2004考研数学三真题及答案

2004 考研数学三真题及答案 、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） sin x (cos x−b )=5 x (1) 若 x →0 e −a ，则 a =______，b =______. lim (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 2 f   u  v ? 0，则 . 2 1 1 xe x , − ≤x < 2 2 f ( x )= 1 −1 , x≥ 2 (3) 设 { 2 ，则  f ( x  1)dx  1 2 . f (x 1 , x 2 , x3 )=( x 1 + x 2 )2 +( x 2 −x 3 )2 +( x 3 + x 1 )2 的秩为 . (4) 二次型 λ 的指数分布, 则 P{X > √ DX }= _______. (5) 设随机变量 X 服从参数为 (6) 设 总 体 2 2 X 服 从 正 态 分 布 N ( μ1 , σ ) , 总 体 Y 服 从 正 态 分 布 N ( μ2 , σ ) , X 1 , X 2 ,⋯X n 1 和 Y 1 ,Y 2 ,⋯Y n 2 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则 2 2 n2  n1    ( X i  X )   (Y j  Y )  j 1  E  i 1   n1  n2  2     . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） f (x )= (7) 函数 (A) (?1 , 0). |x|sin ( x−2) x ( x−1 )( x−2)2 在下列哪个区间内有界. (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). lim f ( x )=a (8) 设 f (x)在(?? , +?)内有定义，且 x → ∞ (D) (2 , 3). g( x )= ， { [ ] 1 f ( ) , x≠0 x 0 , x=0 ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ ] (9) 设 f (x) = |x(1 ? x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点.[ ] (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命题： ∞ ∞ ∑ (u2 n−1+u2 n) (1) 若 n=1 ∞ ∑ un lim (3) 若 收敛，则 n=1 ∞ ∑ un+1000 (2) 若 n=1 n→∞ ∑ un 收敛，则 n=1 un+1 un 收敛. 收敛. ∞ ∑ un >1 ，则 n=1 ∞ 发散. ∞ ∑ (un+v n) (4) 若 n=1 ∞ ∑ un ∑ vn 收敛，则 n=1 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). ， n=1 都收敛. (C) (3) (4). ' ' (D) (1) (4). [ ] ' (11) 设 f ( x ) 在[a , b]]上连续，且 f (a )>0 , f ( b)<0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 x 0 ∈(a , b ) ，使得 f (x 0 ) > f (a). (B) 至少存在一点 x 0 ∈(a , b ) ，使得 f (x 0 ) > f (b). (C) 至少存在一点 x 0 ∈(a , b ) ，使得 f ( x 0 )=0 . (D) 至少存在一点 x 0 ∈(a , b ) ，使得 ' f (x 0 ) = 0. [ D ] (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有 (A) 当 |A|=a(a≠0 ) (C) 当 |A|≠0 时, 时, |B|=0 |B|=a . (13) 设 n 阶 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 . (B) 当 (D) 当 ¿ A ≠0, |A|=a(a≠0 ) |A|=0 若 时, 时, |B|=0 ξ 1 , ξ 2 , ξ3 ,ξ 4 . |B|=−a [ . ] 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ] (14) 设 随 机 变 量 P{X >u α }=α 若 X 服 从 正 态 分 布 N (0,1) , 对 给 定 的 α∈(0,1) , 数 uα 满 足 , P{|X| 0)； dR =Q(1−E d ) E (II) 推导 dP (其中 R 为收益)，并用弹性 d 说明价格在何范围内变 化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分 9 分) 设级数 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分 13 分) 设 α 1=(1,2,0)T , α 2=(1 , α+2,−3 α)T , α 3=(−1,−b−2 , α+2 b )T , T β=(1,3,−3) a,b 试讨论当 , 为何值时, α 1 ,α 2 ,α 3 (Ⅰ) β 不能由 (Ⅱ) β 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 线性表示; (21) (本题满分 13 分) 设 n 阶矩阵 1 A= b ⋮ b b ⋯ b 1 ⋯ b ⋮ ⋮ b ⋯ 1 ( ) . (Ⅰ) 求 A 的特征值和特征向量; −1 (Ⅱ) 求可逆矩阵 P , 使得 P AP 为对角矩阵. (22) (本题满分 13 分) 设 A ， B 为两个随机事件 ,且 P( A )= 1 4 , P(B|A )= 1 3 , P( A|B )= 令 求 ( X ,Y ) (Ⅰ) 二维随机变量 的概率分布; (Ⅱ) X 与 Y 的相关系数 (Ⅲ) Z =X +Y 2 2 ρ XY ; 的概率分布. (23) (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的分布函数为 其中参数 α>0 , β >1 .设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为来自总体 X 的简单随机样本, (Ⅰ) 当 α=1 时, 求未知参数 β 的矩估计量; (Ⅱ) 当 α=1 时, 求未知参数 β 的最大似然估计量; (Ⅲ) 当 β=2 时, 求未知参数 α 的最大似然估计量. 1 2 , 参考答案 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） sin x (cos x−b )=5 x (1) 若 x →0 e −a ，则 a = lim 1 ，b = −4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. sin x (cos x−b )=5 lim sin x⋅(cos x−b)=0 x x →0 e −a 【详解】因为 ，且 x →0 ，所以 lim x lim (e −a)=0 x →0 ，得 a = 1. 极限化为 sin x x (cos x−b )=lim (cos x−b)=1−b=5 x x →0 e −a x→0 x ，得 b = ?4. lim 因此，a = 1，b = ?4. lim 【评注】一般地，已知 f ( x) g( x ) ＝ A， (1) 若 g(x) ? 0，则 f (x) ? 0； (2) 若 f (x) ? 0，且 A ? 0，则 g(x) ? 0. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) ? 0， ' 则 g ( v) ∂2 f =− 2 ∂ u∂ v g (v ) . 【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = 所以， ∂f 1 = ∂ u g(v ) 2 g (v ) ∂f =− 2 ∂ u∂ v g ( v) ， ' ， 2 1 1 xe x , − ≤x < 2 2 f ( x )= 1 −1 , x≥ 2 (3) 设 { u +g(v ) g(v) 2 ，则 . 1  1 f ( x−1)dx= − 2 2 . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数