2013考研数学二真题及参考答案

2013 考研数学二真题及参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.  ，则当 x  0 时，  ( x) 是（ 2 （A）比 x 高阶的无穷小 （B）比 x 低阶的无穷小 （C）与 x 同阶但不等价的无穷小 （D）与 x 等价的无穷小 （1）设 cos x  1  x sin  ( x) ，其中  ( x)  （2）设函数 （A） 2 y  f ( x) （B） 1 由方程 （C）  1 （3）设函数 f ( x )= sin x,   2, （A） （C） 是函数 x  F ( x) 在 cos( xy )  ln y  x 1 F ( x)  2  （ lim n  f ( )  1  n   n  0 x   ， x ，则（ F ( x)  f (t )dt 0   x 2 的跳跃间断点 （B） （D） x  F ( x) 在 是函数 x  ） F ( x) 的可去间断点 处可导 1   ( x  1)  1 , 1  x  e （4）设函数 f ( x )= ，若反常积分  f ( x)dx 收敛，则（   1 1  , x e  x ln 1 x （A）    2 （5）设 z （B）   2 （C）  2    0 （B）  2 yf ( xy ) （C） ） （D） 0    2 y ，其中函数 可微，则 x z z （   f f ( xy ) y x y x （A） 2 yf ( xy ) ） （D）  2 处连续但不可导 x  确定，则 ） ） 2 2 f ( xy ) （D）  f ( xy ) x x （ 6 ） 设 D 是 圆 域 D  ( x, y ) | x 2  y 2 1 在 第 k 象 限 的 部 分 ， 记 k   I k ( y  x)dxdy (k 1, 2,3, 4) ，则（ Dk （A） I1  0 （B） I2  0 （C） I3  0 （7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ） （D） I4  0 AB C , 则B可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价  1 a 1   2 0 0 （8）矩阵  a b a  与  0 b 0  相似的充分必要条件为      1 a 1   0 0 0     （A） （B） （C） （D） a 0, b 2 a 0, b为任意常数 a 2, b 0 a 2, b为任意常数 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) lim(2  x  ln(1  x) 1x )  x (10) 设 函 数 f ( x )  x  dx dy y 0 1 ． 1  et dt ， 则 y  f ( x ) 的 反 函 数 x  f  1 ( y ) 在 y 0 处 的 导 数 ．  (11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 ( 积为 ．  x arctan t (12)曲线    y ln 1  t (13)已知     ) ，则 L 所围成的平面图形的面 6 6 2 y1 e3 x  xe 2 x 上对应于 t 1 的点处的法线方程为 ， y2 e x  xe2 x 程的 3 个解，该方程满足条件 （14）设 y x 0 ， y3  xe 2 x ． 是某二阶常系数非齐次线性微分方 0 y x 0 1 的解为 y  ． A (a ij ) 是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， Aij 为 a ij 的代数余子式，若 a ij  A ij 0(i, j 1, 2,3), 则 A ____ 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 当 时， x 0 1  cos x cos 2 x cos 3 x 与 ax n 为等价无穷小，求 与 的值。 n a （16）（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 y x 1 3 ，直线 x a (a  0) 及 x 轴所围成的平面图形， Vx , Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 V 10V ，求 a 的值。 y x （17）（本题满分 10 分） 设平面内区域 D 由直线 x 3 y , y 3 x 及 x  y 8 围成.计算 2 x dxdy 。 D （18）（本题满分 10 分） 设奇函数 （I）存在 f ( x) 在 [ 1,1] 上具有二阶导数，且 ，使得  （0,1） f ( ) 1 f (1) 1 ；（II）存在 .证明： ，使得  （0,1） f ( )  f ( ) 1 。 （19）（本题满分 11 分） 求曲线 x 3  xy  y 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分 11 分） 设函数 f ( x ) ln x  （I）求 f ( x) （II）设数列 1 ， x 的最小值 {xn } 满足 ln xn  1 xn 存在，并求此极限.  1 ，证明 lim n  xn （21）（本题满分 11 分） 1 4 设曲线 L 的方程为 y  x 2  1 ln x 2 (1 x e) ， （1）求 L 的弧长； （2）设 D 是由曲线 ，直线 L x 1, x e 及 轴所围平面图形，求 x D 的形心的横坐标。 （22）（本题满分 11 分） 设 A  1 a  , B  0    1  ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC  CA B ，并求所有   1 b 1 0  矩阵 C 。 （23）（本题满分 11 分） 设 二 次 型  a1   b1      a2  ,   b2  。 a  b   3  3 2 2 f  x1 , x2 , x3  2  a1 x1  a2 x2  a3 x3    b1 x1  b2 x2  b3 x3  ， 记 （I）证明二次型 （ II ） 若 2 y12  y22 ,  f 对应的矩阵为 ； 2 T    T  正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 。 参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.  ，则当 x  0 时，  ( x) 是（ 2 （A）比 x 高阶的无穷小 （B）比 x 低阶的无穷小 （C）与 x 同阶但不等价的无穷小 （D）与 x 等价的无穷小 （1）设 cos x  1  x sin  ( x) ，其中  ( x)  ） 【答案】（C） sin  ( x) cos x  1 1 sin  ( x) 0 ， lim  ，所以 lim 2 x 0 x 0 x 0 x x 2 【解析】因为 lim 因 此 当 x 0 时 ，  ( x)  0 ， 所 以 sin  ( x)  ( x) ， 所 以 sin  ( x)  ( x) 1 lim  ， x 0 x 0 x x 2 lim 所以  ( x) 是与 同阶但不等价的无穷小。 （2）设函数 x y  f ( x) （A） 2 （B） 1 【答案】（A） 由方程 cos( xy )  ln y  x 1 （C）  1 对 此 隐 函 数 两 边 求 导 得  2  （ lim n  f ( )  1  n   n  ） （D）  2   【解析】由于 f (0) 1 ，所以 lim n  n  确定，则  2  f ( )  f (0)   2  f ( )  1 lim 2  n  2 f (0) ， 2 n  n    n    ( y  xy) sin( xy )  y ， 所 以 ， 故  1 0 f (0) 1 y  2  lim n  f ( )  1 2 。 n   n  （3）设函数 f ( x )= sin x,  0 x   ， x F ( x)  f (t )dt ，则（ 0   x 2  2, （A） 是函数 x  （C） F ( x) 在 F ( x) 的跳跃间断点 处连续但不可导 x  （B） （D） x  F ( x) 在 是函数 x  ） F ( x) 的可去间断点 处可导 【答案】（C）  x sin tdt 1  cos x, 0 x   0 【解析】 F ( x)  f (t )dt   ，   0 x   sin tdt   2dt 2( x    1),  x 2  0  x 由于 lim F ( x )  lim F ( x ) 2 ，所以 F ( x) 在 x  处连续； x   lim x   所以 x   F ( x)  F ( )  1  cos x F ( x)  F ( ) 2( x   )  lim 0 ， lim  lim 2 ， x   x   x   x   x  x  x  F ( x) 在 x  处不可导。 1   ( x  1)  1 , 1  x  e （4）设函数 f ( x )= ，若反常积分  f ( x)dx 收敛，则（   1 1  , x e  x ln 1 x （A）    2 （B）   2 【答案】（D） （C）  2    0 ） （D） 0    2 1   ( x  1)  1 , 1  x  e 【解析】 f ( x )=  1  , x e  x ln 1 x 因为   1 e  f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx ， 1 e 当 e 1 x  e 时 e 1  f ( x)dx  ( x  1) 1 1 1 e dx  lim    1  ， 1 1 1 1 1 ， dx  lim[ ] 1   2  2   1  ( x  1) 2   (  1) 2   (e  1)