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2010 考研数学三真题及答案
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1
x
1
x
(1)若 lim[ ( a )e x ] 1 ,则 a 等于
x 0
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2) 设 y , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解. 若常数 , 使
1
2
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是对应的齐次方程的解, 则
1
2
(A) ,
(3)设函数
1
1
1
2
1
2
2
(B) ,
(C) , (D) ,
2
2
2
3
3
3
3
f ( x), g ( x)
具有二阶导数,且
g ( x) 0
。若
g ( x0 ) a
是
g ( x)
的极值,则
f g x 在 x0 取极大值的一个充分条件是
(A) f a 0
(B) f a 0
(4)设 f x ln10 x,
g x x,
(C) f a 0
(D) f a 0
x
10
h x e ,则当 x 充分大时有
(A) g x h x f x .
(B) h x g x f x .
(C) f x g x h x .
(D) g x f x h x .
(5) 设向量组
I : 1 , 2 , , r
可由向量组
是
(A) 若向量组 I 线性无关, 则 r s
(C) 若向量组 II 线性无关, 则 r s
(6)设 为 4 阶对称矩阵,且 2
A
A A 0
II : 1 , 2 , , s
线性表示, 则列命题正确的
(B) 若向量组 I 线性相关, 则 r s
(D) 若向量组 II 线性相关, 则 r s
若
A
的秩为 3,则
1
1
(A)
1
0
A
相似于
1
1
(B)
1
0
1
1
(C)
1
0
1
1
(D)
1
0
1
0, x 0
(7) 设随机变量 X 的分布函数 F ( x) 1 , 0 x 1 ,则 P X 1
2
1 e x , x 1
(A) 0
(8) 设
(B) 1
f1 ( x)
(C)
为标准正态分布的概率密度
f 2 ( x)
1 1
e
2
为
(D) 1 e 1
[ 1,3]
上均匀分布的概率密度,
af ( x), x 0
f ( x) 1
(a 0, b 0) 为概率密度,则 a, b 应满足
bf
(
x
),
x
0
2
(A) 2a 3b 4
(B) 3a 2b 4
(C) a b 1
(D) a b 2
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设可导函数 y y x 由方程
x y
0
1
(10)设位于曲线 y
x(1 ln 2 x )
x
2
e t dt x sin t 2 dt 确定,则
0
dy
dx
x 0
______
(e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为 G , 则 G
绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为
_________
。
(11)设某商品的收益函数为 R p ,收益弹性为
, 其中 p 为价格, 且 R 1 1 , 则
1 p3
R p _______
(12)若曲线
y x3 a x 2 bx 1
有拐点 1, 0 , 则 b ________ 。
(13) 设 A, B 为 3 阶矩阵, 且 A 3, B 2, | A 1 B |2, 则
| A B 1 | _______ .
( 14 ) 设
T
X 1 , X 2 , , X n
是来自总体
N ( , 2 )( 0)
的简单随机样本。记统计量
1 n 2 ,则
。
Xi
E (T ) _______
n i 1
三、解答题(15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分 10 分)
1
1
求极限 lim ( x x 1) ln x
x
(16)(本题满分 10 分)
计算二重积分
3
( x y ) dxdy , 其 中 D 由 曲 线 x
D
2
1 y 2 与 直 线 x 2 y 0 及
x
2 y 0
围成.
(17)(本题满分 10 分)
求函数
u xy 2yz
在约束条件
x 2 y 2 z 2 10
下的最大值和最小值 .
(18) (本题满分 10 分)
(1)比较
1
1
ln t [ln(1 t )] dt 与 t
n
0
0
1
n
ln t dt (n 1, 2,) 的大小,说明理由。
ln t [ln(1 t )] dt , (n 1, 2,) 求极限 lim u
(2)记 u
n
n
n
0
n
。
(19)(本题满分 10 分)
设函数 f x 在闭区间 0, 3 上连续, 在开区间 0, 3 内存在二阶导数, 且
2
2 f (0) f ( x)dx f (2) f (3)
0
(I) 证明存在 0, 2 , 使得 f ( ) f 0 ;
(II) 证明存在 0, 3 , 使得 f ( ) 0 。
(20) (本题满分 11 分)
1
1
a
设 A 0 1 0 , b 1 已知线性方程组 AX b 存在两个不同的解.
1
1
1
(1) 求
, a
;
(2) 求方程组 AX b 的通解.
(21) (本题满分 11 分)
0 1 4
设 A 1 3 a ,正交矩阵 Q 使得 QT AQ 为对角矩阵.若 Q 的第一列为 1 (1, 2,1)T ,求
6
4 a 0
a, Q
.
(22)(本题满分 11 分)
2
2 ,
设 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 为
x ,
f ( x, y ) Ae 2 x 2 xy y
y 求常数 A 以及条件概率密度 fY | X y | x 。
(23) (本题满分 11 分)
箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记
X 为取出红球的个数, Y 为取出白球的个数 .
(I) 求随机变量 X , Y 的概率分布;
3
(II) 求 Cov X , Y .
参考答案
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限,进而解出a.
【详解】由于
1 1
1 e x axe x
1 ex
lim[ ( a)e x ] lim
lim(
ae x )
x 0 x
x
0
x
0
x
x
x
1 ex
lim ae x a 1
x 0
x 0
x
lim
从而由题设可得 a 1 1 ,即 a 2 ,故应选(C)
(2) 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构
【详解】因为 y , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,所
1
2
以
y1 p x y1 y2 p x y2 q x ---------------------------(1)
由于
y1 y2 是该方程的解,则
( y1 y2 ) p x ( y1 y2 ) q x 即 ( y1 p x y1 ) ( y2 p x y2 ) q x
将(1)代入上式可得:
由于
y1 y2
1
——————————————(2)
是对应的齐次方程的解
则 ( y y ) p x ( y y ) 0 ,即 ( y p x y ) ( y p x y ) 0
1
1
2
1
2
2
1
2
将(1)代入上式可得:
由(2)、(3)可得
0
——————————————(3)
g ( x) 0 。故应选(A)
评注:设 y , y , , y 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的解,则对于常数
1
2
s
k1 , k2 , , ks
,有下列结论:
⑴ 若 k k k 1 ,则 k y k y k y 是方程 y p x y q x 的解;
1 1
2 2
s s
1
2
s
⑵ 若 k k k 0 ,则 k y k y k y 是方程 y p x y 0 的解。
1
2
s
1 1
2 2
s s
4
(3)【分析】本题主要考查导数的应用.求 f g x 的一、二阶导数,利用取得极值的必
要条件及充分条件。
【详解】令 F ( x) f g x ,则
F ( x ) f g x f g x g x ,
F ( x) f g x { [ f g x ] g x } f g x [ g x ]2 f g x g x
由 g x a 是 g ( x ) 的极值知 g x 0 。于是有
0
0
F ( x0 ) 0
,
F ( x0 ) f ( a) g ( x0 )
由于 g ( x) 0 , 要使 F ( x ) f g x 0 , 只要 f a 0 .
0
0
因此应选(B)
(4).【分析】计算两两比的极限便可得到答案
【详解】因为
lim
x
f ( x)
ln10 x
ln 9 x
ln 8 x
lim
10 lim
10 9 lim
x
x
g ( x) x x
x
x
10! lim
x
ln x
1
10! lim 0 ,
x
x
x
g ( x)
x
1
lim x lim
0 ,
x
x h( x )
x
x 1
e10
e10
10
lim
由此可知当 充分大时,
x
f ( x ) g ( x ) h( x )
,故应选(C)。
(5) 【分析】本题考查向量组的线性相关性。
【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示,所以(
r I)(
r II),即
r (1 , 2 , , r)r ( 1 , 2 , , s ) s,
若向量组 线性无关,则
I
评注:“若
1 , 2 , , r
r (1 , 2 , , r ) r
线性无关且
,所以
1 , 2 , , r
r s
可由
. 故应选(A).
1 , 2 , , s
线性表示,则
r s
”这是线性代数中的一个重要定理,对定理熟悉的考生可直接得正确答案.
(6) 【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。
【详解】由于
A2 A 0
,所以
A( A E ) 0
,由于
A
的秩为 3,所以
从而 A 0, A E 0 ,所以 0, 1 是矩阵 的特征值。
A
1
2
5
A E
不可逆,
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