解放军文职招聘考试三角学的历程

  三角学

　　虽然古希腊人和阿拉伯人已对三角学作过不少研究，但三角学作为一个独立学科，还是从德国数学家雷格蒙塔努斯(J．Regiomontanus，1436—1476)的名著《论各种三角形》(Detriangulisomnimodis)开始的．

　　雷格蒙塔努斯又叫缪勒(J．Müller)，是波伊巴赫G．Peuerbach，1423—1461)的学生．他从行星理论学起，逐渐掌握了托勒密(Ptolemy)的天文学说．波伊巴赫在校订托勒密的《天文集》(Almagest)时，发现所使用的拉丁文译本错误太多，便着手从希腊原文直接翻译，但尚未译完便与世长辞了，临终时嘱雷格蒙塔努斯继续这项工作．为了实现老师的遗愿，雷格蒙塔努斯努力学习希腊语，终于在1463年完成了《天文集》的拉丁文缩写，名为《概论》(Epitome)．第二年，他便写成他一生最重要的数学著作《论各种三角形》，但直到1533年才首次出版．该书共五篇，前两篇讲平面三角，包括各种直角三角形、等腰三角形和斜三角形的解法，并在第二篇给出一般三角形的正弦定理；后三篇讲球面三角，详细讨论了由三个条件确定球面三角形的问题．雷格蒙塔努斯正确指出：不仅可用球面三角形的三边确定它的三个角，而且可用球面三角形的三个角确定它的三条边，又指出球面三角形的内角和大于二直角，这都是球面三角与平面三角的重要区别．他在书中给出许多新的球面三角公式，如球面三角的正弦定理(下面以现代符号表出)

　　及余弦定理

　　cosa＝cosbcosc+sinbsinccosA．

　　他取r＝107，制成七位正弦表，又制成五位正切表，他的这些工作推动了三角学的发展．他还把他的三角知识用于天文观测，编制了许多天文表，为航海家广泛使用．例如，哥伦布(C．Colombo)在第四次航海时，便随身携带雷格蒙塔努斯的《星历表》(Ephemerides)，从而预先知道了1504年2月29日的月食．

　　但是，雷格蒙塔努斯的正弦定义仍是传统的，即把弧AD的正弦说成AB(图9．2)．对正弦定义作出改进的是哥白尼的学生、德国数学家雷提库斯(G．J．Rhe－ticus，1514—1576)，他把AB说成∠AOB的正弦，这就和现代一致了．由于当时天文观测日益精密，迫切需要提高三角函数表的精度．于是，雷提库斯令半径为1015，编制每隔10″的正弦、正切及正割表．由于当时没有对数和计算机，计算量是非常大的，他以坚韧不拔的意志奋斗了12年，带着尚未完成制表计划的遗憾去世了．这些表是由他的弟子奥脱(V．Otho，德国，约1550—1605)完成的，直到1596年才刊行于世．

　　韦达在三角方面的工作也是卓有成效的．他的《应用于三角形的数学定律》(Canon mathematicus seu ad triangu-la，1579)一书系统整理了当时的平面三角和球面三角知识，并把解直角三角形和斜三角形的公式收集到一起，其中包括他首次发现的正切定律：

　　他还在托勒密工作的基础上，发现了一些新的三角恒等式，如

　　并建立了用sinθ表示sinnθ和用cosθ表示cosnθ的恒等式．

　　由于雷格蒙塔努斯等人的工作，三角学从天文学里分出来，成为数学的一个分支，并获得独立发展．这门科学在天文、航海、测量等各方面，发挥了越来越大的作用．

　　我们还应该指出，中国数学家梅文鼎(1633—1721)也在球面三角的研究中取得重要成果．他在吸收西方三角知识的基础上，自著《弧三角举要》、《堑堵测量》和《环中黍尺》三本球面三角著作．在《环中黍尺》一书中，他采用投影变换的方法把球面三角形转化为平面图形来研究．梅文鼎所用的投影方法有正投影和斜投影两种，他分别称之为“正形”和“借象”，尤以正形图应用广泛．把弧三角形(即球面三角形)垂直投影于一个穿过球心的平面，得一曲线三角形，它便是弧三角形的正形．由于在正形图上，可用直尺直接量出所求弧或角的三角函数线，故取名《环中黍尺》．显然，研究正形图比直接研究球面三角形方便得多．这种投影方法是梅文鼎的一项杰出创造，在世界数学史上也是首次提出．只是由于当时中西文化交流不多，这种方法没有及时传到西方．