姚尚志：坚持两个统一 摆正三个关系

 姚尚志 生于1935年，北京市人。1955年毕业于北京师范学校。先后在北京市西城区展览路一小、护国寺小学、德胜门外二小任教。1980年至1985年，在北京市西城区小学教研室任教研员，副主任。现任北京市第二实验小学校长，北京市西城区教育学会副会长，北京市西城区小学数学教学专业委员会理事长。曾参加过编写“四省市”小学数学教材。与他人合作编著《小学数学复习指导》、《小学数学教与学》、《小学数学教学指导书》和《小学生数学学习方法》等书。先后被评为北京市教育系统先进个人，全国教育系统先进工作者，北京市西城区有突出贡献的拔尖人才等。

一、坚持两个统一，备课要有深度

(一)坚持宏观教材与微观教材的统一
备课，是教学活动中一个重要环节，它直接决定着课堂教学的质量。教师的劳动，首先不是在课堂上，而是在备课中。我想“台下几年功，台上几分钟”，这种说法一点儿也不过分。 
备课的含义是极其丰富的。但应着重指出的是，掌握教学内容，领会编者意图，从学生实际出发，确定目的要求，选好教学方法，才是它的核心。
对于教学内容来说，小学数学似乎非常简单。整、小、分、百，加减乘除，几何初步知识，简易方程，教师没有什么不懂的，也没有什么不会的。如果我们以“懂不懂”、“会不会”作为衡量掌握教学内容的尺度，那就对自己要求太低了。学生通过学习，也是要懂的，也是要会的，那我们与学生之间还有什么师生关系可言呢？简直就像师兄师弟一样了。显然这不是对教师的要求。
通过备课，教师首先要掌握教学内容。我们所说的掌握教学内容，是指从知识结构的整体出发，进一步明确我们所要教的部分，在整个知识体系中的地位和作用。
之所以这样要求，是因为数学知识具有内在联系十分紧密的特点。这种联系不仅有纵向的，还有横向的。这就要求我们的教学，必须能够有意识地处理好昨天、今天和明天之间的关系。能否做到这一点，又是以对教材的把握为前提的。为此，掌握教学内容，就必须坚持宏观教材与微观教材的统一。无数事实证明，没有对教学内容整体上的把握，也就很难处理好任何一个局部。例如，在教学分数、百分数应用题的时候，我们常常发现有这么一种教法，即“是、比、占、相当于，后面跟的是整体。整体已知用乘法，整体未知除法最相宜”。当你询问起为什么要这样教时，又常常听到的是“学生缺乏判断谁是整体‘1’的能力”。至于学生为什么缺乏这种能力，就很少听到分析了。其实，问题往往出在分数、百分数意义的教学之中。如果我们能从教学内容的整体出发，则不难发现建立分数、百分数的概念，其主要的价值就在于它的运用。学习了分数、百分数，而判断不了谁究竟是整体“1”，这决不是概念教学的成功。
《大纲》强调，对于基础知识必须使学生切实学好。而切实学好的标准应当是真理解，会运用；能联系，会沟通；能区别，会分辨。运用也好，沟通也好，分辨也好，统统需要建立在对教材的宏观认识的基础上，要把宏观与微观有机地统一起来。
1．只有坚持宏观教材与微观教材的统一，才能把握住教学内容的内在联系。
记得我初教数学的时候，对备课十分认真，可以说做到了对每一节课都从不放过。但是，教学的效果并不理想。后来，我渐渐意识到，只抓课时备课是不成的。因为这样的备课，教学内容的内在联系在我的头脑中并未形成。后来，我才形成了“了解全套教材，把握全册内容，把单元备课与课时备课结合起来”的备课模式。这样就使我站得比较高，看得也比较远。再面对一节课，应当怎么教，为什么这样教，才摆脱了只依据例题再谈论练习的局限与狭隘。随之，我根据知识间的内在联系，该孕伏的适时孕伏，适于迁移的大量迁移，使知识形成网络，收到举一反三之效。例如，分数乘法和分数除法，这两部分内容的内在联系十分紧密。从意义上讲，一个数乘以分数，是求这个数的几分之几。一个数除以分数呢？其意义仍然是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。也就是说，它们之间存在着互逆关系。从计算上讲，以颠倒除数的分子与分母为条件，除法就转化为乘法。换句话说，除法运算已被乘法取代了。
再就解答应用题来说，一旦把未知数引入参与运算，所有的除法应用题，列出的简易方程又全是建筑在求一个数的几分之几是多少的基础之上的。
此外，不论是解答分数乘法应用题，还是解答分数除法应用题，它们对于理解对应关系都有着一定的要求。
对教材的这种宏观上的分析，当然有助于微观上的处理。它使我加强了一个数乘以分数的教学。一个数乘以分数，不论从意义上，或是从计算上，乃至从应用题的解答上来看，都是关键。
第二，在学生初步理解一个数乘以分数意义的基础上，我进一步引导学生掌握求一个数的几分之几是多少，要用乘法来解答。其实这就是通过对一个数乘以分数意义的理解来解决问题。

　　这类训练采用的方式有三。一是：为文字叙述题列式。二是：看线段图列式。三是：应用题列式。另一方面，我训练学生用线段图来反映其中的数量关系。至于如何计算，暂不做研究。这样做，首先是强化了分数乘法意义的教学，即一个数乘以分数，就是求这个数的几分之几是多少。对于这样的意义，如果离开它的应用，是很难强化的，也很难检验学生理解的程度。其次是提高了学生的解题能力，也就是充分发挥了一个数乘以分数的意义在解题中的作用。对此，我曾做过多次实验，学生对一个数乘以分数的意义有深刻理解之后，就具备了解决稍复杂问题的列式能力。
2．只有坚持宏观教材与微观教材的统一，才能自觉地突出教学重点。
所谓教学重点，并不仅仅指一节课中的重点内容是什么，更重要的在于要认清在整个教学过程中，起支配作用的内容是什么。显然，只有课时备课，只有对教材的微观认识是不够的。例如分数的意义，主要涉及的内容有：什么叫分数，什么叫分数的分母，什么叫分数的分子，什么又叫分数单位，等等。只有在我们深入细致地研究了分数四则计算的法则，以及分数应用题的解答之后，才有可能发现它的教学状况如何，对以后学习究竟有多么大的影响。也只有当我们意识到它将左右着整个分数内容教学的时候，我们才会自觉地把它摆在突出的地位。
就以同分母分数加、减法的法则来说吧，一旦学生很好地理解了分数的意义，较好地掌握了分数单位的概念，同分母分数加减法，学生完全可由自己得出算法，即以原来的分母做分母，分子相加或相减所得的结果做分子。
教学分数单位时，除了教材中规定的练习，诸如写出一个分数的单位，写出由若干个分数单位组成的一个分数等等之外，我总要求学生想一想。
教学实践使我体会到，从整体出发来处理局部，总比只从局部着眼高出一筹，它会使我们把教学向前推进一步，尽管这是小小的一步，但它的作用往往是很大的。就是这小小的一步，却体现了任何一个局部的处理，都具有为整个教学服务的意图。
(二)坚持教学内容与教学方法的统一
掌握教学内容是备课要解决的一个主要问题，选择教学方法是备课要解决的另一个主要问题。
教学方法是为实现教学目的服务的，更具体一点说，教学方法是使学生更好地理解掌握教学内容，为实现教学目的服务。所以说教学内容与教学方法的统一，并不仅仅是内容与方法的关系，而应当是讲内容、学生与方法间的关系　我们常说：“教学有法，但无定法，贵在得法。”我们只有以教材为依据，又从学生的实际出发，才有可能得法。
1．坚持教学内容与教学方法的统一，使难点得以突破。有一些教学内容，学生难以理解和掌握，往往需要我们采取适当分散、预先准备、多举实例等办法加以解决。但也有一些内容，它本身并不一定难理解、难掌握，只是由于负迁移的存在，也阻碍着学生的学习。例如，能被2和5整除的数，其特征都是看这个数的个位，它很可能就影响到学习能被3整除的数的特征。这种负迁移，干扰教学，也是形成教学难点的原因之一。这种干扰往往不被人们所注意。所以排除这种干扰，就成了解决某些难点的需要。
面对这样的教学内容，又考虑到学生的实际情况，该如何选择教学方法呢？我是不同意以“多讲几遍”来解决问题的。教师的不厌其烦，迟早会导致学生对学习的厌倦。
2．坚持教学内容与教学方法的统一，使容易混淆的内容得以区别。
数学内容，有相互联系的一面，也有彼此区别的一面，有时两者容易混淆。对于易混淆的内容，教学时一定要加强对比，使学生弄清它们之间的差异。我认为在分析学生这样的错误问题时，要尽可能地少使用“粗心”字眼。因为，粗心很可能是现象，问题的本质往往在于概念不清。而造成概念不清的原因，又往往是对比不够。
我在帮助学生建立分数概念的过程中，就不断地对整体“1”可能表示的内容加强对比。我们都知道，整体“1”不仅可以表示一个物体，一个群体，同时也可以表示一个计量单位。进一步使学生认识到，由于1个计量单位是确定的，所以它的几分之几，其大小、轻重或长短等自然也是确定的。而以一个物体或一个群体为“1”时，它的几分之几则是随着“1”的变化而变化的。在此基础上，讨论下面这样的问题时，学生考虑的就比较全面。
通过讨论、设问活动，学生对于一个分数带有单位名称还是不带有单位名称，就会十分认真对待了。所谓粗心的现象也就会大大减少。　
总之，坚持宏观教材与微观教材的统一，坚持教学内容与教学方法的统一，是我多年来在备课中的一贯做法。在备课中，我所追求的就是要有一定的深度，不仅要全面把握教学内容，还要深刻地领会编者的意图，并采取适当的教学方法。我认为这才是提高教学质量的最重要的前提。

  二、摆正三个关系，力求教学具有较高质量 　 
(一)摆正教和学的关系
唯物辩证法认为，矛盾是普遍存在的，教学也一样。处理好教学过程中的种种矛盾，是搞好教学的关键。在教学过程的一系列矛盾中，首当其冲的是教和学的矛盾。教和学这对矛盾处理得如何，往往以学生学得是否积极、是否主动为重要标志。
假如我们把教学过程理解成“给予“的过程，采用灌输的方法，这不仅使学生学得被动，就是对教师来说，也不能称之为发挥了主导的作用。
教学也是一种传递，是精神产品的传递。它与物质产品的传递是不同的。物质产品的传递具有给予的性质，即你给我就得，不给就不得，多给就多得，少给就少得。作为传递精神产品的教学，却不一定是教师一讲学生就懂，教师不讲学生就不懂，教师少讲学生少懂，教师多讲学生就多懂。所以，教学并不是给予。那么我们应当如何看待教学呢？我认为教学应当是在教师指引下学生的获取。
是给予还是获取，这是两种截然相反的教学思想，也必然导致两种不同的教学方法。
例如，教学“体积”这个概念，不仅要使学生掌握体积概念及体积的求法，还要注意要发展学生的空间观念。显然“预备齐”背诵和发展空间观念毫无联系。
经过多年教学实践，我教这个概念时，是从观察实验开始的。一上课，我就把两只一模一样的玻璃杯放在讲台桌上。然后分别往两只杯子里倒水。正当学生感到莫名其妙的时候，我说：“谁能告诉我哪只杯子里的水多，哪只杯子里的水少？”学生更认真地观察了，但他们看不出差别，只好犹犹豫豫地说：“两只杯子里的水好像一样多。”我立即肯定他们观察得细致，并说：“我倒的水就是同样多。”
然后，我拿出一个东西放在一只杯子里，问学生们看到了什么。他们说：“看到老师把一个东西放进了这只杯子里。”我又问：“好好看一看，你们还发现什么？”学生认真观察后说：“您把东西放进杯子后，这只杯子的水平面就升高了。”我问：“你们知道这是为什么吗？”学生马上回答：“您放进去的东西是要占地方的，就把水挤上来了。”
我又拿出一个东西，把它放进另一只杯子里。问学生：“这回你们又看到什么了呢？”学生说：“看到您把一个东西放进了另一只杯子里，这只杯子的水平面也升高了，而且比第一只的水平面升得还高。”我问他们：“你们知道这是为什么吗？”他们果断地回答：“肯定后放进去的东西个儿大。”
通过观察和实验，学生对物体要占据空间，所占据的空间还有大小的差别等，已有了感性的认识。在此基础上，再进一步明确什么叫体积，我确实感到学生的空间观念，又一次得到了发展。这比起简单叙述什么叫体积和背诵几遍定义就好得多了。
要摆正教和学的关系，首先就要改变“给予”的思想，需要确立的是引导学生“获取”的思想。
1．引导学生获取，就要培养学生的获取意识。
不少老师对我讲，说我上课的时候，学生总是精神集中，思维活跃，兴趣盎然。说实在话，我最害怕的就是学生在上课时死气沉沉，沉默寡言，无动于衷。我把课堂气氛，看作是课堂教学的温度计。活跃是获取意识强烈的表现，而呆板又往往是被动参与的标志。因此，在长年的教学中，我形成了一个习惯，那就是不论哪堂课，我都要反复研究如何开场，其目的是为了创造出一个最佳的教学时机，点燃起学生的求知欲望。
例如，循环小数，是学习小数除法这一单元临近结束时引进的一个概念。教学时，我先出了三道题让学生来计算。学生一看都是除法题，自然也就感到非常简单。第一题是，被除数能被除数整除，学生计算起来当然没有问题；第二题，虽然不能整除，但是可以除尽，学生刚刚学过，也感到容易；第三题却一反常态，无论怎样计算，也得不出一个精确的商。
水平高的学生，首先遇到了这个问题。他们中有的人问我：“第三题是不是出错了？”我也就装作很认真的样子，看看教案，再看看黑板，很客气地对他说：“我没有出错，请看看是不是你抄错了？”他们只好又投入到计算之中。
中等水平的学生，也被第三题难住了。他们问我：“第三题得计算到哪辈子？”我指着计算速度慢的学生说：“你看他多么认真，遇到问题别着急。”
水平最低的学生，面对第三题也计算不下去了，他们说：“这道题我不会。”
好了，最佳的教学时机出现了。学了多年的除法，居然还有处理不了的问题，这究竟是怎么回事？如何去解决？这种想学、要学的心理，也就是获取的意识。他们有了需要，也就有了兴趣，有了动力。这是上好任何一节课都不可缺少的。
2．引导学生获取，还要创造有利于获取的具体条件。
学生有了求知的欲望，尽管十分重要，但毕竟是仅仅有了学习的动力，还不等于发现了规律，获取了真理。要引导学生获取，还必须创造有利于学生获取的具体条件。
我所说的条件，主要是指有利于学生的认识，由感性阶段上升为理性阶段。不论是从现象到本质，也不论是从个别到一般，认识上的升华总是需要一定条件的。为学生创造出这些条件，就是教师发挥主导作用的一个重要任务。
例如，教学能被3整除的数的特征时，一方面，我考虑到要排除能被2、5整除的数的特征的干扰；另一方面，我还考虑到其特征要易于学生发现。
首先，我要求学生随便说出一个能被3整除的数。
学生说：“9就能被3整除。”
我说：“对极了。谁能再说一个大点的，也能被3整除的数。”
学生又说：“27能被3整除。”
我先肯定他回答的正确，然后又要求：“谁能再说一个大点的，譬如说个三位数。”
学生回答的速度慢下来了，他们需要思考。过了一会儿，他们说：“123也能被3整除。”
我说：“好极了，123这个三位数确实能被3整除。”
同时我还把这个数板书在黑板上。
接着我又说：“不过我有点不满意，就这么个数似乎想的时间太长了。”
学生有点委屈，因为这不是运用口诀，可以脱口而出的。
不过我故意不去理会他们的情绪，而是指着黑板上的“123”说：“看着你们说的这个数，我一口气可以说出好几个，能被3整除的三位数。”
学生的表情是惊奇的。
我说：“132，213，231，312，321这些数，都能被3整除。”
学生用怀疑的目光看着我，我把这些数板书出来，让他们计算一下。
他们一计算，立刻惊喜了，并大声问我：“这是怎么回事呀？”
我说：“这太简单了。我说516能被3整除。”同时把这个数板书出来，接着说：“看着这个数，你们也能一口气说出好几个数来。”
因为这是照猫画虎，学生自然会说：“561，156，165，651，615。”
我把这些数也板书出来，并问学生：“你们说的这些数，也都能被3整除，你们信吗？”
学生摇摇头，表示自己没有这种把握。
我又让他们计算一下，证明这些数都能被3整除，他们兴奋极了。
过了一会儿，我问他们：“这是为什么？”他们沉思着。
我指着黑板上的两组数，让他们观察一下，各有什么特点。
他们发现，每一组里的数，都是由三个同样的数字组成的，不管怎样变化，这三个数字始终不变。
我又问：“组成这些数的数字不变，仅仅是数字在排列上有变化。那你们还能进一步发现有什么特点？”
学生们想了一下，他们真的发现了这些数各个数位上的数相加的和，不会变。
我又引导他们去计算一下各个数位上的数的和。
计算的结果一组是6，另一组是12。有的学生高兴得一下子站起来了，他们已经发现其中的奥妙了。
我又回到他们原来说过的27，有的学生不等发问，就说：“72也能被3整除。”
我问他们：“这是为什么？”
他们说：“7加2，2加7，全是9。”
结论得出来了，他们沉浸在靠自己取得成功的欢乐之中。
(二)处理好过程和结果的关系
毛主席早就指出，要实行启发式，反对注入式。我认为是启发，还是注入，关键就在于处理好过程和结果的关系。
所谓过程，也就是操作的过程，观察的过程，比较的过程，分析的过程，综合的过程等。所谓结果，主要是指抽象、概括出的结论。
过程和结果之间的关系，首先是“结果”以“过程”为基础，其次是“过程”以“结果”为目的。它们之间应当像瓜熟蒂落，水到渠成，是认识上的自然升华。
但是，在教学实践中，比较普遍地存在着只重结果，不重过程的倾向。在作业的批改中也反映出这种倾向，注重的也是结果，对于思路、策略往往重视不足。
我曾做过一次调查，让一年级的学生计算4＋3这道题，他们几乎都做对了。我又把他们找来，一个一个地询问，由他们说出是怎样想，才得出7的。
分析学生的回答，大致可以分为四个层次。
最好的是概念水平。他们以数的组成为基础，说：“4和3可以组成7。所以4加3等于7。”
其次是表象水平。他们以吃苹果吃糖等为例，进行思考。譬如说：“上午我吃了4块糖，下午我吃了3块糖，一天就吃了7块。”
再有是半直观水平。他们伸出一只手的手指头，然后就说出5、6、7，这样数出结果。
最后一种是全直观水平。两只手都伸出来，一只手伸出4个手指头，另一只手伸出3个手指头，从头数到尾，总算也得出了7。
这项调查，生动地说明，质量的含义应当是，采用最佳策略，获得正确结果。显然，忽视过程，忽视策略，决不是正确的态度。
为了处理好过程和结果的关系，在教学求最大公约数时，我是这样做的。
第一步，先把一个数分解质因数，然后要求学生根据这个分解质因数的式子，说出这个数中除去1以外的全部约数。
例如，12=2×2×3。
学生能够说出12的约数除去1以外，还有2、3、4、6、12。
第二步，再把另一个数分解质因数，然后仍然要求学生根据这个分解质因数的式子，说出这个数中除去1以外的全部约数。
例如，18=2×3×3。
学生能够说出18的约数除去1以外，还有2、3、6、9、18。
第三步，把两个式子中公有的质因数2圈起来。
然后问学生：“12有质因数2，18也有质因数2，这说明什么？”
学生指出：“这说明12和18都有公约数2。”
我再把12和18公有的质因数3圈起来。
然后问学生：“12还有质因数3，18也还有质因数3，这又能说明什么？”
学生回答：“这说明12和18还有公约数3和公约数6。”
我又问：“12和18的最大公约数是几？”
学生回答是6。
我又引导他们观察，这个6是怎么得到的，结果学生发现，它是全部公有质因数的积。
(三)处理好知识和能力的关系
人的认识总是要经历两次转化的，毛主席把它称之为两次飞跃。第一次，是由感性认识到理性认识的转化；第二次，是由理性认识到实践的转化。一些数学教师对于认识上的第一次转化，是比较重视的，但对于第二次转化的重视程度有时显得不够。
对于数学教学来说，实现认识上的第二次转化，主要是通过练习。老师们天天布置作业，怎么还能说重视不够呢？实现第二次转化主要靠练习，但练习不一定就能实现第二次转化。这要看我们练什么，怎么练。假如模仿性太强，假如大有“请你照我这样做”的味道，就是练的再多，也不一定有多么大的意义。
我认为，为了促成认识上第二次转化的练习，应具备两个条件，第一是不超纲，不超教材，即运用已学过的基础知识，完全可以解决。第二是没有现成的模式，需要学生独立思考。
例如，有一次我把一个土豆带进了课堂，请学生计算一下它的体积。
起初，学生们都愣住了，纷纷议论起来。有的说老师没教过求这样物体的计算公式，有的说就是有公式也不成，因为这个土豆的形状太不规则了。
我承认没有什么直接的办法，但仍坚持由学生开动脑筋。
过了一会儿，有个学生发言了。他说：“您把这个土豆让我带回家，我把它蒸一下，它就变软了。这样我就可以拍一拍，挤一挤，使它成为长方体。这样就能计算了。”
我指出他的想法很有意义，这是改变物体形状而不改变物体的体积。
又过了一会儿，有个学生又站起来了。他说：“您给我一个天平，我先来称一称这个土豆的重量。然后我在土豆上切下1立方厘米这么一小块，也去称一称它的重量。我想这个土豆的重量是这一小块重量的多少倍，这个土豆的体积就是1立方厘米的多少倍。”
我说：“你是根据同一种物质，它的体积与重量成正比例来解决问题的。我相信，以后学习比和比例时，你会更出色。”
第三个学生又发言了：“您给我一个容器，譬如是个圆柱体形状的。我先量一下它的底面直径，这样我就能算出它的底面积。然后就往里面倒水，再量一量水的深度，就能算出水的体积。把土豆放进水中，再量一量现在水的深度，又能算出一个体积来。两次体积的差，就是土豆的体积。”
这节课上得特别活跃，不少基础知识得到了进一步巩固，得到了更深刻的理解。更重要的是训练了思维，培养了能力。
还有一次，我问学生：“你们都有尺子吗？”学生一边举起手中的尺子，一边说：“这不是尺子吗？”
我又问：“你们知道尺子有什么用吗？”
学生说：“尺子可以度量物体的长短。”
我立即拿出一张纸，把它交给了一个学生，请他量一量这张纸有多长。他很快就量好了。
我又对他说：“请你再量一量这张纸有多宽。”他又很快量好了。
我还对他说：“请你再量一量这张纸有多厚。”
他两只眼瞪着我，说：“这么薄的纸怎么量呀？”
我说：“尺子的功能是可以度量物体的长短，但当它们太短太短的时候，我们就无法知道长度了。你们说对吗？”
学生不同意我的说法，但一时又没有什么理由来说服我。热烈的小组讨论便开始了。
终于有个学生发言了：“用尺子量一张纸的厚度实在是太难了，要是量一叠纸就好办了。”
我立即让他停下来，指着另一个学生问：“刚才他说的是什么意思，你听明白了吗？”这个学生点点头，对我说：“我听明白了。假如我们去量100张纸的厚度，然后再把小数点向左移两位，那一张纸的厚度不就得到了吗。”
我又叫起第三个人：“他们俩说的有道理吗？”这个学生对我说：“有道理。他们是根据归一的方法来说的。”
我又和大家一起研究为什么说这是归一的思路。学生发言是很踊跃的。
上完这节课，学生对于“归一”的理解大大加深了，再也不是停留在只能根据例题，解答几道有关拖拉机耕地的题目这样的水平了。
教学中应当处理好的关系还有许多，就是在不断地摆正这些关系中，教学才得以发展的。