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解放军文职招聘考试三角学的历程

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:31:11

  三角学

  虽然古希腊人和阿拉伯人已对三角学作过不少研究,但三角学作为一个独立学科,还是从德国数学家雷格蒙塔努斯(JRegiomontanus14361476)的名著《论各种三角形》(Detriangulisomnimodis)开始的.

  雷格蒙塔努斯又叫缪勒(JMüller),是波伊巴赫GPeuerbach14231461)的学生.他从行星理论学起,逐渐掌握了托勒密(Ptolemy)的天文学说.波伊巴赫在校订托勒密的《天文集》(Almagest)时,发现所使用的拉丁文译本错误太多,便着手从希腊原文直接翻译,但尚未译完便与世长辞了,临终时嘱雷格蒙塔努斯继续这项工作.为了实现老师的遗愿,雷格蒙塔努斯努力学习希腊语,终于在1463年完成了《天文集》的拉丁文缩写,名为《概论》(Epitome).第二年,他便写成他一生最重要的数学著作《论各种三角形》,但直到1533年才首次出版.该书共五篇,前两篇讲平面三角,包括各种直角三角形、等腰三角形和斜三角形的解法,并在第二篇给出一般三角形的正弦定理;后三篇讲球面三角,详细讨论了由三个条件确定球面三角形的问题.雷格蒙塔努斯正确指出:不仅可用球面三角形的三边确定它的三个角,而且可用球面三角形的三个角确定它的三条边,又指出球面三角形的内角和大于二直角,这都是球面三角与平面三角的重要区别.他在书中给出许多新的球面三角公式,如球面三角的正弦定理(下面以现代符号表出)

  

  及余弦定理

  cosacosbcosc+sinbsinccosA

  他取r107,制成七位正弦表,又制成五位正切表,他的这些工作推动了三角学的发展.他还把他的三角知识用于天文观测,编制了许多天文表,为航海家广泛使用.例如,哥伦布(CColombo)在第四次航海时,便随身携带雷格蒙塔努斯的《星历表》(Ephemerides),从而预先知道了1504229日的月食.

 

  但是,雷格蒙塔努斯的正弦定义仍是传统的,即把弧AD的正弦说成AB(92).对正弦定义作出改进的是哥白尼的学生、德国数学家雷提库斯(GJRheticus15141576),他把AB说成∠AOB的正弦,这就和现代一致了.由于当时天文观测日益精密,迫切需要提高三角函数表的精度.于是,雷提库斯令半径为1015,编制每隔10″的正弦、正切及正割表.由于当时没有对数和计算机,计算量是非常大的,他以坚韧不拔的意志奋斗了12年,带着尚未完成制表计划的遗憾去世了.这些表是由他的弟子奥脱(VOtho,德国,约15501605)完成的,直到1596年才刊行于世.

  韦达在三角方面的工作也是卓有成效的.他的《应用于三角形的数学定律》(Canon mathematicus seu ad triangu-la1579)一书系统整理了当时的平面三角和球面三角知识,并把解直角三角形和斜三角形的公式收集到一起,其中包括他首次发现的正切定律:

  

  他还在托勒密工作的基础上,发现了一些新的三角恒等式,如

  

  并建立了用sinθ表示sinnθ和用cosθ表示cosnθ的恒等式.

  由于雷格蒙塔努斯等人的工作,三角学从天文学里分出来,成为数学的一个分支,并获得独立发展.这门科学在天文、航海、测量等各方面,发挥了越来越大的作用.

  我们还应该指出,中国数学家梅文鼎(16331721)也在球面三角的研究中取得重要成果.他在吸收西方三角知识的基础上,自著《弧三角举要》、《堑堵测量》和《环中黍尺》三本球面三角著作.在《环中黍尺》一书中,他采用投影变换的方法把球面三角形转化为平面图形来研究.梅文鼎所用的投影方法有正投影和斜投影两种,他分别称之为“正形”和“借象”,尤以正形图应用广泛.把弧三角形(即球面三角形)垂直投影于一个穿过球心的平面,得一曲线三角形,它便是弧三角形的正形.由于在正形图上,可用直尺直接量出所求弧或角的三角函数线,故取名《环中黍尺》.显然,研究正形图比直接研究球面三角形方便得多.这种投影方法是梅文鼎的一项杰出创造,在世界数学史上也是首次提出.只是由于当时中西文化交流不多,这种方法没有及时传到西方.

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