2002考研数学一真题及答案

2002 考研数学一真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线 上.) (1)Error: Reference source not found= . (2) 已 知 函 数 Error: Reference source not found 由 方 程 Error: Reference source not found 确定,则 Error: Reference source not found= . (3)微分方程 Error: Reference source not found 满足初始条件 Error: Reference source not found 的特解是 . (4)已知实二次型 Error: Reference source not found 经 正 交 变 换 Error: Reference source not found 可 化 成 标 准 型 Error: Reference source not found,则 Error: Reference source not found= . (5) 设 随 机 变 量 Error: Reference source not found 服 从 正 态 分 布 Error: Reference source not found, 且 二 次 方 程 Error: Reference source not found 无 实 根 的 概 率 为 Error: Reference source not found,则 Error: Reference source not found＝ . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数 Error: Reference source not found 的下面 4 条性质: ①Error: Reference source not found在点 Error: Reference source not found 处连续; ②Error: Reference source not found在点 Error: Reference source not found 处的两个偏导数连续; ③Error: Reference source not found在点 Error: Reference source not found 处可微; ④Error: Reference source not found在点 Error: Reference source not found 处的两个偏导数存在． 若 用 “ Error: Reference source not found” 表 示 可 由 性 质 Error: Reference source not found 推出性质 Error: Reference source not found,则有 (A) ②Error: Reference source not found③Error: Reference source not found①. (B) ③Error: Reference source not found②Error: Reference source not found①. (C) ③Error: Reference source not found④Error: Reference source not found①. (D) ③Error: Reference source not found①Error: Reference source not found④. (2) 设 Error: Reference source not found, 且 Error: Reference source not found,则级数 Error: Reference source not found (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数 Error: Reference source not found 在 Error: Reference source not found 内有界且可导,则 (A) 当 Error: Reference source not found 时,必有 Error: Reference source not found. (B) 当 Error: Reference source not found 存 在 时 , 必 有 Error: Reference source not found. (C) 当 Error: Reference source not found 时,必有 Error: Reference source not found. (D) 当 Error: Reference source not found 存 在 时 , 必 有 Error: Reference source not found. (4) 设 有 三 张 不 同 平 面 的 方 程 Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,它们所组成的线性方程组 的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为 (5) 设 Error: Reference source not found 和 Error: Reference source not found 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密 度 分 别 为 Error: Reference source not found 和 Error: Reference source not found, 分 布 函 数 分 别 为 Error: Reference source not found 和 Error: Reference source not found,则 (A) Error: Reference source not found＋Error: Reference source not found 必为某一随机变量的概率密度. (B) Error: Reference source not foundError: Reference source not found必为某一随机变量的概率密度. (C) Error: Reference source not found＋Error: Reference source not found 必为某一随机变量的分布函数. (D) Error: Reference source not foundError: Reference source not found 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设 函 数 Error: Reference source not found 在 Error: Reference source not found 的某邻域内具有一阶连续导数,且 Error: Reference source not found,若 Error: Reference source not found 在 Error: Reference source not found 时 是 比 Error: Reference source not found 高阶的无穷小,试确定 Error: Reference source not found 的值. 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 Error: Reference source not found 与 Error: Reference source not found 在点 Error: Reference source not found 处的切线 相同,写出此切线方程,并求极限 Error: Reference source not found. 五、(本题满分 7 分) 计 算 二 重 积 分 Error: Reference source not found, 其 中 Error: Reference source not found. 六、(本题满分 8 分) 设 函 数 Error: Reference source not found 在 Error: Reference source not found 内具有一阶连续导数,Error: Reference source not found 是上半平面(Error: Reference source not found＞0)内的有向 分段光滑曲线,其起点为(Error: Reference source not found),终点为 (Error: Reference source not found).记 Error: Reference source not found (1)证明曲线积分 Error: Reference source not found 与路径 Error: Reference source not found 无关; (2) 当 Error: Reference source not found 时 , 求 Error: Reference source not found 的值. 七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 Error: Reference source not found 满足微分方程 Error: Reference source not found; (2)利用(1)的结果求幂级数 Error: Reference source not found 的和 函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山 ,取它的底面所在的平面为 Error: Reference source not found 坐 标 面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为 Error: Reference source not found Error: Reference source not found, 小 山 的 高 度 函 数 为 Error: Reference source not foundError: Reference source not found. (1)设 Error: Reference source not found 为区域 Error: Reference source not found 上一点,问 Error: Reference source not found 在 该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 Error: Reference source not found,试写 出 Error: Reference source not found 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的 点作为攀登的起点.也就是说,要在 Error: Reference source not found 的边界线 Error: Reference source not found 上找出使(1)中 Error: Reference source not found 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 Error: Reference source not found,Error: Reference source not found 均为 Error: Reference source not found 维列向量, 其中 Error: Reference source not found 线性无关,Error: Reference source not found,如果 Error: Reference source not found,求线性 方程组 Error: Reference source not found 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 Error: Reference source not found 为同阶方阵, (1) 若 Error: Reference source not found 相 似 , 证 明 Error: Reference source not found 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 Error: Reference source not found 均为实对称矩阵时,证明(1) 的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 Error: Reference source not found 的概率密度为 Error: Reference source not found 对 Error: Reference source not found 独立地重复观察４次,用 Error: Reference source not found 表 示 观 察 值 大 于 Error: Reference source not found 的次数,求 Error: Reference source not found 的 数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 Error: Reference source not found 的概率分布为 Error: Refer ence 0 1 2 3 sourc e not found Error: Error: Error: Refer Referen Error: Error: Referen ence ce Reference Referenc ce sourc source source not e source source e not not found not found not found found found 其中 Error: Reference source not found 是未知参数,利用总体 Error: Reference source not found 的如下样本值 Error: Reference source not found 求 Error: Reference source not found 的矩估计值和最大似然估计值. 参考答案 一、填空题 (1)【分析】 原式 Error: Reference source not found (2)【分析】 方程两边对 Error: Reference source not found 两次求 导得 Error: Reference source not found ① Error: Reference source not found ② 以 Error: Reference source not found 代 入 原 方 程 得 Error: Reference source not found, 以 Error: Reference source not found 代 入 ① 得 Error: Reference source not found, 再 以 Error: Reference source not found 代入②得 Error: Reference source not