2008考研数学三真题及答案

2008 考研数学三真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. x （1）设函数 f ( x) 在区间 [  1,1] 上连续，则 x 0 是函数 g ( x)   A 跳跃间断点.  B  可去间断点.  C  无穷间断点.  D  振荡间断点. （2）曲线段方程为 a  af y  f ( x) ，函数 f ( x) 在区间 0 ） x 上有连续的导数，则定积分 ( x)dx 等于（ ） t 0  A 曲边梯形 ABCD 面积.  B  梯形 ABCD 面积.  C  曲边三角形 ACD 面积. （3）已知 [0, a]  f (t )dt 的（ f ( x, y ) e x2  y4  D  三角形 ACD 面积. ，则 （A） f x(0, 0) ， f y(0, 0) 都存在 （B） （C） f x(0, 0) 不存在， f y(0, 0) 不存在 （D） f x(0, 0) ， f y(0, 0) 都不存在 （ 4 ） 设 函 数 f 连 续 ， 若 f (u , v)   Duv f x(0, 0) 不存在， f y(0, 0) 存在 f ( x2  y2 ) x2  y2 dxdy ， 其 中 Duv 为 图 中 阴 影 部 分 ， 则 F （ ） u （A） vf (u 2 ) （5）设 A （B） v v f (u 2 ) （C） vf (u ) （D） f (u ) u u 为阶非 0 矩阵  A E A C E A （6）设 A  1 E 为阶单位矩阵若 不可逆， 可逆， EA EA A3 0 ，则（ ） 不可逆. 可逆.  B  D E A E A 2  则在实数域上域与 合同矩阵为（ ） A  2 1   不可逆， 可逆， EA EA 可逆. 不可逆.  A 2 1  .  1  2    B  2 1 .   1 2  2  1 . 1 2     1  2 .  2 1  C   D  （7）随机变量 X , Y 独立同分布且 分布函数为 F x ，则 Z max X , Y 分布函数为     X （ ）  A F 2  x . C 2 1   1  F  x   .  B F  x F  y  .  D  1  F  x    1  F  y   . （8）随机变量 X ~N 0,1 ， Y ~N 1, 4 且相关系数  1 ，则（ ）     XY  A P  Y  2 X  1 1 .  B  P  Y 2 X  1 1 . 1 .  D  P  Y 2 X  1 1 .  C  P  Y  2 X  1 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.  x 2  1, x c （9）设函数 f ( x )  在 (  , ) 内连续，则 c  2 , x  c x  （10）设 1 x  x 3 ，则 2 f (x  )  2 x 1  x4 2 f ( x )dx ______ （11）设 D {( x, y ) x 2  y 2 1} ，则 ( x 2 . .  y )dxdy  . D （12）微分方程 xy   y 0 满足条件 y (1) 1 的解 y  .  （13）设 3 阶矩阵 1 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 4 A  E _____ . （14）设随机变量 2 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P  X EX   . 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分） 求极限 lim x 0 1 sin x . ln x2 x (16) （本题满分 10 分） 设 z  z ( x, y ) 是由方程 x 2  y 2  z  x  y  z 所确定的函数，其中  具有 2 阶   导数且    1 时. （1）求 dz （2）记 u x, y  1    z z  ，求 u .    x  y  x y  x (17) （本题满分 11 分） 计算 max( xy,1)dxdy, 其中 D {( x, y) 0 x 2, 0  y 2} . D (18) （本题满分 10 分） 设 f x 是周期为 2 的连续函数，   （1）证明对任意实数 t ，有 （2）证明 G  x   t 2 2 f  x  dx  f  x  dx ；  t 0 x t 2   2 f  t    f  s  ds  dt 是周期为 2 的周期函数． 0 t (19) （本题满分 10 分） 设银行存款的年利率为 r 0.05 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元， 实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取（10+9n）万元，并能 按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）  2a 1  2 a 2a  设 矩 阵 A      a2     ， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX  B ， 其 中 1  2a  nn T X  x1 , , xn  ， B  1, 0, , 0  ， （1）求证 A  n  1 a n ;   （2） a 为何值，方程组有唯一解; （3） a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶矩阵， Aa3 a2  a3 证明（1） a1 , a2 为 A 的分别属于特征值  1,1 特征向量，向量 a3 满足 ， a1 , a2 , a3 线性无关； （2）令 P  a , a , a ，求  1 .  1 2 3 P AP （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为 P  X i  1  i  1, 0,1 ， Y 的概 3 率密度为 f  y  1 0  y 1 ，记 Z X  Y  Y 0 其 其 （1）求 P  Z  1 X 0  ；   2   （2）求 Z 的概率密度． （23） （本题满分 11 分） n 1 X 1 , X 2 , , X n 是 总 体 为 N (  ,  2 ) 的 简 单 随 机 样 本 . 记 X   X i ， n i 1 S2  2 1 n 1 ( X i  X )2 ， T  X  S 2 .  n  1 i 1 n （1）证 （2）当 T 是 2 的无偏估计量.  0,  1 时 ，求 DT . 参考答案 一、选择题 (1)【答案】 B x 【详解】 lim g ( x ) lim x 0 所以 x 0 是函数 x 0 g ( x)  f (t )dt lim f  x   f  0  ， 0 x x 0 的可去间断点． (2)【答案】 C 【详解】 a a 0 0  xf ( x)dx  xdf ( x) xf ( x) 其中 af ( a ) 是矩形 ABOC 面积， a 0  a a 0 0  f ( x)dx af (a)   f ( x)dx a a 0 0  f ( x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以  xf ( x)dx 为曲边三角形的面积． (3)【答案】 B 【详解】 f ( x, 0)  f (0, 0) e f x(0, 0) lim lim x 0 x 0 x 0 lim x 0 故 x 2  04 x 1 x e 1 lim x 0 x ， ex  1 ex  1 ex  1 e x  1  lim 1 lim  lim  1 x 0 x 0 x 0 x x x x 不存在． f x(0, 0) 02  y 4 f (0, y )  f (0, 0) e f y(0, 0) lim lim y 0 y 0 y 0 y 1 2 ey  1 y2 lim lim 0 y 0 y 0 y y 所以 f (0, 0) 存在．故选 B . y (4)【答案】 A f  u 2  v2  【详解】用极坐标得 F  u, v   D u 2  v2 v u 2 u dudv  dv  f (rr ) rdr v  f (r 2 )dr 0 1 1 F vf  u 2  . u (5)【答案】 C 所以 【详解】 故 ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E E  A, E  A ， ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E . 均可逆． (6)【答案】 D 【详解】记 D  1 2  又 E  A    1 2  2  ，则 1 2 2 E  D     1  4 ，  1 2 1 2 2    1  4 ， 1 所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以 A 和 D 有相同的特征值. 又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和 D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 D 正确. (7)【答案】 A 【详解】 F z P Z z P max X , Y z P X z P Y z F z F z F 2 z .         Z  Z  Z   Z    (8)【答案】 D 【详解】 用排除法. 设 Y aX  b ，由  XY 1 ，知道 X , Y 正相关，得 a  0 ，排除  A  、 C 由 X ~ N (0,1), Y ~ N (1, 4) 所以 ，得 EX 0, EY 1, E (Y ) E (aX  b) aEX  b a 0  b 1, 所以 b 1 . 排除  B  . 故选择  D  . 二、填空题 (9)【答案】1