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2011 考研数学二真题及答案
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1) 已知当
(A)
x 0
k 1, c 4
时, f x 3sin x sin 3 x 与 k 是等价无穷小,则(
cx
.
(B)
k 1, c 4
.
(C)
k 3, c 4
. (D)
k 3, c 4
=(
2
x f x 2f x
(2) 已知 f x 在
x 0 处可导,且 f 0 0 ,则 lim
x
x 0
(A) 2 f 0 .
(B) f 0 .
(C) f 0 .
(B) 1.
(4) 微分方程
(A)
(C)
则函数
x(ae x be x )
(C)
(B)
.
f ( x), g ( x)
z f ( x) g ( y )
(A)
.
在点
I ln sin x dx
,
)
.
x 2 ( ae x be x )
(B)
(D)
4
0
.
f (0) 0, g (0) 0,
处取得极小值的一个充分条件是(
f (0) 0, g (0) 0.
4
0
ax (e x e x )
均有二阶连续导数,满足
f (0) 0, g (0) 0.
(6) 设
)
的特解形式为(
(D)
(0, 0)
)
3
(D) 3.
y 2 y e x e x ( 0)
a (e x e x )
(5) 设函数
(C) 2.
3
.
(D) 0.
(3) 函数 f ( x ) ln ( x 1)( x 2)( x 3) 的驻点个数为(
(A) 0.
)
且
f (0) g (0) 0
)
f (0) 0, g (0) 0.
f (0) 0, g (0) 0.
J ln cot x dx
,
4
0
K ln cos x dx
,则
I,J,K
的大
小关系是( )
(A) I J K . (B) I K J .
(C) J I K . (D) K J I .
(7) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵,记 P 1 1 0 , P 0 0 1 ,则 A (
1
2
0 0 1
0 1 0
(A)
P1 P2 .
(B)
P1 1 P2
.
(C)
,
P2 P1 .
(D)
)
P2 P1 1
.
(8) 设
Ax 0
A (1 , 2 , 3 , 4 )
的一个基础解系,则
(A)
1 , 3 .
(B)
是 4 阶矩阵,
A* x 0
A*
为
A
的伴随矩阵,若
的基础解系可为(
1 , 2 .
(C)
是方程组
(1, 0,1, 0)T
)
1 , 2 , 3 .
(D)
2 ,3 , 4 .
二、填空题(9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置
上.)
(9)
lim(
x 0
.
1 2 x 1x
)
2
(10) 微分方程
(11) 曲线 y
y ' y e x cos x
y (0) 0
的解为
.
(0 x ) 的弧长 s .
4
x
tan tdt
0
(12) 设函数 f ( x ) e
满足条件
x
, x 0,
0, 则 xf ( x )dx .
0, x 0,
(13) 设平面区域 D 由直线 y x, 圆 x 2 y 2 2 y 及 y 轴围成,则二重积分
xyd
D
.
(14) 二次型
为
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3x22 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
,则
f 的正惯性指数
.
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 10 分)
x
已知函数
ln(1 t
F ( x)
0
xa
2
)dt ,设 lim F ( x ) lim F ( x ) 0, 试求 a 的取值范围.
x
x 0
(16) (本题满分 11 分)
1
1
x t3 t ,
3
3 确定,求
设函数
y y( x) 由 参 数 方 程
y y ( x) 的 极 值 和 曲 线
1
1
y t3 t ,
3
3
y y ( x)
的凹凸区间及拐点.
(17) (本题满分 9 分)
设 函数
z f ( xy, yg ( x))
, 其中 函数
f
具有 二阶 连续 偏导 数, 函数
g ( x)
可 导且 在
2 z
x 1 处取得极值 g (1) 1 ,求
xy
x 1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
设函数
具有二阶导数,且曲线
y( x)
l 在点 ( x, y ) 处切线的倾角,若
.
l : y y ( x)
与直线
y x 相切于原点,记 为曲线
d dy
, 求 y ( x ) 的表达式.
dx dx
(19) (本题满分 10 分)
(I)证明:对任意的正整数 n,都有
(II)设 an 1
1
1
1
ln(1 ) 成立.
n 1
n
n
1
1
ln n (n 1, 2,) ,证明数列 an 收敛.
2
n
(20) (本题满分 11 分)
一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由
1
1
x 2 y 2 2 y ( y ) 与 x 2 y 2 1( y ) 连接而成的.
2
2
(I) 求容器的容积;
(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位: m ,
重力加速度为
gm / s 2
,水的密度为
103 kg / m3
).
y
2
x 2 y 2 2 y
1
1
2
1
O
1
x
x 2 y 2 1
1
图1
(21) (本题满分 11 分)
已 知 函 数
具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且
f ( x, y )
f ( x, y)dxdy a ,
其
中
D
f (1, y ) 0
,
f ( x,1) 0
,
D ( x, y ) | 0 x 1,0 y 1 , 计 算 二 重 积 分
I xy f xy ( x, y )dxdy .
D
(22) (本题满分 11 分)
设向量组
2 (1, 2,3)T
1 (1, 0,1)T , 2 (0,1,1)T , 3 (1,3,5)T
,
3 (3, 4, a )T
(I) 求 a 的值;
线性表示.
,不能由向量组
1 (1,1,1)T
,
(II) 将
1 , 2 , 3
由
1 , 2 , 3
线性表示.
(23) (本题满分 11 分)
A
为三阶实对称矩阵,
A
的秩为 2,即
r A 2
,且
1 1 1 1
.
A 0 0 0 0
1 1 1 1
(I) 求 A 的特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 A .
参考答案
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1)【答案】(C).
3sin x sin 3 x
3sin x sin x cos 2 x cos x sin 2 x
lim
k
x 0
x 0
cx
cx k
【解析】因为 lim
lim
sin x 3 cos 2 x 2 cos 2 x
cx k
x 0
lim
3 2 cos 2 x 1 2 cos 2 x
cx k 1
x 0
3 cos 2 x 2 cos 2 x
x 0
cx k 1
lim
4 4cos 2 x
4sin 2 x
lim
lim
x 0
x 0 cx k 1
cx k 1
4
1 .
x 0 cx k 3
lim
所以
c 4, k 3
,故答案选(C).
(2)【答案】(B).
【解析】
lim
x 2 f x 2 f x 3
x 0
lim
x3
x 2 f x x 2 f 0 2 f x 3 2 f 0
x 0
x3
f x f 0
f x 3 f 0
lim
2
x 0
x
x3
f 0 2 f 0 f 0 .
故答案选(B).
(3)【答案】(C).
【解析】 f ( x ) ln x 1 ln x 2 ln x 3
f '( x )
令
f '( x) 0
1
1
1
x 1 x 2 x 3
3 x 2 12 x 11
( x 1)( x 2)( x 3)
,得
x1,2
6 3 ,故 f ( x) 有两个不同的驻点.
3
(4)【答案】(C).
【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为
所以非齐次方程
非齐次方程
y 2 y e x
有特解
y 2 y e x
r 2 2 0
y1 x a e x
有特解
,解得特征根
r1 , r2
,
y2 x b e x
故由微分方程解的结构可知非齐次方程
,
y 2 y e x e x
可设特解
y x(ae x be x ).
(5)【答案】(A).
【解析】由题意有 z
x
所以,
, z
y
f ( x) g ( y )
z
z
f (0) g (0) 0 ,
f (0) g (0) 0 ,即 0, 0 点是可能的极值点.
x 0,0
y 0,0
2
2
又因为 z
x
所以,
f ( x ) g ( y )
2
f ( x ) g ( y )
, z
xy
2
f ( x) g ( y)
, z
y
2
g ( y ) f ( x) ,
2z
2 z
,
B
|(0,0) f (0) g (0) 0 ,
A 2 |(0,0) f (0) g (0)
xy
x
C
2 z
|(0,0) f (0) g (0) ,
y 2
根据题意由 0, 0 为极小值点,可得
且
,所以有
AC B 2 A C 0, A f (0) g (0) 0
C f (0) g (0) 0.
由题意
(6)【答案】(B).
f (0) 0, g (0) 0
,所以
.
f (0) 0, g (0) 0
,故选(A).
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