2005考研数学三真题及答案

2005 考研数学三真题及答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 2x = . x 1 （2） 微分方程 xy   y 0 满足初始条件 y (1) 2 的特解为______. （1）极限 lim x sin 2 x  （3）设二元函数 z  xe x  y  ( x  1) ln(1  y ) ，则 dz ________.  (1, 0 ) （4）设行向量组 ( 2,1,1,1) ， ( 2,1, a, a ) ， (3,2,1, a ) ， ( 4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a=_____. （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y 2} =______. （6）设二维随机变量(X,Y) X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 { X 0} 与 { X  Y 1} 相互独立，则 a= ， b= . 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点. f ( x) 2 x 3  9 x 2  12 x  a (X,Y) A) 2. (X,Y) B) 4. (X,Y) C) 6. (X,Y) D) 8. [ ] cos( x 2  y 2 )d , I 3  cos( x 2  y 2 ) 2 d ,其中 cos x 2  y 2 d , I 2   （8）设 I 1   D D D {( x, y ) x 2  y 2 1} (X,Y) A) (X,Y) C) ，则 I 3  I 2  I1 I 2  I1  I 3 D （B） . . (X,Y) D) I1  I 2  I 3 I 3  I1  I 2  . . [ ]  （9）设 a n  0, n 1,2,  , 若  a n 发散，  (  1) n  1 a n 收敛，则下列结论正确的是 n 1 (X,Y) A)  a n 1  2n 1 n 1 收敛，  a 2 n 发散 . （B） n 1  a n 1  2n 收敛，  a 2 n  1 发 n 1 散. (X,Y) C)   (a 2n 1  a 2 n ) 收敛. n 1 (X,Y) D)   (a 2n 1  a 2 n ) 收敛. [ ] n 1 （10）设 f ( x)  x sin x  cos x ,下列命题中正确的是 (A) f(X,Y) 0)是极大值， f (  是极小值. ) 2 （B） f(X,Y) 0)是极小值， f (  是极大值. ) 2 （C） f(X,Y) 0)是极大值， f (  也是极大值. (X,Y) D) f(X,Y) 0)是极小值，  也是极小值. ) f( ) 2 2 [ ] （11）以下四个命题中，正确的是 (X,Y) A) 若 在（0，1）内连续，则 f(X,Y) x)在（0，1）内有界. f (x) （B）若 f (x ) 在（0，1）内连续，则 f(X,Y) x)在（0，1）内有界. （C）若 (X,Y) D) 若 f (x) f (x) （12）设矩阵 A= 矩阵. 若 3. 3 （13）设 1 ,  2 A( 1   2 ) (X,Y) A) 在（0，1）内有界，则 ( a ij ) 33 a11 , a12 , a13 (X,Y) A) 在（0，1）内有界，则 f(X,Y) x)在（0，1）内有界. 满足 A*  AT f (x ) ，其中 为三个相等的正数，则 a11 A* 在（0，1）内有界. 是 A 的伴随矩阵， [ AT ] 为 A 的转置 为 1 . (X,Y) D) [ ] 3. 3 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 (X,Y) B) 3. (X,Y) C) 1 , 2 ，则 1 ， 线性无关的充分必要条件是 1 0 . (X,Y) B)  2 0 . (X,Y) C) （14） 设一批零件的长度服从正态分布 1 0 . (X,Y) D) N ( ,  2 )  2 0 ，其中 . , 2 [ ] 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 x 20(cm) ，样本标准差 s 1(cm) ，则  的置信度为 0.90 的置信区间是 (X,Y) A) (20  1 1 t 0.05 (16),20  t 0.05 (16)). 4 4 (X,Y) B) 1 1 t 0.1 (16),20  t 0.1 (16)). 4 4 1 1 1 1 (X,Y) C) (20  t 0.05 (15),20  t 0.05 (15)). (X,Y) D) (20  t 0.1 (15),20  t 0.1 (15)). 4 4 4 4 [ ] 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） （15）（本题满分 8 分） ( 20  求 lim( x 0 1 x 1  ). x x 1 e （16）（本题满分 8 分） 设 f(X,Y) u)具有二阶连续导数，且 （17）（本题满分 9 分） y x ，求 2  2 g 2 g g ( x, y )  f ( )  yf ( ) x  y2 . 2 x y x y 2 x 2  y 2  1d ，其中 D {( x, y ) 0  x 1,0  y 1} . 计算二重积分  D （18）（本题满分 9 分） 1  1) x 2 n 在区间(X,Y) -1,1)内的和函数 S(X,Y) x). 2 n  1 n 1 （19）（本题满分 8 分） 设 f(X,Y) x),g(X,Y) x)在[0，1]上的导数连续，且 f(X,Y) 0)=0, ,  求幂级数  ( f ( x ) 0 g ( x) 0 .证明：对任何 a  [0,1] ,有 a 1  g ( x) f ( x)dx   f ( x) g ( x)dx  f (a) g (1). 0 0 （20）（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组  x1  2 x 2  3x3 0, （i） 2 x  3x  5 x 0,  1 2 3  x  x  ax 0, 2 3  1 和 x1  bx 2  cx3 0,  2 2 x1  b x 2  (c  1) x3 0, （ii）  同解，求 a,b, c 的值. （21）（本题满分 13 分） 设  A D  T C C  为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 m n 矩 B  阵. (X,Y) I) 计算 ，其中 P   E m P DP  T  o  A  1C  ；  En  （II）利用(X,Y) I)的结果判断矩阵 B  C T A  1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分 13 分） 设二维随机变量(X,Y) X,Y)的概率密度为 1, 0  x  1,0  y  2 x, f ( x, y )   其他. 0, 求：（I） (X,Y) X,Y)的边缘概率密度 （II） Z 2 X  Y (X,Y) III ) P{Y  的概率密度 f X ( x), f Y ( y ) ； f Z (z ). 1 1 X  }. 2 2 （23）（本题满分 13 分） 设 X 1 , X 2 , , X n (n  2) 为来自总体 N(X,Y) 0, 2 )的简单随机样本， X 为样本均值，记 Yi  X i  X , i 1,2,  , n. 求：（I） （II） Yi Y1 （III）若 的方差 与 Yn DYi , i 1,2,  , n 的协方差 c(Y1  Yn ) 2 是 ； Cov (Y1 , Yn ). 2 的无偏估计量，求常数 c. 参考答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 lim x sin x  2x = 2 . x 1 2 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 2x 2x = lim x 2  2. x  x  1 x  x  1 （2） 微分方程 xy   y 0 满足初始条件 y (1) 2 的特解为 xy 2 . 【详解】 lim x sin 2 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 ( xy )  0 ，积分得 xy C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数 z  xe x  y  ( x  1) ln(1  y ) ，则 dz (1, 0 )  2edx  (e  2)dy . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. z e x  y  xe x  y  ln(1  y ) , x 【详解】 z x 1 ,  xe x  y  y 1 y 于是 dz (1, 0 )  2edx  (e  2)dy . （4）设行向量组 ( 2,1,1,1) ， ( 2,1, a, a ) ， (3,2,1, a ) ， ( 4,3,2,1) 线性相关，且 1 . 2 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有 a 1 ，则 a= 2 2 3 4 1 1 2 3 1 a 1 2 1 a 1  ( a  1)(2a  1) 0 , 得 a 1, a  ，但题设 a a 2 1 1 1 ，故 a  . 2 （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2,  , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y 2} = 13 . 48 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y 2} = P{ X 1}P{Y 2 X 1} + P{ X 2}P{Y 2 X 2} + P{ X 3}P{Y 2 X 3} + P{ X 4}P{Y 2 X 4} 1 1 1 1 13 (0    )  . 4 2 3 4 48 （6）设二维随机变量(X,Y) X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 { X 0} 与 { X  Y 1} 相互独立，则 a= 0.4 = , b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一 等式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 { X 0} 与 { X  Y 1} 相互独立，于是有 P{ X 0, X  Y 1}  P{ X 0}P{ X  Y 1} ， 即 a= (0.4  a )(a  b) , 由此可解得 a=0.4, b=0.1 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f ( x) 2 x 3  9 x 2  12 x  a 恰好有两个不同的零 点. (X,Y) A) 2. (X,Y) B) 4. (X,Y) C) 6. (X,Y) D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(X,Y) x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 f ( x ) 6 x 2  18 x  12 = 6( x  1)( x  2) ，知可能极值点为 x=1,x=2， 且 f (1) 5  a, f ( 2) 4  a ，可见当 a=4 时，函数 f(X,Y) x) 恰好有两个零点，故 应选(X,Y) B). cos( x 2  y 2 )d , I 3  cos( x 2  y 2 ) 2 d , cos x 2  y 2 d , I 2   （8）设 I 1   D D 其中 D {( x, y ) x 2  y 2 1} (X,Y) A) (X,Y) C) . I 3  I 2  I1 I 2  I1  I 3 【 分 析 】 ，则 （B） . (X,Y) D) I1  I 2  I 3 I 3  I1  I 2 关 键 在 于 比 较 D {( x, y ) x 2  y 2 1} 【详解】 在区域 D . . [ A ] 、 x2  y2 x2  y2 与 (x 2  y 2 )2 上的大小. D {( x, y ) x 2  y 2 1} 上，有 0  x 2  y 2 1 ，从而有 在 区 域