2017考研数学二真题及答案

2017 考研数学二真题及答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） （1）若函数 ( A) ab  1  cos  f ( x)  ax b, x 0  1 。 2 x , x  0, 在 x 0 (B ) ab  (C ) ab 0 。 处连续，则（ ） 1 。 2 ( D ab 2 。 【答案】 ( A) 【解】 f (0  0)  lim 1  cos x  1 ， f (0)  f (0  0) b ， x  0 ax 2a 因为 f (x ) 在 x 0 处连续，所以 f (0  0)  f (0)  f (0  0) ，从而 ab  （2）设二阶可导函数 f (x ) 满足 f (1)  f ( 1) 1 ， f ( 0)   1 ，且 1 ，应选 ( A) 。 2 f ( x )  0 ，则（ ） 1 ( A)  f ( x)  0 (C )  。 (B ) 1 0 1 f ( x )  f ( x ) dx 。 1 0 1  f ( x)  0 。 1 (D ) 0  1 1 f ( x )  f ( x ) dx 。 0 【答案】 (B ) 【解】取 f ( x ) 2 x 2  1 ，显然 1 f (x )  0 ，应选 (B ) 。  1 （3）设数列 {x n } 收敛，则 sin x n 0 时， lim x n 0 。 ( A) 当 lim n  n  （ ） x n 0 。 (B ) 当 lim( x n  | x n | ) 0 时， lim n  n  2 x n 0 。 (D ) 当 lim( x n  sin x n ) 0 时， lim x n 0 。 (C ) 当 lim ( x n  x n ) 0 时， lim n  n  n  n  【答案】 (D ) 【解】令 lim x n  A ，由 lim ( x n  sin x n )  A  sin A 0 得 A 0 。 n  （4）微分方程 n  y   4 y   8 y e 2 x (1  cos 2 x) ( A) Ae 2 x  e 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x) 。 (C ) Ae 2 x  xe 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x) 的特解可设为 y  （ ） (B ) Axe 2 x  xe 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x) 。 (D ) Axe 2 x  xe 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x) 。 。 【答案】 (C ) 【解】特征方程为 对方程 对方程 故方程 2  4  8 0 y   4 y   8 y e 2 x ，特征值为 ，特征形式为 y   4 y   8 y e 2 x cos 2 x 1, 2 2 2i y1  Ae 2 x ，特解形式为 y   4 y   8 y e 2 x (1  cos 2 x) 。 ； y 2  xe 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x) 的特解形式为 y   Ae 2 x  xe 2 x ( B cos 2 x  C sin 2 x ) ，应选 (C ) 。 （5）设 f ( x, y ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ( x, y ) 都有 则 （ f ( x, y ) f ( x, y )  0,  0， x y ） ( A) f (0,0)  f (1,1) 。 (B ) f (0,0)  f (1,1) 。 (C ) f (0,1)  f (1,0) 。 (D ) f (0,1)  f (1,0) 。 【答案】 (D ) 【解】 由 ， f ( x, y )  0 得 f ( x, y ) 关于 x 为增函数，从而 f (1, y )  f (0, y ) ； x f ( x, y )  0 得 f ( x, y ) 关于 y 为减函数，从而 f ( x,0)  f ( x,1) ， y 由 f (1, y )  f (0, y ) 得 f (1,0)  f (0,0) ； 由 f ( x,0)  f ( x,1) 得 f (0,0)  f (0,1) ，故 f (1,0)  f (0,1) ，应选 (D ) 。 （6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位： m ）处，图中，实线表示 甲的速度曲线 v v1 (t ) 部分面积的数值依次为 （单位： 10,20,3 m/s ），虚线表示乙的速度曲线 ，计时开始后乙追甲的时刻为 t0 v v 2 (t ) （单位： ，三块阴影 s ），则（ ） ( A) t 0 10 (C ) t 0 25 。 。 (B ) 15  t 0  20 (D ) t 0  25 。 。 【答案】 【解】 （7）设 A 为 3 阶矩阵， P ( 1 ,  2 ,  3 ) 为可逆矩阵，使得 P （ A( 1   2   3 )  ( A)  1   2 (C )  2   3 1 0  AP  0 0  0 1 0 ） 。 (B )  2  2 3 。 (D )  1  2 3 。 。 【答案】 (B) 【解】由 P 1 0  AP  0 0  0 1 0 0 0   0  得 AP  P 0 0 2    1 0    A (      )  AP 1  P 于是   0 1 2 3  1 0    应选 (B) 。 0 1 0 0 1 0 0  0 ， 2  0   1  1     0   1  0,  2 ,2 3  1  2  2 3 ，  1 2   1   0  0  ，则 2  2  A  （8）已知矩阵 0 0  0 2 0 0 2   1  , B  0 0 1   ( A) A 与 C 相似， B 与 C 相似。 1 2 0 0 1   0  , C  0 0 1   0 2 0 0  0  ，则 （ 2  ） (B ) A 与 C 相似， B 与 C 不相似。 (C ) A 与 C 不相似， B 与 C 相似。 (D ) A 与 C 不相似， B 与 C 不相似。 【答案】 (B ) 【解】 A, B , C 的特征值为 0  由 2 E  A  0 0  0  由 2 E  B  0 0  0 0 0 1 0 0 1  2 2, 3 1 ， 0    1 得 r ( 2 E  A) 1 ，则 1  A 可相似对角化，从而 A ~ C ； 0  0  得 r ( 2 E  B ) 2 ，则 B 不可相似对角化，从而 B 与 A, C 不 1  相似，应选 (B ) 。 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） （9）曲线 y  x(1  arcsin 2 ) 的斜渐近线为 x ________ 。 【答案】 y x  2 。 【解】 lim x  y 2 lim(1  arcsin ) 1 ， x x  x 1  arcsin lim( y  x ) lim x  x  （10）设函数 【答案】  【解】 y  y (x ) 1 x 2 1 x 2 ，斜渐近线为 y x  2 。 由参数方程  x 1 。 8 dy dy / dt cos t ，   dx dx / dt 1  e t t  e t ,   y sin t 确定，则 d 2 y dx 2 | t 0  ____ 。  sin t (1  e t )  e t cos t cos t d( ) t d2y (1  e t ) sin t  e t cos t ， (1  e t ) 2 1  e |t 0    dx / dt dx 2 1  et (1  e t ) 3 则 d2y dx 2 （11） 1。 8 |t 0    0 ln(1  x ) 。 dx  ________ 2 (1  x) 【答案】 2 。 【解】   0  ln(1  x ) dx  (1  x ) 2   0 ln(1  x )d ( 1 ) 1 x  ln(1  x)  1 1  |0  dx 1  | 0 2 2 0 1 x 1 x (1  x) （12）设函数 f ( x, y ) 具有一阶连续的偏导数，且 df ( x, y )  ye y dx  x (1  y )e y dy f (0,0) 0 ，则 f ( x, y )  _______ 。 【答案】 xye y 【解】由 df ( x, y )  ye y dx  x (1  y )e y dy d ( xye y ) f ( x, y )  xye y  C 再由 f (0,0) 0 1 1 0 y （13） dy  得 得 ， C 0 ，故 f ( x, y )  xye y 。 tan x dx  _______ 。 x 【答案】  ln cos1 1 1 0 y 【解】 dy  1 tan x x 1 tan x dx   dx dy  tan xdx  ln cos x |10  ln cos1 。 0 0 0 x x ，