2008考研数学一真题及答案

2008 考研数学一真题及答案 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) x2 f ( x )  ln(2  t )dt  ，则 f ( x ) 的零点个数为【 (C) 2. (D) 3． 0 （1）设函数 (A) 0. (B) 1. 【答案】应选(B). 2 】 2  【详解】 f ( x) ln(2  x ) 2 x 2 x ln(2  x ) ．    显然 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续，且 f ( 1)  f (1) ( 2 ln 3)  (2 ln 3)  0 ，由零  点定理，知 f ( x ) 至少有一个零点． 4x2 f ( x ) 2 ln(2  x )  0  2  x2 又 ，恒大于零，所以 f ( x ) 在 ( , ) 上是单调递 2   增的．又因为 f (0) 0 ，根据其单调性可知， f ( x ) 至多有一个零点．  故 f ( x ) 有且只有一个零点．故应选(B). f ( x, y ) arctan （2）函数 (A) i (B)  i . x y 在点(0,1)处的梯度等于【 (C) j . 】 (D)  j . 【答案】 应选(A). 1 x  2 f y f x y y   2   2 2 2 2 x x x x y y x  y2 1 2 1 2 y y 【详解】因为 ． ． 所以 f x 1 (0,1) ， f y 0 (0,1) （3）在下列微分方程中，以 数）为通解的是【 ，于是 gradf ( x, y ) (0,1) i .故应选(A). y C1e x  C2 cos 2 x  C3 sin 2 x 】    (A) y  y  4 y  4 y 0 .    (B) y  y  4 y  4 y 0 .    (C) y  y  4 y  4 y 0 .    (D) y  y  4 y  4 y 0 . 【答案】 应选(D). （ C1 , C2 , C3 为任意的常 【详解】由 y C1e x  C2 cos 2 x  C3 sin 2 x ，可知其特征根为 1 1 ， 2,3 2 i ，故对应的特征值方程为 (  1)(  2i )(  2i ) (  1)(  2  4)  3  4   2  4  3   2  4  4    所以所求微分方程为 y  y  4 y  4 y 0 ．应选(D). {x } （4）设函数 f ( x ) 在 ( , ) 内单调有界， n 为数列，下列命题正确的是【 (A) 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 收敛 (B) 若 (C) 若 { f ( xn )} 收敛，则 {xn } 收敛. (D) 若 】． {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收敛 { f ( xn )} 单调，则 {xn } 收敛. 【答案】 应选(B). 【详解】若 {xn } 单调，则由函数 f ( x ) 在 ( , ) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调有界， { f ( xn )} 收敛．故应选(B). 因此若 3 （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A 0 ，则【 】 则下列结论正确的是： (A) E  A 不可逆，则 E  A 不可逆. (C) E  A 可逆，则 E  A 可逆. (B) E  A 不可逆，则 E  A 可逆. (D) E  A 可逆，则 E  A 不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E ， ( E  A)( E  A  A2 ) E  A3 E ． 故 E  A ， E  A 均可逆．故应选(C). x （6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 y  x z  A  y  1  z   在正交变换下的标 准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为【 (A) 0. (B) 1. (C) 2. 】 (D) 3. 【答案】 应选(B). x2 y 2  z 2  1 2 c2 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 a ．故 A 的正特征值个数为 1．故应选(B). （7） 设随机变量 X ,Y 独 立 同 分 布 且 Z max{ X , Y } 的分布函数为【 X 的 分 布 函 数 为 F ( x) ， 则 】 F 2 ( x ) . (B) F ( x ) F ( y ) . (C) 1  [1  F ( x )]2 . (D) [1  F ( x )][1  F ( y )] . (A) 【答案】应选(A)． 【详解】 F ( z )  P  Z  z  P  max{ X , Y }  z  P  X  z  P  Y  z   F ( z )F ( z ) F 2 ( z ) ．故应选(A)．  1 ，则【 （8）设随机变量 X N (0,1) , Y  N (1, 4) , 且相关系数 XY (A) P{Y  2 X  1} 1 (B) P{Y 2 X  1} 1 (C) P{Y  2 X  1} 1 (D) P{Y 2 X  1} 1 】 【答案】应选 (D)．  1 ，知 X ， Y 正相关，得 a  0 ．排 【详解】用排除法．设 Y aX  b ．由 XY 除（A）和（C）．由 X  N (0,1) ， Y  N (1, 4) ，得 EX 0, EY 1, E ( aX  b ) aEX  b ． 1 a 0  b ， b 1 ．从而排除(B).故应选 (D)． 二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.)  （9）微分方程 xy  y 0 满足条件 y (1) 1 的解是 y  【答案】 应填 y 1 x． . dy dx dy y   x ．两边积分，得 ln | y | ln | x | C ． x ，得 y 【详解】由 dx 代入条件 y (1) 1 ，得 C 0 ．所以 y 1 x． （10）曲线 sin( xy )  ln( y  x) x 在点 (0,1) 的切线方程为 . 【答案】 应填 y  x  1 ． 【详解】设 F ( x, y ) sin( xy )  ln( y  x)  x ，则 Fx ( x, y )  y cos( xy )  1 1  1 Fx ( x, y ) x cos( xy )  y x ， y x ， Fx (0,1)  1 ， Fy (0,1) 1 ．于是斜率 k  Fx(0,1) 1 Fy(0,1) ． 故所求得切线方程为 y  x  1 ．  （ 11 ） 已 知 幂 级 数   a ( x  2) n n 0  a ( x  2) n n 0 n 在 x 0 处 收 敛 ， 在 x  4 处 发 散 ， 则 幂 级 数 n 的收敛域为 . 【答案】 (1,5] ．   an ( x  2)n 【详解】由题意，知 n 0   a ( x  2) 以 n 0  a x 的收敛域为 (  4, 0] ，则 n 0 n n 的收敛域为 (  2, 2] ．所 n n 的收敛域为 (1,5] ． 2 2 2 z  4 x  y 的 上 侧 ， 则 (12) 设 曲 面  是 . 【答案】 4 ． 【详解】作辅助面 1 : z 0 取下侧．则由高斯公式，有 2 xydydz  xdzdx  x dxdy  xydydz  xdzdx  x dxdy    xydydz  xdzdx  x 2 dxdy    ydV   0   2 xydydz  xdzdx  x dxdy 1 x 2 dxdy x 2  y 2 4 ． 1 ( x 2  y 2 )dxdy   2 x2  y 2 4  2 1 2 16 d  r 2  rdr   4  0 2 0 4 ． A 为 2 阶 矩 阵 ， 1 ,  2 为 线 性 无 关 的 2 维 列 向 量 ， (13) 设 A 1 0 ， A 2 21   2 ．则 A 的非零特征值为___________. 【答案】应填 1．  0 2 A(1 ,  2 ) ( A 1 , A 2 ) (0, 2 1   2 ) ( 1 ,  2 )    0 1 ． 【详解】根据题设条件，得 记 P ( 1 ,  2 ) ，因 1 ,  2 线性无关，故 P (1 ,  2 ) 是可逆矩阵．因此  0 2  0 2  0 2 AP  P  P  1 AP  B      0 1 ，从而  0 1 ．记  0 1 ，则 A 与 B 相 似，从而有相同的特征值． |  E  B | 因为  2  (   1) 0  1 ，  0 ，  1 ．故 A 的非零特征值为 1． P  X  EX 2   X (14) 设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 ____________． 1 【答案】应填 2e . 【详解】因为 X 服 从 参 数 为 1 的 泊 松 分 布 ， 所 以 EX  DX 1 ． 从 而 由 2 DX  EX 2  ( EX )2 得 EX 2 2 ．故 P  X  EX   P  X 2  三、解答题：(15－23 小题，共 94 分. ) (15)(本题满分 10 分) 求极限 lim x 0  sin x  sin(sin x) sin x x4 1 2e ．