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2019 考研数学一真题及答案
一、选择题,1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的.
k
1.当 x 0 时,若 x tan x 与 x 是同阶无穷小,则 k
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
x x , x 0,
f ( x)
x ln x, x 0, 则 x 0 是 f (x) 的
2.设函数
A.可导点,极值点.
B.不可导点,极值点.
C.可导点,非极值点.
D.不可导点,非极值点.
3.设
un 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是
un
.
n
n
1
A.
C.
B.
un
n 1
.
1 u
n 1
Q ( x, y )
4.设函数
有
( 1)
n1
D.
n
u
2
n1
1
un .
un2
n1
.
x
y 2 ,如果对上半平面( y 0 )内的任意有向光滑封闭曲线 C 都
P( x, y )dx Q( x, y )dy 0 ,那么函数 P( x, y) 可取为
C
y
A.
x2
y3 .
1 1
x
y.
C.
1 x2
3
B. y y .
x
D.
1
y.
第 1 页 共 14 页
2
A 4
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵.若 A A 2 E ,且
,则二次
T
型 x Ax 的规范形为
A.
y12 y22 y32 .
B.
y12 y22 y32 .
C.
y12 y22 y32 .
D.
y12 y22 y32 .
6.如图所示,有 3 张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程
ai1 x ai 2 y ai 3 z d i (i 1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ,则
A. r ( A) 2, r ( A) 3.
B. r ( A) 2, r ( A) 2.
C. r ( A) 1, r ( A) 2.
D. r ( A) 1, r ( A) 1.
7.设 A, B 为随机事件,则 P ( A) P ( B ) 的充分必要条件是
A. P ( A B ) P ( A) P ( B ).
B. P ( AB) P ( A) P ( B ).
C. P ( AB ) P ( B A).
D. P ( AB) P ( A B ).
2
P X Y 1
8.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从正态分布 N ( , ) ,则
第 2 页 共 14 页
2
A.与 无关,而与 有关.
2
B.与 有关,而与 无关.
2
C.与 , 都有关.
2
D.与 , 都无关.
二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.
1 z
1 z
f
(u
)
z
f
(sin
y
sin
x
)
xy
,
cosx
x
cosy
y =
9. 设函数
可导,
则
2
10. 微分方程 2 yy ' y 2 0 满足条件 y (0) 1 的特解 y
( 1) n n
x
) 内的和函数 S (x)
11. 幂级数 n0 (2n)! 在(0,
.
.
.
4 x 2 4 z 2 dxdy
2
2
2
x
y
4
z
4
(
z
0
)
12. 设 为曲面
的上侧,则 z
=
13. 设
.
(1, 2, 3)为 3 阶矩阵.若 1, 2 线性无关,且 3 1 2 2 ,则
线性方程组 x 0 的通解为
.
x
f ( x) 2
0
14. 设随机变量 X 的概率密度为
X 为 X 的数学期望,则 P F(X) X 1
,0 x 2
,其他,
F(x)为 X 的分布函数,
.
三、解答题:15~23 小题,共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 10 分)
'
设函数 y (x ) 是微分方程 y xy e
(1)求 y (x ) ;
x2
2
满足条件 y (0) 0 的特解.
第 3 页 共 14 页
(2)求曲线 y y (x ) 的凹凸区间及拐点.
16.(本题满分 10 分)
2
2
设 a, b 为 实 数 , 函 数 z 2 ax by 在 点 ( 3 , 4 ) 处 的 方 向 导 数 中 , 沿 方 向
l 3i 4 j 的方向导数最大,最大值为 10.
(1)求 a, b ;
2
2
(2)求曲面 z 2 ax by ( z 0 )的面积.
x
17.求曲线 y e sin x( x 0) 与 x 轴之间图形的面积.
1
18.设
an x n 1 x 2 dx
0
,n=(0,1,2…)
n 1
an
an 2
a
n2
(1)证明数列 n 单调减少,且
(n=2,3…)
an
n a
n 1 .
(2)求
lim
2
2
2
19.设 是锥面 x y 2 (1 z ) (0 z 1) 与平面 z 0 围成的锥体,求 的形
心坐标.
20.设向量组
1 (1,2,1)T , 2 (1,3,2)T , 3 (1, a,3)T ,为 R 3 的一个基, (1,1,1)T
T
在这个基下的坐标为 (b, c,1) .
(1)求 a, b, c .
第 4 页 共 14 页
(2)证明
a2 , a3 , 为 R 3 的一个基,并求 a2 , a3 , 到 a1 , a2 , a3 的过度矩阵.
2 2 1
2 1 0
A 2
x 2 B 0 1 0
0
0 0 y
0 2
相似
21.已知矩阵
与
(1)求 x, y
.
1
(2)求可可逆矩阵 P ,使得 P AP B.
22.设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为 1 的指数分布, Y 的概率分布为
P Y 1 p, P Y 1 1 p, (0 p 1), 令 Z XY
(1)求 z 的概率密度.
(2) p 为何值时, X 与 Z 不相关.
(3) X 与 Z 是否相互独立?
23.(本题满分 11 分)
设总体 X 的概率密度为
( x u )2
f ( x, 2 ) e 2 2
0
x ,
x ,
X ,X 2,
…X n 来自总体 X 的简
其中 是已知参数, 0 是未知参数, 是常数, 1
单随机样本.
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(1)求 ;
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