，但1843年狄利克雷告诉他，这是错误的．于是他开始想到借助于某些数——他称之为“理想数(Ideal Complex Numb-ers)，可以使得唯一因子分解

 

　　四个因子的乘积．不仅如此，2和3也可以分解了，2＝α12，3=α2·α3．借助于理想数，库默尔证明了著名的费马大定理xn+yn＝zn中n直到100的情形．他还提出了理想素因数等基本概念．

　　紧接着高斯和库默尔的工作，狄利克雷创立了现代代数数理论．首先他引入了n次代数数的概念：一个数r，如果它是方程a0xn＋a1xn-1+…＋an-1x＋an＝0的根，而不是次数比n低的这种方程的根(ai为有理整数)，则称r是一个n次代数数；若a0=1，则r称为n次代数整数．值 数整数，它是方程x2＋x-1＝0的根．随后，他引入了数域的概念，有理数域是最小的数域．对于一个域F，要求对于α，β∈F，有α±β，αβ，α/β(β≠0)都属于F．从有理数域Q出发，添加一个n次代数数θ，就组成了一个n次代数数域R(θ)．不仅如此，戴德金还引入了环的概念，对于一个环F，要求对于α，β∈F，有α±β，αβ∈F．

　　有了这些准备，戴德金于1871年给出了理想的定义：设Q(θ)为一n次代数数域，α1，α2，…，αq为Q(θ)内任意给定的q个整数，称所有形如η1α1+…＋ηqαq(η1，η2，…，ηq为Q(θ)中的整数)的整数所成的集合为由α1，…，αq生成的理想，并用(α1，…，αq)

 　

(其中N(α)为α的范数)，同时给出了理想的唯一分解定理：任一不为单位理想的理想A可以分解为素理想的乘积，如果不计其排列的次序，则分解法唯一．

　　在1880年左右，克罗内克(L．Kronecker，1823—1891)通过对给定域k添加未知量x1，x2，…，xn而引入模系的概念重新奠定了代数数域的数论基础，在这方面，他不仅吸收了高斯、库默尔(克罗内克是他的得意门生)等人的思想，而且他利用了柯西、刘维尔、康托尔等人的结果．这样，在19世纪人们就知道了如下的一系列域：有理数域、实数域、复数域、代数数域以及一个或多个变数的有理函数域．

　　19世纪代数数论工作的顶峰是希尔伯特的成就．在1893—1898年期间，他主要从事代数数域理论的研究．

 

　　1893年德国数学会要求他和闵科夫斯基(H．Minkowski，1864—1909)在两年之内提交一份数论的报告．闵科夫斯基不久就放弃了这个报告，而希尔伯特却在1896年的年报上(发表日期是1897年4月)发表了不朽的报告《代数数域理论》(Die Theorie der Algebr-aischen Zahlkrper)．这份报告不但弥补了许多前人研究的漏洞，而且把整个理论铸成一个统一的整体，给出了获得这些理论的新颖、漂亮、强有力的方法．他引入了范数剩余记号，相对循环域的中心定理，后来在1898年又引入了类域的概念．同时在已知代数数域k上的相对伽罗瓦域k的理论、相对阿贝尔数域理论、范数剩余理论等方面都得出了杰出成果．我们认为，他下面的一段话可以作为19世纪代数数论的总结：“数域理论是一座具有罕见的优美及和谐的大厦，这个建筑最富有匠心的部分我觉得是阿贝尔数域理论，它通过库默尔的高次互反律的工作以及克罗内克对椭圆函数的复数乘法的研究而开辟”．

　　解析数论是19世纪数论新产生的另一个重要分支，它的基本思想是将微积分等解析方法和解析成果引入数论研究中．解析数论可以认为是狄利克雷创立的．1863年，他发表了《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一书，这本书可以看作是解析数论产生的标志．他第一次利用解析方法证明欧拉和勒让德分别于1783、1785年提出的一个猜想：每一个算术序列

a， a＋b， a＋2b，a＋3b，…，a＋nb，…

　　中包含无穷多个素数，其中(a，b)＝1．1837年狄利克雷证明了这一猜想．在证明的过程中，他引入了著名的狄利克雷L函数(Dirichlet L-function)：

　　

　　从这以后，解析数论就开始蓬勃发展了．数论中有些问题不用解析方法就不能解决或者解决起来十分困难．这样，解析数论也就日益受到重视．

　　解析数论在19世纪取得的最大成就是证明了素数定理．对于不超过x的素数的个数，我们用π(x)表示．从欧几里得时代开始，人们就试图弄清素数的分布规律．1800年左右，勒让德提出了一个令人惊奇的渐近公式

　　

　　 　

 

　　1852年左右，俄国数学家切比雪夫(П．Л．Чебышев，1821—1894)证明了切比雪夫不等式：

　　

　　其中0.922＜A1＜1，1＜A2＜1.105．

　　他还引进了两个重要的“切比雪夫函数”：

　　

　　 　 　

等价于θ(x)～x或ψ(x)～x(x→＋∞)．

　　1874年左右，梅滕斯(F．Mertens，1840—1927)证明了有关素数平均分布的三个重要结果：

 

　　1859年，黎曼发表了题为《论不超过一个给定值的素数个数》(Ueber  拉在1737年得到的著名公式

　　

　　 

 　

　　但是，黎曼把s看作复变数．对于s＝x+iy，当Res≤1时级数不收敛，因此有Res＞1．他证明了由欧拉提出的一个关系式：

　　

　　 

 　

　　黎曼的工作表明，研究素数分布的关键在于进一步讨论复变函数

 向、利用他的方法，利用19世纪复变函数论中高深的整函数理论，在1896年，终于由阿达玛和法雷·布散(Charles－JeandelaValléePoussin，1866—1962)同时独立地证明了素数定理：

　　

　　这是一个十分优美的定理，它把两个似乎毫无关系的数学内容(对数与素数分布)紧密地联系在一起了．为了证明它，人们花费了长达一百多年的时间．这个定理在整个解析数论中占有十分重要的地位．在1896年以后，人们给出了许许多多进一步的结果，同时也得到了许多不同的证明方法．

　　19世纪在超越数的研究方面取得了重大进展．1844年，刘维尔证明了下述形式的任何一个数都是超越数：

　　

　　特别取ai=1，则得到著名的刘维尔数

α＝0.110001000000000000000001…．

　　这样，在数学史上第一次证明存在超越数，并给出了一类具体的超越数，堪称人类认识超越数的第一个里程碑．

　　1873年，埃尔米特证明了自然对数的底e是超越数．利用他的方法，1882年林德曼(C．L．F，Lindemann，1852—1939)证明了圆周率π是超越数．π是超越数的证明，解决了(利用直尺)“化圆为方”问题．囚为所有可用直尺和圆规作出的数都是代数数，而π不是代数数，所以“化圆为方”不可能．至此，这个结果与旺策尔(P．L．Wantzel)(1837年)、伽罗瓦的著名结论一起，彻底解决了(证明其不可能性)“几何三大问题”．1895年，F．克莱因用简单明了的方法统一证明了“几何三大问题”的不可能性．

　　应该指出的是，1874年康托尔关于集合论的工作，是超越数理论的重大突破．这一年，他证明了全体代数数组成的集合是可数的．而实数是不可数集合，因而他从存在性角度证明了必定有超越数存在，这是康托尔关于超越数的非构造性存在的证明，这可与刘维尔实际构造出超越数媲美．从逻辑上说，康托尔的工作完全可以独立地作为存在超越数的证明，尽管他没有指出哪一个数是超越数．康托尔的证明还揭示了超越数的一个重要性质：超越数集与实数集(当然也与复数集)一一对应，是不可数集合，因此超越数比代数数“多得多”．

　　1900年希尔伯特曾把超越数问题作为“二十三大问题”中的第7个而提出来，超越数理论的确在今天也颇为引人关注．

　　19世纪数论还在许多其他领域取得了重大进展，如整数的型的表示，丢番图分析、数论函数、数的几何、格点问题，复数乘法论，等等．19世纪为数论的发展开辟了广阔的领域，取得了丰硕的成果，代数数论、解析数论等的出现及其发展，为数论在20世纪的研究打下了坚实的基础．