2013考研数学三真题及答案

2013 考研数三真题及答案 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．、 １．当 x  0 时，用 o( x ) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A） （C） （B） x o( x 2 ) o( x 3 ) o ( x )o ( x 2 ) o ( x 3 ) （D） o ( x 2 )  o ( x 2 ) o ( x 2 ) o ( x )  o ( x 2 ) o ( x 2 ) 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例， 例如当 o( x 2 ) x 0 时 f ( x)  x 2  x 3 o( x), g ( x )  x 3 o( x 2 ) ，但 f ( x )  g ( x ) o ( x ) 而不是 故应该选（D）． 2．函数 f ( x)  x （B）1 x ln x  0 lim f ( x ) lim x 0 x 0 lim f ( x ) lim x 1 x 1 x x 时， x x 1 x  1  1 e lim x 0  1 x( x  1) ln x （D）3 x ln x x ln x  1 ~ x ln x 1 x ln x x 0 1 x x lim x ( x  1) ln x x （C）2 x x ( x  1) ln x lim f ( x)  lim x  1 的可去间断点的个数为（ ）  1 x ( x  1) ln x （A）0 【详解】当 x x ln x 2 x ln x  lim x  1  ，所以 ， x 0 是函数 f (x ) 的可去间断点． 是函数 的可去间断点． 1 ，所以 f (x) x 1 2 x ln x  ( x  1) ln x  ，所以所以 x  1 不是函数 f (x ) 的可去间断点． 故应该选（C）． ３．设 Dk 是圆域 D  ( x, y ) | x 2  y 2 1 的第 k 象限的部分，记 I k    (y   Dk x) dxdy ， 则（ ） （A） I1  0 （B） （C） I2  0 I3  0 （D） I4  0 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 k  I k   ( y  x)dxdy   2 Dk ( k  1) k  1  2  1  sin   cos  | k2  1 3 2 d  (sin   cos ) r 2 dr  0 1 k2  k  1 (sin   sin  ) d 3 2  2 2 所以 I 1  I 3 0, I 2   , I 4   ，应该选（B）． 3 3 ４．设  a n  为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）  （A）若 a n  a n 1 ，则  (  1) n  1 a n 收敛； n 1  （B）若  (  1) n  1 a n 收敛，则 a n  a n 1 ； n 1  p （C）若  a n 收敛．则存在常数 P  1 ，使 lim n a n 存在； n  n 1 p  （D）若存在常数 P  1 ，使 lim n a n 存在，则  a n 收敛． n  n 1 【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）． 此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A），但少 一条件 lim a n 0 ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要 n  条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造． ５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ均为，且Ｂ可逆，则Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 【详解】把矩阵 A，C 列分块如下： Ｃ均为，则可知 A  1 , 2 ,,  n , C  1 , 2 ,, n  i bi1 1  bi 2 2    bin n (i 1,2,, n) ，由于ＡＢ＝ ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩 阵 A 的列向量组线性表示．同时由于 B 可逆，即 A CB  1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组 可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该 选（B）． 1  6．矩阵  a 1  a b a 1 2   a  与矩阵  0 0 1   a  0 , b  2 （A） （C） a 2, b 0 2  【 详 解 】 注 意 矩 阵 0 0  2  0 0  0 b 0 0 b 0 0 b 0 0  0  相似的充分必要条件是 0  （B） a 0 ， b 为任意常数 （D） a 2 ， b 为任意常数 0 1   0  是 对 角 矩 阵 ， 所 以 矩 阵 A=  a 1 0   0  0  相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等． 0  1 E  A   a 1  a  b  a 1  a   (2  (b  2)  2b  2a 2 ) 1 从而可知 2b  2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（B）． a b a 1  a 与 矩 阵 1  7 ． 设 X1, X 2 , X 3 Pi P  2  X i 2 （A） （C） 是 随 机 变 量 ， 且Ｂ可逆，则 （B） P2  P1  P3 （D） P3  P2  P1 【详解】若 X ~ N (  ,  2 ) ，则 ， ， ，则 P1  P2  P3 P1 2 (2)  1 X 1 ~ N (0,1), X 2 ~ N (0,2 2 ), X 3 ~ N (5,32 ) P1  P3  P2 X  ~ N (0,1)  X   P2 P  2  X 2 2 P  1  2 1 2(1)  1 ， 2    2  5 X 3  5 2  5  7  7 ， P3 P  2  X 3 2 P     ( 1)        1)  3 3   3  3  3 7 P3  P2 1     3 (1)  2  3 (1)  0 ．  3 故选择（A）． 8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且Ｂ可逆，则 X 和 Y 的概率分布分别为 X 0 1 2 3P P 1/2 1/4 1/8 1/8 Y P 则 P X  Y 2 （ 1 12 【详解】 （A） -1 0 1 1/3 1/3 1/3 ） （B） 1 8 （C） 1 6 （D） 1 2 1 1 1 1 P X  Y 2  P X 1, Y 1  P X 2, Y 0  P X 3, Y  1     ， 12 24 24 6 故选择（C）． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）  n  9．设曲线 y  f (x ) 和 y  x 2  x 在点 1,0  处有切线，则 lim nf   ． n   n2 【详解】由条件可知 f 1 0, f ' (1) 1 ．所以  2   f 1    f (1) n2  n   lim nf   2 f ' (1)  2  lim n   2 n2  n  2  n   n  2  2n z 10．设函数 z  z  x, y  是由方程  z  y  x  xy 确定，则 | (1, 2 ) ． x 【详解】 设 ， F  x, y, z  ( z  y ) x  xy 则 ， Fx  x, y, z  ( z  y ) x ln( z  y )  y, Fz ( x, y, z )  x( z  y ) x  1 当 x 1, y 2 时， z 0 ，所以  11．  1 z | (1, 2 ) 2  2 ln 2 ． x ln x d x ． (1  x) 2 【详解】    ln x 1 ln x  1 x  1 (1  x) 2 d x  1 ln xd 1  x  1  x |1 1 x(1  x) dx ln x  1 |1 ln 2 1 y 0 的通解为． 4 1 1 【详解】方程的特征方程为 r    0 ，两个特征根分别为 1  2  ，所以方程通 4 2 12．微分方程 y   y   解为 x y (C1  C 2 x )e 2 13．设 足 A  aij  是三阶非零矩阵， Aij  aij 0(i, j 1,2,3) 【详解】由条件 从而可知 ，所以 T ，其中 C1 , C 2 为任意常数． 31 A *  A *  A  A A 但 由 结 论 ，则 A A 为其行列式， 为元素 Aij a ij 的代数余子式，且Ｂ可逆，则满 =． Aij  aij 0(i, j 1,2,3) 可知 A  A *T 0 ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， 可能为  1 或 0． r ( A* ) 可 知 ， n n, r ( A)   1 , r ( A) n  1 0, r ( A)  n  1  r ( A) r ( A*) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以 14．设随机变量 X 服从标准正分布 A  A *T 0 A  1. X ~ N (0,1) ，则   ． E Xe 2 X  【详解】   E Xe 2 X     xe 2x 1 2 e  x2 2  x  2 dx   2 2 e  ( x  2)2 2 2 dx  e2 2    ( x  2  2)e t t    e 2    2 2   e 2 E ( X )  2e 2  2e 2 ．  te dt  2 e dt     2     所以为 2e 2 ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分）  ( x  2)2 2 dx 可 知 当 x  0 时， 1  cos x cos 2 x cos 3 x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ． 【分析】主要是考查 x  0 时常见函数的马克劳林展开式． 【 详 解 】 当 x  0时 ， cos x 1  1 2 x  o( x 2 ) ， 2 1 ( 2 x ) 2  o( x 2 ) 1  2 x 2  o( x 2 ) ， 2 1 9 cos 3 x 1  (3 x) 2  o( x 2 ) 1  x 2  o( x 2 ) ， 2 2 所 以 1 9 1  cos x cos 2 x cos 3 x 1  (1  x 2  o( x 2 ))(1  2 x 2  o( x 2 ))(1  x 2  o( x 2 )) 7 x 2  o( x 2 ) 2 2 n a  7 , n  2 由于 1  cos x cos 2 x cos 3 x 与 ax 是等价无穷小，所以 ． 16．（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 ，直线 3 x a (a  0) 及 x 轴所转成的平面图形， V x , V y 分别是 D y x cos 2 x 1  绕 x 轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10V x V y ，求 a 的值． 【详解】由微元法可知 2 5 a a ； 3 V x   y 2 dx   x 3 dx  a 3  0 0 5 4 7 a a ； 6 V y 2  xf ( x)dx 2  x 3 dx  a 3  0 0 7 由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ． 17．（本题满分 10 分） 2 x dxdy ． 设平面区域 D 是由曲线 x 3 y, y 3 x, x  y 8 所围成，求  D 【详解】 2 2 2 2 x dxdy   x dxdy   x dxdy   x  D D1 D2 0 2 3x 6 8 x 2 dx  dy  x dy   x dx  x 3 2 3 416 ． 3 18．（本题满分 10 分） 设 生 产 某 产 品 的 固 定 成 本 为 6000 元 ， 可 变 成 本 为 20 元 / 件 ， 价 格 函 数 为 Q , （P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： 1000 （1）该的边际利润． （2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价 P． 【详解】 P 60  （1）设利润为 y ，则 y  PQ  (6000  20Q ) 40Q  Q2  6000 ， 1000