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2011考研数学二真题及答案

2020-07-16发布者:郝悦皓大小:1.73 MB 下载:0

2011 考研数学二真题及答案 一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.) (1) 已知当 (A) x 0 k 1, c 4 时, f x 3sin x  sin 3 x 与 k 是等价无穷小,则(   cx . (B) k 1, c  4 . (C) k 3, c 4 . (D) k 3, c  4   =( 2 x f x  2f x (2) 已知 f x 在   x 0 处可导,且 f  0  0 ,则 lim   x x 0 (A)  2 f  0 .   (B)  f  0 .   (C) f  0 .   (B) 1. (4) 微分方程 (A) (C) 则函数 x(ae x  be   x ) (C) (B) . f ( x), g ( x) z  f ( x) g ( y ) (A) . 在点 I  ln sin x dx , ) . x 2 ( ae x  be  x ) (B) (D)  4 0 . f (0)  0, g (0)  0, 处取得极小值的一个充分条件是( f (0)  0, g (0)  0.  4 0 ax (e x  e   x ) 均有二阶连续导数,满足 f (0)  0, g (0)  0. (6) 设 ) 的特解形式为( (D) (0, 0) ) 3 (D) 3. y   2 y e  x  e   x (  0) a (e  x  e   x ) (5) 设函数 (C) 2. 3 . (D) 0. (3) 函数 f ( x ) ln ( x  1)( x  2)( x  3) 的驻点个数为( (A) 0. ) 且 f (0) g (0) 0 ) f (0)  0, g (0)  0. f (0)  0, g (0)  0. J  ln cot x dx ,  4 0 K  ln cos x dx ,则 I,J,K 的大 小关系是( ) (A) I  J  K . (B) I  K  J . (C) J  I  K . (D) K  J  I . (7) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3  1 0 0  1 0 0   行得单位矩阵,记 P  1 1 0 , P  0 0 1  ,则 A ( 1 2      0 0 1  0 1 0     (A) P1 P2 . (B) P1 1 P2 . (C) , P2 P1 . (D) ) P2 P1 1 . (8) 设 Ax 0 A (1 ,  2 ,  3 ,  4 ) 的一个基础解系,则 (A) 1 ,  3 . (B) 是 4 阶矩阵, A* x 0 A* 为 A 的伴随矩阵,若 的基础解系可为( 1 ,  2 . (C) 是方程组 (1, 0,1, 0)T ) 1 ,  2 ,  3 . (D)  2 ,3 , 4 . 二、填空题(9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.) (9) lim( x 0 . 1  2 x 1x )   2 (10) 微分方程 (11) 曲线 y  y ' y e  x cos x y (0) 0 的解为 .   (0  x  ) 的弧长 s  . 4 x  tan tdt 0 (12) 设函数 f ( x )  e  满足条件  x , x  0,    0, 则  xf ( x )dx  .   0, x 0, (13) 设平面区域 D 由直线 y  x, 圆 x 2  y 2 2 y 及 y 轴围成,则二重积分 xyd  D .  (14) 二次型 为 f ( x1 , x2 , x3 ) x12  3x22  x32  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x3 ,则 f 的正惯性指数 . 三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 10 分) x 已知函数  ln(1  t F ( x)  0 xa 2 )dt ,设 lim F ( x )  lim F ( x ) 0, 试求 a 的取值范围.  x   x 0 (16) (本题满分 11 分) 1 1  x  t3  t  ,   3 3 确定,求 设函数 y  y( x) 由 参 数 方 程  y  y ( x) 的 极 值 和 曲 线 1 1  y  t3  t  ,  3 3 y  y ( x) 的凹凸区间及拐点. (17) (本题满分 9 分) 设 函数 z  f ( xy, yg ( x)) , 其中 函数 f 具有 二阶 连续 偏导 数, 函数 g ( x) 可 导且 在 2 z x 1 处取得极值 g (1) 1 ,求 xy x 1 y 1 (18) (本题满分 10 分) 设函数 具有二阶导数,且曲线 y( x) l 在点 ( x, y ) 处切线的倾角,若 . l : y  y ( x) 与直线 y  x 相切于原点,记  为曲线 d dy  , 求 y ( x ) 的表达式. dx dx (19) (本题满分 10 分) (I)证明:对任意的正整数 n,都有 (II)设 an 1  1 1 1  ln(1  )  成立. n 1 n n 1 1     ln n (n 1, 2,) ,证明数列  an  收敛. 2 n (20) (本题满分 11 分) 一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 1 1 x 2  y 2 2 y ( y  ) 与 x 2  y 2 1( y  ) 连接而成的. 2 2 (I) 求容器的容积; (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位: m , 重力加速度为 gm / s 2 ,水的密度为 103 kg / m3 ). y 2 x 2  y 2 2 y 1 1 2 1 O 1 x x 2  y 2 1 1 图1 (21) (本题满分 11 分) 已 知 函 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且 f ( x, y ) f ( x, y)dxdy a , 其 中 D f (1, y ) 0 , f ( x,1) 0 , D  ( x, y ) | 0 x 1,0  y 1 , 计 算 二 重 积 分 I xy f xy ( x, y )dxdy . D (22) (本题满分 11 分) 设向量组  2 (1, 2,3)T 1 (1, 0,1)T ,  2 (0,1,1)T ,  3 (1,3,5)T , 3 (3, 4, a )T (I) 求 a 的值; 线性表示. ,不能由向量组 1 (1,1,1)T , (II) 将 1 ,  2 , 3 由 1 ,  2 ,  3 线性表示. (23) (本题满分 11 分) A 为三阶实对称矩阵, A 的秩为 2,即 r  A  2 ,且  1 1   1 1    . A  0 0   0 0    1 1  1 1     (I) 求 A 的特征值与特征向量; (II) 求矩阵 A . 参考答案 一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.) (1)【答案】(C). 3sin x  sin 3 x 3sin x  sin x cos 2 x  cos x sin 2 x lim k x 0 x 0 cx cx k 【解析】因为 lim lim sin x  3  cos 2 x  2 cos 2 x  cx k x 0 lim 3   2 cos 2 x  1  2 cos 2 x cx k  1 x 0 3  cos 2 x  2 cos 2 x x 0 cx k  1 lim 4  4cos 2 x 4sin 2 x lim lim x 0 x  0 cx k  1 cx k  1 4 1 . x  0 cx k  3 lim 所以 c 4, k 3 ,故答案选(C). (2)【答案】(B). 【解析】 lim x 2 f  x  2 f  x 3  x 0 lim x3 x 2 f  x   x 2 f  0  2 f  x 3   2 f  0 x 0 x3  f  x   f  0 f  x 3   f  0   lim  2 x 0 x x3    f  0   2 f  0   f  0  . 故答案选(B). (3)【答案】(C). 【解析】 f ( x ) ln x  1  ln x  2  ln x  3 f '( x )   令 f '( x) 0 1 1 1   x 1 x 2 x 3 3 x 2  12 x  11 ( x  1)( x  2)( x  3) ,得 x1,2  6  3 ,故 f ( x) 有两个不同的驻点. 3 (4)【答案】(C). 【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为 所以非齐次方程 非齐次方程 y   2 y e x 有特解 y   2 y e   x r 2   2 0 y1  x a e x 有特解 ,解得特征根 r1  , r2   , y2 x b e  x 故由微分方程解的结构可知非齐次方程 , y   2 y e  x  e   x 可设特解 y x(ae x  be   x ). (5)【答案】(A). 【解析】由题意有 z x 所以, , z y  f ( x) g ( y ) z z  f (0) g (0) 0 ,  f (0) g (0) 0 ,即  0, 0  点是可能的极值点. x  0,0 y  0,0 2 2 又因为  z x 所以,  f ( x ) g ( y ) 2  f ( x ) g ( y ) ,  z xy 2  f ( x) g ( y) , z y 2  g ( y ) f ( x) ,  2z 2 z , B  |(0,0)  f (0) g (0) 0 ,   A  2 |(0,0)  f (0) g (0) xy x C 2 z |(0,0)  f (0) g (0) , y 2 根据题意由 0, 0 为极小值点,可得 且 ,所以有   AC  B 2  A C  0, A  f (0) g (0)  0 C  f (0) g (0)  0. 由题意 (6)【答案】(B). f (0)  0, g (0)  0 ,所以 . f (0)  0, g (0)  0 ,故选(A).
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