2020考研数学一真题及答案

2020 考研数学一真题及答案 一、选择题 （1）当 x 0 时，下列无穷小量最高阶是 （A） 0x e t 2 （B） 1dt. （C） 0sin x sin t 2 dt . x 0 ln 1 t 3 dt . （D） 01 cos x sin t 2 dt . （1）【答案】（D）. 0 【解析】因为 lim e x x 0 x + 故 x 0 时， 0x e 因为 lim x 0 0 x lim x 0 3 + 0 时， 0x ln 1 + x 0 ln 1 2 x 2 3 x t 0 时， 0sin x sin t （ ） 1 , 1 cos x 0 3 lim 53 + 3 dt 是 x 的 5 2 lim x 0 + 2 x3 2, x 0+ 5 3 x 2 2 5 阶无穷小； sin sin x 2 cos x 3 故x 3 x3 x2 2 sin t 2 dt x , x 0 + 3 x2 3x2 + t 3 dt lim 5 因为 lim x 0 1 lim 1 dt 是 x 的 3 阶无穷小； t 2 ln 1 sin x 0 x2 1 x2 故x x2 e 1 dt t2 3x2 dt 是 x 的 3 阶无穷小； sin 2 x lim x 0 x2 lim + 3 x 0+ 因为 lim sin t 2 dt t td 0 1 cos x x 0 + 1 cos x 1 又 01 cos x t dt t 2 故x lim x 1 cos x sin x 1 sin 1 cos x 2 1 cos x 1, 2 1 2 sin t x 0+ + 1 cos x 0 时， 01 cos 综上， x x 0 2 0 lim sin 1 cos x 2 sin x x4 ， 2 8 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小； 0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt . 故应选（D）. （2）设函数 f x 在区间 x 0 1,1 内有定义，且 lim f x 0, 则 （ ） （A）当 lim f x 0 时， f x 在 x 0 处可导. x 0 x （B）当 lim f x 0 时， f x 在 x 0 处可导. x 0 x 2 f x 0. （C）当 f x 在 x 0 处可导时，lim x 0 x f x （D）当 f x 在 x 0 处可导时，lim 0. x 0x2 （2）【答案】（C）. 【解析】 对于选项（A）：取 取 f 对于选项（B）：取 f x x x ，满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（A）. x, x 0, 满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（B）. x 0, 0, x在x 对于选项（C）：取 当 f 0 处可导时， f x在x 0 处连续，故 f x f0 f 0 lim f x 0 x 0 则 lim f x lim f x x x 0 x x 0 x f x lim A, x 0 x , 1 ，非零向量 d 与 x 0, 且 f 0 存在，不妨设 f 0 lim x 0 . 同理可排除（D）. x 故应选（C）. f （3）设函数 f x 在点 0, 0 处可微， f 0, 0 0, n , x n 垂直，则 0 存在. lim x , y0,0 x 2 y 2 n x,y,f x,y （B） 0 存在. lim x , y 0,0 x 2 y 2 x, d x,y,f y （C） 0 存在. lim x , y 0,0 x2 y2 x, d x,y,f y （D） 0 存在. lim x , y0,0 y 0, 0 （ x, n x,y,f y （A） f x 2 y 2 ） （3）【答案】（A）. 【解析】因 f x 在点 0, 0 处可微，且 f 0, 0 f x , y f 0, 0 f f x 0, 0 x f y 0 ，故 0, 0 y x 2 y2 , f 因为 n , x y f , 1 x 0, 0 , fy 0, 0 , 1 ，故 0,0 nx , y , f x,y f x 0, 0 x f y 0, 0 y f x,y x2 y2 ， 3 n x,y,f x,y 则 lim x , y0,0x 2 x2 y2 0. 故应选（A）. lim y x, y0,0 2 x 2 y2 （4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径，r 是实数，则 又 1 （A） a n rn 发散时， n1 r R. （B） a n rn 发散时， n1 r R. （C） r R 时， a n rn 发散. n1 （D） r R 时， a n rn 发散. n1 （ ） （4）【答案】（A）. 【解析】若 a n rn 发散，则 n1 r R ，由阿贝尔定理知， a n rn n1 r R ，否则，若 绝对收敛，矛盾. 故应选（A）. （5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则 （ ） （A）存在矩阵 P ，使得 PA B. （B）存在矩阵 P ，使得 BP A. （C）存在矩阵 P ，使得 PB A. （D）方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解. （5）【答案】（B）. 【解析】 A 经过初等列变换化成 B ，相当于 A 右乘可逆矩阵 P 变成 B ，即存在 可逆矩阵 Q ，使得 AQ B ，得 BQ A .取 P 1 Q 1 ，则存在矩阵 P ，使得 BP A. 故应选（B）. x a2 （6）已知直线 L : 1 a1 y b2 b1 z c2 c1 x a3 与直线 L : 2 y b3 z c3 相交于一 a2 b2 c2 ai 点，法向量 α b i （ , i 1, 2, 3 .则 i c i （A）α1 可由 α2 , α3 线性表示. （C）α3 可由 α1 , α2 线性表示. （B）α2 可由 α1 , α3 线性表示. （D）α1 , α2 , α3 线性无关. （6）【答案】（C）. a1 【解析】已知 L , L 相交于一点，故向量 12 b 1 c a2 与b 2 c ，即 α , α 线性无关. 12 ）