2014考研数学二真题及参考答案

2014 考研数学二真题及参考答案 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 小， (A) (2, ) 1 2 (B) (1, 2) (C) ( ,1) 1 2 (D) (0, ) (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( (A) (3) 设函数 [0,1] (B) y  x  sin x (C) y  x  sin f ( x) 上 （ ) 1 x y x 2  sin x 2 (D) y  x  sin 具有 2 阶导数， g ( x)  f (0)(1  x)  f (1) x 1 x ，则在区间 ） (A) 当 f ( x ) 0 时， f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x ) (C) 当 f ( x ) 0 时， f ( x)  g ( x) (B) 当 f ( x ) 0 时 ， (D) 当 f ( x) 0 时 ， f ( x)  g ( x) (4)  x t 2  7 曲 线   2  y t  4t  1 （ 上 对 应 于 t 1 的 点 处 的 曲 率 半 径 是 ） (A) 10 50 (B) 10 100 (C) 10 10 (D) (5) （ 5 10 设 函 数 ， 若 f ( x ) arctan x f ( x ) xf ( ) ， 则 2  x 0 x 2 lim ） (A) 1 (B) (6) 设函数 数 （ u ( x, y ) ， 2 3 (C) 在有界闭区域 且 满 D D 2u 0 及 xy 足 (D) 1 3 的内部具有 2 阶连续偏导 2u  2u  2 0 ， 2 x y 则 ） (A) (B) (C) (D) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 u ( x, y ) u ( x, y ) u ( x, y ) 0 a (7) 行列式 0 c (A) (C) 设 D 的最大值和最小值都在 的最大值在 的最小值在 a 0 c 0 b 0 d 0 D D D 的内部上取得 的内部取得，最大值在 D D 的边界上取得 的边界上取得 0 b  0 d ） ( ad  bc) 2 a 2 d 2  b 2c 2 1 ,  2 ,  3 的边界上取得 的内部取得，最小值在 （ (8) 上连续，在 1 2 (B) (D)  (ad  bc) 2 b2c 2  a 2 d 2 均为 3 维向量，则对任意常数 1  k 3 ,  2  l 3 线性无关是向量组 1 ,  2 ,  3 线性无关的 k,l ，向量组 （ ） (B) 充分非必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (A) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定 位置上. ((9) 1   (10) 设 则 1 dx __________. x  2x  5 2 f ( x) f (7)  是周期为 的可导奇函数，且 4 f ( x) 2( x  1), x  [0, 2] ， __________. 7 4 (11) 设 z  z ( x, y ) 是 由 方 程 e 2 yz  x  y 2  z  确 定 的 函 数 ， 则 dz 1 1 ( , ) 2 2 __________. (12) 曲线 r r ( ) 的极坐标方程是 r  ，则 L 在点 ( r ,  ) ( 切线的直角坐标方程是__________. (13) 一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于 x 轴的区间 [0,1]   , ) 处的 2 2 上,若其线密度   x   x 2  2 x  1 ,则该细棒的质心坐标 x __________. (14) 设 二 次 型 f x , x , x  x 2  x 2  2ax x  4 x x 的 负 惯 性 指 数 为  1 2 3 1 2 1 3 2 3 1，则 a 的取值范围为_______. 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)  2  1t   1  t  e  1  t  dt 求极限  . lim  x    1 x 2 ln  1   x  x (16)(本题满分 10 分) 已知函数 y  y  x  满足微分方程 x 2  y 2 y  1  y ，且 y  2  0 ，求 y  x  的极大值与极小 值. (17)(本题满分 10 分) 设 平 面 区 域  x sin  x 2  y 2  x y D D   x, y  1 x 2  y 2 4, x 0, y 0 , 计 算    dxdy . (18)(本题满分 10 分) 设 函 数 f (u ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z  f (e x cosy) 满 足 2 z 2 z ，若 ，求 f (u ) 的 表 达  2 (4 z  e x cos y ) e 2 x f (0) 0, f ' (0) 0 2 x y 式. (19)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x ), g ( x) [a, b] 上连续，且 f ( x) 单调增加， .证明： 0  g ( x) 1 (I) 0  的区间 x  g (t )dt x  a, x  [a, b] , (II) a  a a b a g (t ) dt f ( x ) d x  b f ( x ) g( x )dx .  a (20)(本题满分 11 分) 设 函 数 x f (x)  , x   0,1 ， 1 x 定 义 函 数 列 f1 ( x)  f ( x ), f 2 ( x)  f ( f1 ( x )),  , f n ( x)  f ( f n  1 ( x)), ，记 Sn 是由曲线 成平面图形的面积，求极限 lim nS . n  (21)(本题满分 11 分) n y  f n ( x) ，直线 x 1 及 轴所围 x 已知函数 f ( x, y ) 满足 f y 2( y  1) ，且 f ( y, y ) ( y  1) 2  (2  y ) ln y, 线 y  1 求曲线 f ( x, y ) 0 所围成的图形绕直 旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分 11 分) 1  2 3  4    设矩阵 A  0 1  1 1  ， E 为三阶单位矩阵. 1 2 0  3   (I)求方程组 Ax 0 的一个基础解系； (II)求满足 AB E 的所有矩阵. (23)(本题满分 11 分) 1  1 证明 n 阶矩阵    1 1 1  1     1  0  0 1     1  0  0 2  与 相似.          1  0  0 n  参考答案 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 小，则 (A) (2, ) (B) (1, 2) 1 2 (C) ( ,1) 1 2 (D) (0, ) 【答案】B ln (1  2 x) (2 x) lim lim 2 x  1 0 x 0 x  0 x 0 x x 【解析】由定义 lim