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解放军文职招聘考试数论

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:31:37评论0

 数论

 

  在1617世纪,对数论贡献最大的是法国数学家费马(PdeFermat16011665).他的研究成果多记在—本古希腊著作——丢番图(Diophantus)《算术》(Arithmetica)的页边上,死后五年才由他的儿子萨穆埃尔(ClémentSamuel)出版.虽然丢番图已经开了研究数论的先河,但费马数论问题的深度和难度,却是古希腊人不能比拟的.费马的工作,决定了一个世纪的数论研究方向.

一、有关平方数的问题

  费马指出,形如4n1的素数和它的平方都只能以一种方式表为两个平方数之和;它的三次方和四次方都能以两种方式,它的五次方和六次方都能以三种方式,如此等等,以至无穷.例如,5=4×11,这时有5232425352102=221125415220272242….

  他还指出,每一个非负整数可表成四个或少于四个平方数的和.

  不过,费马并没有给出这两个定理的证明.第一个定理的证明是欧拉(LEuler17071783)1754年作出的,第二个定理的证明归功于拉格朗日(JLLagrange17361813)

  实际上,费马的数论成果大部分是只有结论的,就象一本高明的习题集,而证题工作则是他留给后人的“作业”.不过,对于下面两个定理,费马是给出证明的:

  (1)每一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差.(2)整数边直角三角形的面积不可能是平方数.

  他证明前一个定理的思路大致如下:设p是一个奇素数,易证p=

二、费马的小定理和大定理

  费马提出的两个著名定理被后人称为小定理和大定理,后者又称为最后定理.

  费马小定理是费马在16401018日给德贝西(FdeBessy16051675)的信中给出的.这定理说:若p是素数且ap互素,则ap-11能被p整除.例如,p3a=5,则ap-1-1521=24.显然,24能被3整除.

  费马大定理记在丢番图《算术》的页边上,即:n2时,xn+yn=zn没有整数解.

  费马从未给出小定理的证明.至于大定理,他在书上写道:“我已经找到一个真正美妙的证明,但是页边太窄,写不下.”但他是否找到了该定理的正确证明,谁也无法验证.这是数学史上一个难解之谜.

  这两个定理作为著名的数学难题,吸引了众多的后来人.1736年,欧拉终于发表了第一个关于费马小定理的证明.大定理的证明可就困难多了,虽然费马本人曾给出n4的证明,欧拉给出n3的证明,19世纪的勒让德(AMLegendre17521833)又给出n5的证明,一般情况的证明却一直没解决.1908年,德国数学家沃尔夫斯克尔(Wolfskehl)给哥廷根科学院留下十万马克,作为费马大定理的第一个完全证明的奖金.结果,各式各样的“证明”从世界各地飞来,但没有一个是正确的.这个定理至今仍在期待着人们的证明.

三、完全数和亲和数

  这两种有趣的数都是古希腊人提出的.所谓完全数,是指所有比自身小的因数之和等于自身的正整数.欧几里得曾经证明:如果2p-1是素数,则2p-1(2p1)是完全数.当p2357时,这个公式给出最前面的四个完全数628496812810世纪初,意大利人卡塔尔迪(pACataldi15521626)从这个公式出发,认为当p235713171923293137时,都将得到完全数.实际上,p232937时,2p-1并非素数.费马于1640年发现2231有因数47237-1有因数223,从而纠正了卡塔尔迪的错误.(卡塔尔迪的另一错误是欧拉纠正的)

  亲和数是彼此等于对方所有因数之和的一对正整数.毕达哥拉斯认为这样一对数的关系象征友谊,故以“亲和”名之.最早发现的一对亲和数是284220.费马在1636年找到第二对亲和数1729618416

四、费马数

  费马在研究素数时,曾努力寻找一个对各种n值都能得出素数的公

 

  51725765537,确实都是素数,但n4时,公式就不适用了.

  除了费马以外,与他同时代的笛卡儿也对数论作出了贡献.1638年,他在给梅尔塞尼(Mersenne)的信中说,他能证明每个偶完全数都具有2p-1(2p-1)的形式,这实际是欧几里得证明过的定理的逆定理.不过,人们并未发现笛卡儿的证明,现存的对这一定理的最早证明属于欧拉.笛卡儿还给出探索亲和数的一条规则:设有乘幂2p,若3×2p-16×2p-118×(2p)2-1都是素数,则2×2p×[18×(2p)2-1]是亲和数的一个成员.例如,2864便满足上述条件,按规则计算的结果分别是284184169437056,所以第三对亲和数为94370569363584

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