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2015 考研数学二真题及答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是 ( )
(A)
2
(B)
2
(C)
2
(D)
2
1
dx
x
ln x
dx
x
1
dx
x ln x
x
dx
ex
【答案】(D))
x
dx ( x 1)e x
x
e
【解析】
,则
2
x
dx ( x 1)e x
x
e
2
3e 2 lim ( x 1)e x 3e 2
x
.
2
(2) 函数
f x lim(1
t 0
sin t xt
)
x
在 ( , ) 内 ( )
(A) 连续
(B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点
(D)) 有无穷间断点
【答案】(B)
2
2
sin t x
lim
sin t xt
f ( x) lim(1
) et 0 x t e x
t 0
x
【解析】
, x 0 ,故 f ( x) 有可去间断
点 x 0 .
1
x cos x , x 0
f x
0, x 0
'
( 0, 0) , 若 f x 在
(3) 设 函 数
x 0 处连续则:( )
(A)
0
(B) 0
1
(C)
2
(D)) 0
2
【答案】(A)
【解析】 x 0 时,
f x 0 f 0 0
1
0
1
x
f 0 lim
lim x 1 cos
x 0
x
0
x
x
1
1
1
f x x 1 cos 1 x sin 1
x 0 时,
x
x
x
x cos
x 1 cos
f x
1
1
x 1 sin
x
x
在 x 0 处 连 续 则 :
f 0 f 0 lim x 1 cos
x 0
1
0
x
得
1 0
1
1
f 0 lim+ f x = lim+ x 1 cos x 1 sin =0
x 0
x 0
x
x
得:
1 0 ,答案选择 A
, 内连续,其中二阶导数 f ( x) 的图形
(4)设函数 f ( x ) 在
如 图 所 示 , 则 曲 线 y f ( x) 的 拐 点 的 个 数 为
( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D)) 3
【答案】(C)
【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。
f
y
f x y, x 2 y 2
u
f u, v
x
(5) 设函数
满足
,则
f
v
u 1
v 1
u 1
v 1
与
依次是 ( )
1
,0
(A) 2
(B)
(C)
(D))
0,
1
2
1
,0
2
0,
1
2
【答案】(D))
【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.
令
u x y, v
y
u
uv
y
x
,y
f ( x y, ) x 2 y 2
x ,则
1 v
1 v ,从而
x
变为
2
2
u 2 (1 v)
u uv
f (u , v)
1 v .
1 v 1 v
故
f 2u (1 v) f
2u 2
,
u
1 v
v
(1 v )2 ,
f
u
因而
u 1
v 1
0,
f
v
u 1
v 1
1
2 .故选(D)).
(6) 设 D 是 第 一 象 限 由 曲 线 2 xy 1 , 4 xy 1 与 直 线 y x ,
y 3x 围 成 的 平 面 区 域 , 函 数 f x, y 在 D 上 连 续 , 则
f x, y dxdy
( )
D
(A)
(B)
(C)
(D))
3
4
1
3
4
d sin12 f r cos , r sin rdr
2sin 2
1
3
4
d sin12 f r cos , r sin rdr
2sin 2
1
3
4
d sin12 f r cos , r sin dr
2sin 2
1
d sin12 f r cos , r sin dr
2sin 2
【答案】(B)
【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为
1
1
D (r , ) ,
r
4
3 2sin 2
sin 2
所以
3
4
1
si n 2
1
2sin 2
f ( x, y)dxdy d
D
f (r cos , r sin ) rdr
故选 B.
1
1 1 1
b d
A 1 2 a
d2
1 4 a2
,
.若集合 1, 2 ,则线
(7) 设矩阵
性 方 程 组 Ax b 有 无 穷 多 解 的 充 分 必 要 条 件 为 :
( )
(A) a , d
(B) a , d
a , d
(D)) a , d
(C)
【答案】D)
【解析】
1 1 1
( A, b) 1 2 a
1 4 a2
1
d
d 2
1
1
1 1
a 1
d1
0 1
0 0 ( a 1)(a 2) ( d 1)( d 2)
,
由 r ( A) r ( A, b) 3 ,故 a 1 或 a 2 ,同时 d 1 或 d 2 。故选(D))
(8) 设 二 次 型
f x1 , x2 , x3
在 正 交 变 换 x Py 下 的 标 准 形 为
2 y12 y22 y32 , 其 中 P (e1 , e2 , e3 ) , 若 Q (e1 , e3 , e2 ) 则
f ( x1 , x2 , x3 ) 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为 :
( )
(A)
(C)
2 y12 y22 y32
2 y12 y22 y32
(B)
2 y12 y22 y32
(D))
2 y12 y22 y32
【答案】(A)
【解析】由 x Py ,故
f xT Ax y T ( PT AP ) y 2 y12 y22 y32 .且
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