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2011 考研数学三真题及答案
一.选择题
1. 已 知 当 Error: Reference source not found x 0 时 , 函 数 f ( x ) 3sin x sin 3 x
k
Error: Reference source not found 与 cx 是等价无穷小,则
(A) k 1, c 4
(B) k 1, c 4
(C) Error: Reference source not found (D) k 3, c 4
2.已知
(A)
(C)
f x
在 x 0 处可导,且
2 f ' 0
(B)
f ' 0
3.设
un
(A)若 n 1
f ' 0
u
收敛,则 n 1
2n 1
u
(B)若 n 1
un
n 1
u2 n
收敛
2n 1
u2 n
u
收敛,则 n 1
n
收敛
收敛,则
u
u2 n 1 u 2 n
n 1
2n 1
u2 n
n 1
4.设
x3
是数列,则下列命题正确的是
un
(D)若
lim
,则 x 0
(D) 0
(C)若
f 0 0
x 2 f x 2 f x3
收敛
u
收敛,则 n 1
n
收敛
I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx
0
(A) I J K
(B) I K J
(C) J I K
(D) K J I
0
0
,则 I , J , K 的大小关系是
5.设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ,再交换 B 的第二行与第一行得
1 0 0
1 0 0
P1 1 1 0 P2 0 0 1
0 0 1
0 1 0
单位矩阵.记
,
,则 A
(A)
P1 P2
(B)
P1 1 P2
(C)
P2 P1
(D)
P2 1 P1
6.设 A 为 4 3 矩阵,
1 , 2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解, k1 , k2
为任意常数,则 Ax 的通解为
2 3
k1 2 1
2
(A)
2 3
k2 2 1
(B) 2
2 3
k1 3 1 k2 2 1
(C) 2
7.设
F1 x , F2 x
2 3
k2 2 1 k3 3 1
(D) 2
为两个分布函数,其相应的概率密度
f1 x , f 2 x
是连续函数,则必
为概率密度的是
(A)
(C)
f1 x f 2 x
(B)
f1 x F2 x
(D)
2 f 2 x F1 x
f1 x F2 x f 2 x F1 x
0 的泊松分布, X 1 , X 2 ,, X n n 2 为来自总体的简
8.设总体 X 服从参数为
单随机样本,则对应的统计量
(A)
ET1 ET2 , DT1 DT2
(B)
ET1 ET2 , DT1 DT2
(C)
ET1 ET2 , DT1 DT2
(D)
ET1 ET2 , DT1 DT2
T1
1 n
1 n 1
1
X
T
Xi Xn
i
2
n i 1 ,
n 1 i 1
n
二、填空题
x
9.设
f ( x) lim x(1 3t ) t
t 0
,则 f ( x )
x
x
dz
z (1 ) y
(1,
0)
y
10.设函数
,则
tan( x y ) e y
4
11.曲线
在点 (0, 0) 处的切线方程为
2
12.曲线 y x 1 ,直线 x 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体
积为
13.设二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) xT Ax
的秩为 1, A 中行元素之和为 3,则 f 在正交变换下
x Qy 的标准为
2
2
2
14.设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 N ( , ; , ; 0) ,则 E ( XY )
三、解答题
lim
15.求极限
x 0
1 2sin x x 1
x ln(1 x)
16. 已 知 函 数 f (u, v) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 , f (1,1) 2 是 f (u, v) 的 极 值 ,
z f ( x y ), f ( x, y )
。求
2 z
xy (1,1)
arcsin x ln x
dx
x
17.求
18.证明
4 arctan x x
4
3
3 0
恰有 2 实根.
19.
f ( x )在[ 0, 1] 有连续的导数,f (0) 1,且f ' ( x y )dxdy f ' ( x y )dxdy
Dt
Dt
Dt ( x, y ) | 0 y t , 0 x t (0 t 1), 求f ( x)的表达式。
T
20.
T
1 1, 0,1 , 2 0,1,1 , 3 1,3,5
T
T
1 1, a,1 , 2 1, 2,3 , 3 1,3,5
T
T
不能由
线性表出。①求 a ;②将
线性表出。
1 1 1 1
A 0 0 0 0
1 1 1 1
21. A 为三阶实矩阵, R ( A) 2 ,且
(1)求 A 的特征值与特征向量(2)求 A
22.
X
0
1
P
1/3
2/3
Y
P
P X Y
2
2
1
-1
0
1
1/3
1/3
1/3
1 , 2 , 3 由 1 , 2 3
求:(1)
23.
X , Y 的分布;(2) Z XY 的分布;(3) XY .
X , Y 在 G 上服从均匀分布, G 由 x
① 求边缘密度
参考答案
f X ( x) ;②求 f X |Y ( x | y )
y 0, x y 2 与 y 0 围成。
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