2003考研数学二真题及答案

2003 考研数学二真题及答案 壱、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 1 （1） 若 x  0 时， 与 x sin x 是等价无穷小，则 a= (1  ax 2 ) 4  1 . （2） 设函数 y=f(x)由方程 xy  2 ln x  y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切 线方程是 . （3） y 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 . （4） 设曲线的极坐标方程为   e a ( a  0 ) ，则该曲线上相应于  从 0 变到 2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . （5） 设  为 3 维列向量，  是  的转置. 若  T T  1    1  1 1 1 1 1  1 ，则 1   T = . （ 6 ） 设 三 阶 方 阵 A,B 满 足 A 2 B  A  B  E ， 其 中 E 为 三 阶 单 位 矩 阵 ， 若  1 A   0   2 0 2 0 1 0 ，则 B  . 1  二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 {a }, {b }, {c } 均为非负数列，且 lim a n 0 , lim bn 1 , lim c n  ,则必 n n n n  n  n  有 (A) a n  bn 对任意 n 成立. (B) (C) 极限 lim a n c n 不存在. (A) (C) 对任意 n 成立. (D) ) 极限 lim bn c n 不存在. n  （2）设 bn  c n [ ] n  n , 则极限 lim na 等于 3 n a n  n 1 x n  1 1  x n dx n  0 2 3 (1  e) 2  1 3 (1  e  1 ) 2  1 （3）已知 y  （A）  . . (B) (D) ) 3 (1  e  1 ) 2  1 3 (1  e) 2  1 . . [ ] y x x x 是微分方程 y     ( ) 的解，则  ( ) 的表达式为 x y y ln x y2 . x2 (B) y2 . x2 (C)  x2 . y2 (D) ) x2 . y2 [ ] （4）设函数 f(x)在 (  ,) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) (B) (C) (D) ) 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O （5）设 x  I 1  4 0 (A) (C)  ,则 tan x , x dx I 2  4 dx 0 tan x x (B) I 1  I 2  1. (D) ) I 2  I 1  1. （6）设向量组I：  1 , 2 , ,  r 1  I1  I 2 . 1  I 2  I1 . 可由向量组II： (A) 当 r  s 时，向量组II必线性相关. (C) 当 r  s 时，向量组I必线性相关. [  1 ,  2 ,,  s ] 线性表示，则 (B) 当 r  s 时，向量组II必线性相关. (D) ) 当 r  s 时，向量组I必线性相关. [ ] 三 、（本题满分 10 分）   ln(1  ax 3 ) , x  0,  x  arcsin x 设函数 f ( x)  6, x 0,   e ax  x 2  ax  1 x  0, ,  x  x sin 4  问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分 9 分）  x 1  2t 2 , 2 u 1 2 ln t e (t  1) 所确定，求 d 2y  y  du dx  1 u  设函数 y=y(x)由参数方程  . x 9 五 、（本题满分 9 分） 计算不定积分  xe arctan x 2 (1  x ) 3 dx. 2 六 、（本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y(x)的反 (  ,) y  0, x  x ( y ) 函数. (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d 2 x dx 变换为 y=y(x)满足  ( y  sin x)( ) 3 0 2 dy dy 的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) 0, y (0)  3 的解. 2 七 、（本题满分 12 分） 讨论曲线 y 4 ln x  k 与 y 4 x  ln 4 x 的交点个数. 八 、（本题满分 12 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ( 2 , 1 ) ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴 2 2 的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线 y=sinx 在 [0,  ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s. 九 、（本题满分 10 分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x  ( y )( y 0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以 3m 3 / min 的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以 m 2 / min 的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与  ( y ) 之间的关系式； (2) 求曲线 x  ( y ) 的方程. (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分 10 分） 设 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [a,b]] 上 连 续 ， 在 开 区 间 (a,b]) 内 可 导 ， 且 lim x a f (2 x  a ) 存在，证明： x a (1) 在(a,b])内 f(x)>0; (2) 在(a,b])内存在点  ，使 b2  a2 b  f ( x)dx  2 ； f ( ) a (3) 在(a,b]) 内存在与(2)中  相异的点  ，使 f ( x)  0. 若极限 f ( )(b 2  a 2 )  2  a b  f ( x)dx. a 十 一、（本题满分 10 分） 2 若矩阵 A   8  0 2 2 0 0 a  相似于对角阵 6   ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P  1 AP . 十二 、（本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1 : ax  2by  3c 0 l 2 : bx  2cy  3a 0 l 3 : cx  2ay  3b 0 ， ， . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a  b  c 0. 参考答案 1. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知 2 lim x 0 1 4 ，反过来求 a. (1  ax ) 1 x sin x 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解】 当 x 0 于是，根据题设有 时， 1 (1  ax 2 ) 4  1 ~  2 lim x 0 1 4 (1  ax ) lim x 0 x sin x  . 1 2， x sin x ~ x 2 ax 4 1 2 ax ，故 a=-4. 1 4  a 1 2 4 x 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例 1.62】. 2.. 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式 xy  2 ln x  y 4 两边直接对 x 求导，得 2 4 y 3 y  ， x 将 x=1,y=1 代入上式，有 y  xy   y (1) 1. y  1 1 ( x  1) ，即 故过点(1,1)处的切线方程为 x  y  0. 【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似 例题见《数学复习指南》P.55 【例 2.13】和【例 2.14】. 3.. 【分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值 林公式中 xn 项的系数是 f 【详解】 因为 (n ) (0) ，则麦克劳 ( n) (0) . n! y  2 x ln 2 y ( n ) (0) (ln 2) n f ， y  2 x (ln 2) 2 ，故麦克劳林公式中 xn ，  , y ( x ) 2 x (ln 2) n 项的系数是 y ( n ) (0) n!  ，于是有 (ln 2) n . n! 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. 4.. 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式 S  1  2  ( )d 即可.  2 【详解】 所求面积为 1 2 2 1 2  ( )d   e 2 a d  2 0 2 0 1 2 a 2 1 = e  (e 4a  1) . 0 4a 4a 【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算 过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例 7.38】. 5.. 【分析】 本题的关键是矩阵  T 的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而 行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. S  1 【详解】 由  T    1  T  1 1 1 1  1  1   1 1   1 3.  1  1  1   1 =   1 1  1  1   1  1 1 ，知     1 ，于是  1   a1  a  【评注】 一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有 A   2   b   1    an  b2  bn  . 完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例 2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例 13】. 6.. 【分析】 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可. 【详解】 由 A 2 B  A  B  E 知， ( A2  E)B  A  E ，即 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 再两边取行列式，得 ( A  E )( A  E ) B  A  E ( A  E ) B  E. A  E B 1 ， ，