解放军文职招聘考试近代射影几何——综合几何的发展

 近代射影几何——综合几何的发展

　　自从笛卡儿等人创立解析几何以后，代数的和分析的方法统治着几何学，综合的方法受到了排斥．但是，优美而直观、清晰的几何方法，一直吸引着不少几何学家．19世纪初，不少著名的数学家指出，综合几何——用综合的方法对几何进行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此应该积极努力地来复兴和扩展综合几何．

　　以庞斯列(J．V．Poncelet，1788—1867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方法进行探讨．他们取得了丰硕的成果，这些成果在19世纪早期是几何学的主流．为了和笛卡儿的解析几何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近代综合几何．

　　实际上，这种近代综合几何是17世纪帕斯卡、德扎格等人开创的射影几何的复兴，因而又被人称为近代射影几何．

　　综合的欧几里得几何学在19世纪初取得了一些新成果，产生了数以百计的新定理．

　　19世纪综合几何的主要成就是射影几何学的复兴．射影几何学在17世纪曾有过突出的成就，但却被解析几何、微积分淹没了．数学家们经过论战，终于在19世纪为综合几何赢得了较高的地位．

　　综合几何尤其是射影几何在19世纪的兴起主要应归功于以蒙日(G．Monge，1746—1818)为首的法国数学家．他是法国拿破仑时代数学界的导师，也是一位优秀的教师，大批的优秀几何学家都是在他的直接教导和影响下成长起来的，其中就有庞斯列和卡诺．

　　射影几何学的复兴始于卡诺(L．N．M．Carnot，1753—1823)，他是蒙日的学生，物理学家S．卡诺的父亲．他是受蒙日的影响研究几何学．1803年，出版了《位置几何学》(Géomé-trie de Position)，1806年版了《横截线论》(Essai SurLa théorie des transversales)，在这些书中，他导出了完全四边形和完全四角形的性质，并且引入了种种有价值的射影几何理论，他试图证明射影几何方法并不比解析几何方法逊色．

　　庞斯列在俄罗斯的监狱中给纯粹的几何方法注入了新的生命力．1822年，他的研究成果《图形的射影性质》(Traité despropriétés projectives des figures)在巴黎出版．这本书内容极为丰富，它所研究的是那些在射影时保持不变的性质．平面图形的某些度量性质(如距离、角度)在投影时有所变化，但有些却不变，如四条相交于一点的直线被一截线所割，截点分别是A，B，C，D，则(AB∶BC)∶(AD∶DC)不变．他称(AB∶BC)∶(AD∶DC)为点列的反调和比或交比．他详细讨论了交比、射影对应、对合变换、圆上虚渺点等基本概念．

　　庞斯列在射影几何方面的工作以三个观念为中心：(1)透射的图形；(2)连续性原理；(3)圆锥曲线的极点与极线．以这些观念为中心，他奠定了射影几何的基础．

　　19世纪射影几何的一个重要成就是建立了对偶(duality)原理．庞斯列等人认识到，涉及平面图形的定理，如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”，重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的．这是为什么呢？为此数学家们展开了争论，庞斯列队为配极关系是其原因．

　　热尔岗(Joseph－Diez Gergonne，1771—1859)则坚决主张对偶原理是一个普遍性原理，适用于除了涉及度量性质之外的一切陈述和定理，配极关系是不必要的中介．他首先引入“对偶性”这个术语来表示原定理与新的对偶定理之间的关系．他还注意到在三维的情形中点与面是对偶的元素，线的对偶元素是自身．

　　热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的定理并排写在原来命题的旁边．下面我们看看德扎格定理及其对偶：

　　　　　德扎格定理 　　　　　　　　　　　　　　　德扎格定理的对偶

　　如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O，那么对应边相交的三个点在同一条 线上．

　　如果有二个三角形，联接对应边的点在同一条线O上， 那么 对应顶点相连的三条线过同一个点．

　　我们看到德扎格定理的对偶也是正确的，实际上它是原来定理的道定理．

　　瑞士数学家施泰纳(J．Steiner，1796—1863)建立了射影几何学的严密系统，他把卡诺在完全四边形方面的工作推广到空间多边形，完成了点列、线束、二项曲线及曲面的理论，讨论了圆锥曲线的种种性质．其主要著作是1832年出版的《几何形的相互依赖性的系统发展》(Systematische Entwicklungder Abh ngigkeit geometrischen Gestalten Voneinaader)，这本书的主要原理是运用射影的概念从简单的结构(如点、线、线束、面、面束)建造出更复杂的结构．1867年他又对射影几何的原理作了详细说明．

　　施泰纳从开始研究几何时就使用对偶原理，他把圆锥曲线的对偶化称为线曲线，把作为点的轨迹的通常的曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一条线曲线．在圆锥曲线的情形就构成对偶曲线．利用圆锥曲线的对偶概念，可以把许多圆锥曲线定理如帕斯卡定理换成其对偶命题．

　　沙勒(M．Chasles，1793—1880)指出，从对偶原理来看，在射影几何中线可以同点一样基本．他引进了一些新的术语，如把“交比”称为“非调和比”，称将点变成线、线变成点的变换为对射，等等．

　　长期以来，人们对射影几何与欧氏几何的关系一直不清楚．1847年，德国数学家斯陶特(K．G．C．V．Staudt，1798—1867)出版的《位置几何学》(Geometrie der Lage)澄清了这方面的关系，他指出，射影几何完全可以摆脱长度的概念．例如：“交比”是一个基本概念，他

地不依靠长度和迭合的概念就得到了建立射影几何的基本工具．因此，他指出射影几何学实际上比欧氏几何还基本，射影几何学是与距离和角的大小无关的学科，欧氏几何实际上可以看作射影几何的特例．这样，斯陶特完全摆脱了代数和度量的关系，建立了“纯粹”的综合几何理论．

　　射影几何从古希腊起就已出现，17世纪德扎格、帕斯卡又进一步发展了，到19世纪中叶，已经发展成了一门十分成熟的学科，占据着几何学乃至数学的重要地位．