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解放军文职招聘考试意大利代数学

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:30:08评论0

 代数学

  1494年,意大利数学家帕乔利(LPacioli14451509)的《算术、几何、比与比例全书》(Summa de ArithmeticaGeometriaProportioni et Proportionalita)在威尼斯出版,它是继斐波那契LFibonacci)《算盘书》之后第一部内容全面的数学书,包括算术、代数、几何与簿记.书中采用了印度—阿拉伯数码和许多数学符号,对16世纪欧洲数学的发展有重要影响.尤其值得提到的是,书中讨论了三次方程.虽然没有成功,而得出“高于二次的方程不可解”的错误结论,但正是书中的讨论引导了数学家们的进一步研究.16世纪的一些杰出数学家并不相信帕乔利的结论,他们孜孜不倦地探求高于二次的方程解法.实际上,16世纪欧洲代数的发展,便突出地表现为三次和四次方程解法的发现.

  在这方面首先取得成果的是意大利数学家塔尔塔利亚.他原姓丰坦那(Fontana),后因口吃被称为塔尔塔利亚,意即口吃者.他本人也以此为姓发表文章,沿用至今.16世纪30年代,他骄傲地说自己掌握了一般三次方程的解法.1535222日,菲奥尔(AMFior)拿出30个三次方程向他挑战,他全都顺利解决了.但其解法却秘而不宣.

 

  在此期间,意大利的另一位数学家卡尔达诺(GCardano15011576)也在研究三次方程解法,但未成功.1539年,他恳切要求塔尔塔利亚把解法告诉他,并发誓保密,塔尔塔利亚满足了他的要求,不过没有证明.卡尔达诺克服了很大困难,找到了证明.他大概觉得没有保密的必要,便在1545年发表的《大术》(Ars(GCardano15011576)Magna)中公布了三次方程解法.尽管卡尔达诺写明了方法的来源,但失信行为还是激怒了塔尔塔利亚,受到他的强烈谴责.由于《大术》的影响,三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来.卡尔达诺公布的解法可简述如下:

  

  方程

  x3px=q(pq为正数) (1)

   

    

  卡尔达诺以方程x36x20为例说明这一方法,他得到的解是x=

   

  过同样的程序得到

    

  他还求出x3pxq0x3qpx(pq为正数)的公式解,就是说他已经能解任何形式的三次方程了.毫无疑问,这里包含了塔尔塔利亚的工作.但需要说明的是,他们像当时其他数学家一样,解方程只求正根,所以解法还是不完善的.

    

  

管会受到多大的良心的责备”,把这两个根相乘,会得25(-15)40.于是他写道:“算术就是这样神秘地搞下去的,它的目标,正如常言所说,是又精致又不中用的.”他既承认负数有平方根,又怀疑它的合法性,因此称它为“诡变量”.但不管怎样,虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了.他还进一步指出,方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的.

  三次方程成功地解出之后,卡尔达诺的学生费拉里(LFerrari15221565)受到启发,很快解出了四次方程,解法也发表在卡尔达诺《大术》中.下面用现代符号表出.

  设方程为x4bx3+cx2+dx+e0 (4)

  移项,得x4bx3=-cx2-dx-e

    

  右边为x的二次三项式,若判别式为0,则可配成x的完全平方.

   

  解这个三次方程,设它的一个根为y0,代入(5),由于两边都是x的完全平方形式,取平方根,即得

  

  解这两个关于x的二次方程,便可得到(4)的四个根.显然,若把(6)的其他根代入(5),会得出不同的方程,但结果是一样的.

  在卡尔达诺之后,韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进.1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中,他是这样解三次方程的:

  对于 x3+bx2+cx+d=0

  结果得到简约三次方程

   

  y3pyq0

  

  他和卡尔达诺一样,只考虑方程的正根.

  韦达不仅研究方程解法,还努力寻找方程的根与系数的关系,在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecognitoneetemendatjone,写于1591年,出版于1615)中,他提出了四个定理,后人为了纪念这位大数学家,称之为韦达定理.二次方程的韦达定理是我们经常使用的,就

 

  对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿.他承认方程的负根,并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律,得到著名的笛卡儿符号法则:多项式方程f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数,或比此数少一正偶数;负根个数等于f(-x)的系数的变号次数,或少于此数一个正偶数.在这里,m重根是看作m个根的.实际上,正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式,其中nf(x)f(-x)的系数变号次数,p012…,p的取值要使n2p非负.笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系,认为n次方程至多有n个根.在讨论三次方程时,他得到如下结论:若一有理系数三次方程有一个有理根,则此方程可表为有理系数因子的乘积.他的另一项重要成果是现今所谓因子定理:f(x)能为(x-a)整除(a0),当且仅当af(x)0的一个根,所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的.

  除了方程以外,二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地.实际上,指数为正整数的二项式定理((ab)nn为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现.11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(alKāshī)各自得到如下形式的三角形

 

  这个三角形特点是,左右两行的数都是1,中间每个数为肩上两数之和.

  在欧洲,德国数学家阿皮安努斯(PApianus14951552)最早给出这个三角形(1527)1544年左右,施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称,并指出怎样从(1a)n-1来计算(1a)n1653年,帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearithmétique)一书,从上述三角形出发,详细讨论了二项展开式的系数.该书于1665年出版后,影响很大.由于帕斯卡在数学界的威望,人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形.实际上,他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数,即(a+b)n

  牛顿(TNewton16431727)进一步认识到,这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式,而且当指数为分数或负数时,同样适用.他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形,指出这三种形式的二项展开式第1项都是1,后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律:设nm为正整数,则

  

  如果括号里是a-b,则第k1项的符号由(1)k决定.它们的区别只

   

  牛顿的这些研究成果,是在17世纪60年代取得的,但直到16766月给莱布尼茨的信中,才首次透露.

  另外,莱布尼茨和日本的关孝和(16421708)各自独立地发明了行列式,并建立起关于行列式的初步理论,这也是17世纪的代数成果之一.关孝和是日本传统数学——和算的奠基人.他的贡献还有:发现方程正负根存在的条件及与牛顿迭代法类似的解法,给出圆的径、弧、矢间关系的无穷级数表达式,等等.

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