2000考研数学二真题及答案

2000 考研数学二真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上) (1) arctan x  x  x  0 ln(1  2 x 3 ) lim . (2) 设函数 y  y ( x ) 由方程 xy 2  x  y 所确定，则 dy (3) dx  ( x  7) x  2   2 (4) 曲线 y (2 x  1)e 1 x .  . 的斜渐近线方程为  1 0 0  2 3 0 (5) 设 A   0 4 5   0 0 6 x 0 . 0 0  ， E 为 4 阶单位矩阵，且 B ( E  A)  1 ( E  A) 则 0  7 . ( E  B) 1  二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数 f ( x )  (A) (C) (B) (3 ) 设 (D) a 0, b  0. f ( x) f (0) f (0) (C)点 (D) (B) a  0, b  0. (2) 设函数 (A) x f ( x) 0, 则常数 a, b 满足 ( 在 (  , ) 内连续，且 xlim  a  ebx 是 是 满足关系式 f ( x) f ( x) (0, f (0)) f (0) 不是 f ( x ), g ( x ) a  0, b  0. a 0, b  0. f ( x )  [ f ( x)]2 x ，且 f (0) 0 ，则 ( ) 的极大值. 的极小值. 是曲线 f ( x) y  f ( x) 的极值，点 的拐点. (0, f (0)) 是大于零的可导函数，且 也不是曲线 y  f ( x) 的拐点. f '( x ) g ( x)  f ( x) g '( x)  0, 有( ) (A) ) f ( x ) g (b)  f (b) g ( x ) (B) f ( x ) g (a )  f (a ) g ( x ) 则当 a  x b 时， (C) (4) 若 (D) f ( x ) g ( x )  f (b) g (b) f ( x ) g ( x )  f ( a ) g (a ) 6  f ( x) 为 ( )  sin 6 x  xf ( x)  ，则 lim  lim  0 3 x 0 x  0 x x2   (A)0. (B)6. (5) 具有特解 (A) (C) (C)36. (D)  . y1 e  x , y2 2 xe  x , y3 3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (B) y  y  y  y 0. y  y  y  y 0. (D) y  6 y   11y  6 y 0. y  2 y  y  2 y 0. 三、(本题满分 5 分) 设 f (ln x)  ln(1  x ) ，计算 f ( x) dx . x 四、(本题满分 5 分) 设 xoy 平面上有正方形 D  ( x, y ) 0  x 1, 0  y 1 及直线 l : x  y t (t 0) .若   x S (t ) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求  S (t )dt , ( x 0) . 0 五、(本题满分 5 分) 求函数 f ( x ) x 2 ln(1  x) 在 x 0 处的 阶导数 n f n (0)(n 3) . 六、(本题满分 6 分) 设函数 S ( x)  x | cos t |dt ， 0 (1)当 为正整数，且 n n x (n  1) 时，证明 2n S ( x)  2(n  1) ； S ( x) . x   x (2)求 lim 七、(本题满分 7 分) 某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V ，流入湖泊内不含 A 6 V V ，流出湖泊的水量为 ，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0 ，超过国家规 6 3 m 定指标.为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 0 .问至 V 的水量为 多需要经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内(注：设湖水中 A 的浓度是均匀 的) 八、(本题满分 6 分) 设 函 数 f ( x) 在  0,   上 连 续 ， 且   0  f ( x)dx 0,  f ( x) cos xdx 0 ， 试 证 明 ： 在 0 (0,  ) 内至少存在两个不同的点 1 ,  2 ，使 f (1 )  f ( 2 ) 0. 九、(本题满分 7 分) 已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某个邻域内满足关系式 f (1  sin x)  3 f (1  sin x) 8x   ( x ) 其中 点 是当  ( x) (6, f (6)) x 0 时比 高阶的无穷小，且 x f ( x) 在 x 1 处可导，求曲线 y  f ( x) 在 处的切线方程. 十、(本题满分 8 分) 设曲线 线 y ax 2 y ax 2 (a  0, x 0) 与 y 1  x 2 交于点 A ，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲 围成一平面图形.问 为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？ a x 最大体积是多少？ 十一、(本题满分 8 分) 函数 f ( x) 在 [0, ) 上可导， f (0) 1 f ( x)  f ( x)  (1)求导数 f ( x) (2)证明：当 且满足等式 1 x f (t )dt 0, 0 x 1  ； x 0 时，成立不等式 e  x  f ( x) 1 成立 十二、(本题满分 6 分) 1  1  0 1   设   2 ,    ,   0  , A  T , B  T  .其中  T 是  的转置，      2  1  8  0       求解方程 2B 2 A2 x  A4 x  B 4 x   十三、(本题满 7 分)  0  a  b  1  3  9           已知向量组   1 ,   2 ,   1 与向量组   2 ,   0 ,   6  1 1   2   3     2   3     1  1  0   3  1   7             具有相同的秩，且 3 可由 1 ,  2 ,  3 线性表出，求 a, b 的值. 参考答案 一、填空题 (1)【答案】 【详解】 16 1 ln 12 x3  2 x3 1 arctan x  x  arctan x  x 洛  x2 1 1  x2 lim  lim  lim  lim  3 2 3 2 2 x  0 ln 1  2 x x 0 x 0 x  0 6x 1  x 2x 6x     6 (2)设函数 y  y ( x ) 由方程 【答案】 2 xy  x  y 所确定，则 dy x 0 .  (ln 2  1)dx 【详解】 方法 1：对方程 2 xy  x  y 两边求微分，有 2 xy ln 2 ( xdy  ydx) dx  dy. 由所给方程知，当 所以， dy x 0 x 0 时 y 1 .将 x 0 ， y 1 代入上式，有 ln 2 dx dx  dy . (ln 2  1)dx . 方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有 2 xy ln 2 ( xy  y ) 1  y. 当 x 0 (3)【答案】 时 y 1 ，以此代入，得 y ln 2  1 ，所以 dy (ln 2  1)dx . x 0  3 【详解】由于被积函数在 x 2 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先 按照不定积分计算，再对其求极限即可. 作积分变量替换，令   2 (4)【答案】 x  2 t , x  2 t 2 dx 2tdt ,   dx 2t 1 t 2    2 dt 2  arctan    . 0 (t  9)t 3 30 3 2 3 ( x  7) x  2 y 2 x  1 【公式】 y kx  b 为 y  f ( x) 的斜渐近线的计算公式： k  lim x   xx    y , b  lim [ f ( x)  kx] x  x x    x    【详解】 y 1 1  lim (2  )e x 2, x   x x   x k  lim 1 b  lim ( y  2 x) lim[(2 x  1)e x  2 x] 令 x    lim ( u 0 所以， 2(eu  1) u u 2u  e ) e  1 ulim (  eu ) 2  1 1 u 0 u u 方向有斜渐近线 x   总之，曲线 x   y (2 x  1)e 1 x ( E  B)  1 y 2 x  1 .当 x  时，类似地有斜渐近线 y 2 x  1 . 的斜渐近线方程为 y 2 x  1 . 1 0 0  1 2 0 (5)【答案】   0 2 3   0 0 3 【详解】先求出 1 2e u  2 u ulim ( e ) u 0 x u 0 0  0  4 然后带入数值，由于 B ( E  A)  1 ( E  A) ( E  B )  1  E  ( E  A)  1 ( E  A)  ，所以 －１  ( E  A)  1 ( E  A)  ( E  A)  1 ( E  A)  －１ 1  2( E  A)  1   ( E  A) 2  2 0 0 0  1 0 0    1   2 4 0 0   1 2 0   2  0  4 6 0  0  2 3     0 0  6 8  0 0  3 －１ 0 0  0  4 二、选择题 (1)【答案】D 【详解】排除法： 如果 a 0 ，则在 ( , ) 内 f ( x) 的分母 a  ebx 必有零点 x0 ，从而 f ( x) 在 x x0 处 不连续，与题设不符.不选 ( A) ，若 b  0 ，则无论 a 0 还是 a 0 均有 lim f ( x) , 与题 x   设 lim f ( x) 0 矛盾，不选 ( B ) 和 (C ) .故选 ( D) . x   (2)【答案】C