2014考研数学三真题及参考答案

2014 考研数学三真题及参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设 lim an a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有（ （A） an  a 2 （B） an  （C） （D） ） a 2 1 an  a  n 1 an  a  n （2）下列曲线有渐近线的是（ ） y  x  sin x （A） 2 y x  sin x （B） （C） y  x  sin （D） y  x （3） （A） （B） （C） （D） （ 4 2  sin ） 1 x 1 x 设 函 数 数 ， g ( x )  f (0)(1  x)  f (1) x ， 则 在 区 间 [0,1] 上（ f ( x) 具 ） （A）当 f '( x ) 0 时， f ( x) g ( x) （B）当 f '( x) 0 时， f ( x) g ( x) （C）当 （D）当 f '( x) 0 时， f (x) g(x) f '( x ) 0 时， f (x) g(x) 0 a （5）行列式 0 c （A） （B） （C） （D） a 0 c 0 ( ad  bc) 2  (ad  bc) 2 a 2 d 2  b 2c 2 b2c 2  a 2 d 2 b 0 d 0 0 b  0 d 有 二 阶 导 （6）设 向量组 均为 3 维向量，则对任意常数 a1 , a2 , a3 1 ,  2 ,  3 k,l ，向量组 1  k 3 ,  2  l 3 线性无关是 线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 X 1  X 2 服从的 （8）设 X , X , X 为来自正态总体 N (0,  2 ) 的简单随机样本，则统计量 1 2 3 2 X3 分布为 （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设某商品的需求函数为 Q 40  2P （P 为商品价 格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设 D 是由曲线 xy  1 0 与直线 y  x 0 及 y=2 围成的有界区域， 则 D 的面积为_________。 (11)设  xe a 0 2x dx  1 4 ，则 a _____ . (12)二次积分 dy ( ex  e 1 1 0 y （13）设二次型 x2 y2 )dx ________. f ( x1 , x2 , x3 ) x12  x22  2ax1 x3  4 x2 x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范 围是_________ （ 14 ） 设 总 体  2x 的 概 率 密 度 为 f ( x; )  2 X  3  0   x  2 ， 其 中 是 未 知 参 数 ,  其它 X 1 , X 2 ,..., X n , 为来自总体 X 的简单样本，若 n c  xi 2 是  2 的 无 偏 估 计 ， 则 c = i 1 _________ 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求极限 x  t   1 lim x   2 1    t  1  t  dt  e     1 ) x x 2 ln(1  （16）（本题满分 10 分） 设平面区域 D {( x, y ) |1  x 2  y 2 4, x 0, y 0} ，计算 x sin( x 2  y 2 ) dxdy. D x  y （17）（本题满分 10 分） 设函数 f (u ) 具有 2 阶连续导数， z  f (e x cos y ) 满足 f (0) 0, f '(0) 0 ，求 f (u ) 2 z 2 z  2 4( z  e x cos y )e 2 x ，若 2 x y 的表达式。 （18）（本题满分 10 分） 求幂级数   (n 1)(n  3) x n 的收敛域及和函数。 n 0 （19）（本题满分 10 分） 设函数 f ( x ), g ( x ) （I） 0  在区间 [ a, b] 上连续，且 f ( x) 单调增加， 0  g ( x) 1 ，证明： x  g (t )dt x  a, x  [a, b]; （II） a  a a b a g (t ) dt f ( x)dx  b f ( x) g ( x)dx.  a  1  2 3  4 （20）（本题满分 11 分）设 A  0 1  1 1  ， E 为 3 阶单位矩阵。    1 2 0  3   ① 求方程组 Ax 0 的一个基础解系； ②求满足 AB E 的所有矩阵 B 1  1 （21）（本题满分 11 分）证明 n 阶矩阵    1 （22）（本题满分 11 分） 1  1  0   1  1  0 与       1  1  0 0  1  0  2 相似。    0  n 设随机变量 X 的概率分布为 P{X=1}=P{X=2}= Y 服从均匀分布 1 ，在给定 X i 的条件下，随机变量 2 U (0, i )(i 1, 2) （1）求 Y 的分布函数 FY ( y ) （2）求 EY （23）（本题满分 11 分） 1 3 2 3 设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 P{ X 0}  , P{ X 1}  , 且 X 与 Y 的相关系数  XY  1 2 （1） 求（X，Y）的概率分布 （2）求 P{X+Y 1} 参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）D （2）B （3） （4）D （5）B （6）A （7）（B） （8）（C） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） dR 40  4 p dp （10） 3  ln 2 2