2018考研数学三真题及答案

2018 考研数学三真题及答案 一、 选择题 1.下列函数中,在 x 0 处不可导的是() A. f  x   x sin x B. f  x   x sin x C. f  x  cos x D. f  x  cos 答案: x  D 解析:方法一:  A lim x 0 f  x   f  0 x sin x x lim lim sin x 0, x 0 x 0 x x x 可导  B  lim x 0 x sin x f  x   f  0 x lim lim sin x 0 x 0 x x x x 0, 可导 1 2 x f  x   f  0 cos x  1 2 lim lim 0,  C  lim x 0 x 0 x 0 x x x 可导  1  x cos x  1 f  x   f  0 lim lim 2  D  lim x 0 x  0 x 0 x x x 不存在,不可导 应选  D . 方法二: 因为 lim f ( x) cos x , f  0  1 f  x   f  0 x 0  f  x x lim cos x 0 在 x 0 处不可导,选 x 1 x  D 1 x 2 lim x 0 x 不存在  对  A : f  x  xsinx 在 x 0 处可导 3  B : f  x ~ x  对 对 x x 2 在 x 0 处可导  C  : f ( x) cosx 在 x 0 处可导. 2.设函数 f  x 1 在[0,1]上二阶可导,且  f  x  dx 0, 则 0 1  0  2  B  当f ''  x   0时, f  1  0  2 1  0  2  D  当f ''  x   0时, f   A 当f '  x   0时, f  1  0  2  C  当f '  x   0时, f   D 答案 【解析】 f  x 将函数 1 在 2 处展开可得 2 1  f ''     1 1  1 f  x   f    f '   x    x  , 2 2  2  2  2 2 2 1 1 1  f ''     1  1 1  1  1 1 1  0 f  x  dx 0  f  2   f '  2   x  2   2  x  2   dx  f  2   2 0 f ''     x  2  dx,    1 1 故当 f ''( x)  0 时, 选  1  f  x  dx  f  2  .从而有f  2   0. 0  D。 3.设  2   2 M  1 x 1  x2 2   1 x 2 dx , K   1  cos x dx x    e 2 2 ,则 dx, N 2 A .M  N  K . B .M  K  N . C. K  M  N . D. K  N  M . 答案: C   解析:  2   2 M   2   2 N   1 x 2   2x  2  dx  1  dx   2  1  x 2   22 1dx, 1  x2 1 x x 1 dx ,因为 所以 x  1 x x e e  x 1 e   K 2 1  cos x dx,1  cos x  1.  2 1 x  1  1  cos x x 即 e  C . 所以由定积分的比较性质 K  M  N ,应选 4.设某产品的成本函数 A C '  Q0  0 C  Q D . Q0C '  Q0  C  Q0  D C  Q  【解析】平均成本 Q Q0 C  Q  dC  Q  C '  Q  Q  C  Q  ,  C  Q Q dQ Q2 ,由于 Q0C '  Q0  0.故选( D) . 处取最小值,可知  1 1 0    0 1 1  0 0 1  相似的为 5.下列矩阵中,与矩阵   1 1  1   A.  0 1 1  0 0 1     1 0  1   B.  0 1 1  0 0 1     1 1  1   C.  0 1 0  0 0 1     1 0  1   D.  0 1 0  0 0 1    答案:  A Q0 时平均成本最小,则() B C '  Q0  C  Q0  C . C '  Q0  Q0C  Q0  答案 可导,其中 Q 为产量,若产量为 在  1  1 0  1 1 0     1 P  0 1 0  P  0 1 0   0 0 1  0 0 1  则   解析:令  1 1 0  1 1  P AP  0 1 0   0 1  0 0 1  0 0    1 2 0  1  1 0  1     0 1 1   0 1 0   0  0 0 1  0 0 1  0     1  1  1 0  1   0 1 0  1   0 0 1  1 0  1 1 0 1  1  选项为 A A, B 为 n 阶矩阵,记 6.设 A.r  A AB  r  A  r X  为矩阵 X 的秩, B.r  A BA  r  A  C.r  A B  max  r  A  , r  B   答案:  XY  表示分块矩阵,则 D.r  A B  r  AT BT   A 解析:易知选项 C 错  1 1  0 0 A   B    1 1  1 2 1 对于选项 B 举反例:取  0 0 1 1 0 0  BA   ,  A, BA     3 3 1 1 3 3  则 7. 设随机变量 X 的概率密度 f  x 满足 f 1 x  f 1 x 则 P  X  0 ______ 0 ． (A) 0.2； (B) 0.3； 解 由 2 f  x  dx 0.6 ，且  ， (C) 0.4； (D) 0.6． f 1 x  f 1 x 知，概率密度 f  x 关于 x 1 对称，故 P  X  0 P  X  2 且 P  X  0  P  0  X 2  P  X  2 1 2 P  X  0 0.4 所以 8. 设 ，即 P  X  0 0.2  X , X , , X  为取自于总体 X 1 2 n ， 2 ，由于 P  0  X 2  f  x  dx 0.6 0 ， ，故选项 A 正确．   N ,  2  的简单随机样本，令 n 1 n 1 n 2 1 S  ( X  X ) S  (X i  X )2 X   ∑ 1 2 n  1 i 1 i n n i=1 i ， i 1 ， ， 则下列选项正确的是 ______ ． X=  n X   S (A)  n X   S* (C)  t  n   t  n   n X   ； S (B)  n X   ； S* (D)  t  n  1  t  n  1 ； ． n X   X   ( X i −X )2 ~N 0,1 ∑ 2 ( n−1 )S   = i=1 ~ χ 2 ( n−1) 2 2 n n 与 σ σ 解 由于 ， ，且   (n  1)S 2 2 相互独立，由 t 分布的定义，得  n X   S   X   ~t(n  1) S n ， 故选项 B 正确． 二、 填空题 2 9.曲线 y  x  2 ln x 在其拐点处的切线方程为__。 答案 y 4 x  3 【解析】函数 令 y '' =0 ,解得 f  x x=1 的定义域为 ,而  0,  , y ' 2 x  y '''  1 0, 2 2 4 , y '' 2  2 , y '''  3 。 x x x 故点(1,1)为曲线唯一的拐点。