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2012 考研数学三真题及答案
一、选择题(1
8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项是符合题目要求的。)
(1) 曲线
y=
x 2+ x 渐近线的条数为
x 2−1
(A)0
(C)2
(B)1
(D)3
【答案】C。
【解析】
由
lim x 2 + x
lim y= x →+∞2
x→+∞
x −1
lim x 2 + x
=1= lim y = x→−∞2
x→−∞
x −1
,
得 y=1 是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;
lim x 2+ x
由
得
是曲线的一条垂直渐近线;
lim y= x→ 12
=∞ x=1
x →1
x −1
lim x 2 + x
由
lim y=
x→−1
x →−1
2
x −1
=
1 得 x=−1不是曲线的渐近线;
2
综上所述,本题正确答案是 C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2) 设函数
,其中 为正整数,则 '
x
2x
nx
f ( x )=(e −1)(e −2)⋯(e −n)
(A)
(−1 )n−1 ( n−1 ) !
(C)
(−1 )n−1 ( n ) !
(B)
(−1 )n ( n−1 ) !
(D)
(−1 )n ( n ) !
【答案】A
【解析】
【方法 1】
令
2x
,则
g ( x )=( e −2)⋯(e nx −n)
f ( x )=(e x −1) g ( x )
f ' ( x)=e x g ( x )+(e x −1)g ' ( x )
f ' ( 0 )=g ( 0 )=(−1 )(−2 ) ⋯(−(n−1))
¿ (−1 )
n−1
( n−1 ) !
故应选 A.
【方法 2】
n
f ( 0 )=¿
由于 f ( 0 )=0 ,由导数定义知
f ( x)
(e x −1)(e 2 x −2)⋯(enx −n)
=lim
x
x
x→ 0
x →0
x
(e −1)
¿ lim
∙ lim (e2 x −2)⋯(e nx −n)
x
x→ 0
x→0
f ' ( 0 )=lim
¿ (−1 ) (−2 ) ⋯ (− ( n−1 ) ) =(−1 )n−1 ( n−1 ) !
.
【方法 3】
排除法,令n=2,则
f ( x )=(e x −1)(e 2 x −2)
f ' ( x )=e x ( e 2 x −2 ) + 2e 2 x (e x −1)
f ' ( 0 )=1−2=−1
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述,本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(3) 设函数 f (t )连续,则二次积分
π
2
2
∫ dθθ ∫
0
(A)
2
f (r 2 )rdθr=¿
2cos θ
2
√ 4− x
∫ dθx ∫ √ x 2+ y 2 f (x 2+ y 2 )dθy
(B)
0
√ 2 x−x 2
2
√ 4− x2
f (x 2+ y 2) dθy
∫ dθx ∫
0
2
(C)
√ 2 x−x 2
√ 4− y 2
∫ dθy ∫ √ x 2+ y 2 f (x 2+ y2 )dθx
(D)
0
1+ √1− y
2
√ 4− y 2
2
f ( x 2+ y 2) dθx
∫ dθy ∫
0
1+ √1− y
2
【答案】B。
【解析】
令 x=rcos θ , y=rsin θ ,则r =2所对应的直角坐标方程为 x 2+ y 2=4 ,r =2cos θ所对应的
直角坐标方程为
。
( x−1)2+ y 2=1
由
π
2
2
∫ dθθ ∫
0
f (r 2 ) rdθr
的积分区域
2cos θ
2 cos θ1 ,即α >
2
2
(−1)n 条件收敛,知
α <2
∑ n2−α
n =1
由级数
∞
综上所述,本题正确答案是(D)
【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定
(5) 设
0
0
1
−1
α 1= 0 , α 2= 1 , α 3= −1 , α 4 = 1 ,其中 c 1 , c2, c 3 , c 4为任意常数,则下列向量
c1
c2
c3
c4
[] [] [ ] [ ]
组线性相关的为
(A)α 1 , α 2 , α 3
(C)α 1 , α 3 , α 4
(B)α 1 , α 2 , α 4
(D)α 2 ,α 3 , α 4
【答案】C。
【解析】
个 维向量相关
n n
⇔|α 1 , α 2 , ⋯ α n|=0
0 1 −1
|α 1 , α 3 , α 4|= 0 −1 1 =0
c 1 c3 c 4
显然
|
|
所以α 1 , α 3 , α 4 必线性相关
综上所述,本题正确答案是(C)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关
1 0 0
(6) 设 A 为 3 阶矩阵, P为 3 阶可逆矩阵,且 P AP= 0 1 0 .若
0 0 2
[ ]
−1
P=( α 1 , α 2 , α 3 ) ,Q=(α 1 +α 2 , α 2 , α 3)
1 0 0
2 0
0 0 1
,则
Q−1 AQ =¿
1 0 0
1 0
0 0 2
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(A) 0
(B) 0
2 0 0
(C) 0 1 0
0 0 2
2 0 0
(D) 0 2 0
0 0 1
【答案】B。
【解析】由于 P经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为Q ,有
1 0 0
Q=P 1 1 0 =P E 21(1)
0 0 1
[ ]
那么
Q−1 AQ =[ P E 21(1)]−1 AP E21 (1)=E21 (1)−1 P−1 AP E21 (1)
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0
¿ −1 1 0 0 1 0 1 1 0 = 0 1 0
0 0 1 0 0 2 0 0 1
0 0 2
[
][ ] [ ] [ ]
综上所述,本题正确答案是(B)。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换
(7) 设随机变量
X ,Y
相互独立,且都服从区间
上的均匀分布,则
(0,1)
P { X +Y 2 ≤1 } =¿
1
1
4
2
π (D) π
(C)
8
4
(A) (B)
【答案】D。
【解析】
❑
P { X 2 +Y 2 ≤1 } =
∬
2
f (x , y)dθxdθy
2
x + y ≤1
而 f ( x , y )=f X ( x ) f Y ( y )=
y <1,
{1,0< x0,<1,0<
其他
即 f ( x , y )是在正方形0< x <1,0< y <1上等于常数 1,其余地方均为 0,
❑
∬
2
2
f ( x , y )dθxdθy 实际上就是单位圆 x 2+ y 2 ≤1 在第一象限的面积。
x + y ≤1
综上所述,本题正确答案是 D。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布
(8) 设
X 1 −X 2
| X 3+ X 4 −2|
X 1 , X 2 , X 3 , X 4为来自总体 N ( 1, σ 2 ) (σ >0)的简单随机样本,则统计量
的分布为
(A) N ( 0,1 )
(B)t (1)
(C)
(D)
χ 2 (1)
F (1,1)
【答案】B。
【解析】
1, X 1 −X 2 N ( 0, 2 σ 2 ),故
2,
√
2
X 1−X 2
N ( 0,1 ) ;
√2 σ
,故 X 3 + X 4−2
X 3 + X 4−2 N ( 0, 2 σ )
, X 3 + X 4−2
N ( 0,1 ) (
√2 σ
√2 σ
)
2
相互独立。 X 1−X 2 与 X 3 + X 4−2 也相互独立,
与
X 1 −X 2 X 3 + X 4−2
√2 σ
(
√2 σ
)
X 1−X 2
√ 2 σ = X 1−X 2 t (1)
所以
| X 3+ X 4 −2| | X 3 + X 4 −2|
√2 σ
综上所述,本题正确答案是 B。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念
二、填空题(9
14 小题,每小题 4 分,共 24 分。)
1
(9) lim ( tan x) cos x−sin x =¿ 。
π
4
【答案】e−√ 2。
【解析】这是一个‘1∞’型极限,由于
1
cos x−sin x
1
cos x−sin x
( tan x )
=[1+(tan x−1)]
lim tan x−1
lim tan x −1
lim −1
x→
π
4
x→
cos x−sin x
=
π
4
x→
cos x(1−tanx)
所以 lim ( tan x)
1
cos x−sin x
=
π
4
cos x
=−√ 2
=e−√ 2
π
x→
4
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(10)设函数 f ( x )=
√ x ,∧x ≥1 y=f ( f ( x ) ) , dθy
{2lnx−1,∧x
dθx |
<1
,
则
x=e
=¿。
,
χ 2 (1)
X 3 + X 4−2 2
| X 3 + X 4 −2|
(
) /1=
√2 σ
√ 2σ
3,
x→
2
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