封礼珍的数学教育经验

 封礼珍 生于1927年8月，山西介休人。1948年毕业于上海市中国中学高中部，1952年参加教育工作。上海市蓬莱路第二小学特级教师，现任上海市中小学数学教学专业委员会副理事长。1960年获上海市文教战线先进工作者称号，80年代前后连续5次评为上海市教育系统先进工作者，1991年获上海市优秀园丁称号。长期从事小学数学教学的课堂实践和研究，刻意探索，逐步形成了自己的教学风格，善于引导学生在积极开展思维活动过程中获得知识，发展智能，注意发挥学生在学习中的主体作用，启发引导，实中求活，使学生学得主动积极，有趣有益，教学效果显著。先后带教十多名青年教师，这些教师已成为校、区的教学骨干、领导或教研人员。先后在全国省级以上报刊杂志发表研究文章数十篇，代表性论著有：《让学生学得有趣、有益、有效》、《小学数学学习指南》、《小学数学教学指导书》等，科研成果《创设生动愉悦的教学情境》、《课堂教学环境的优化目标及实施途径的研究》。

让学生学得有趣、有益、有效

小学数学教学如何适应小学教育改革的需要，调动学生学习的主动性、积极性，以全面提高学生的素质，是当前在教学领域需要认认真真解决的问题。
根据我多年来的实践经验，要充分调动学生学习的主动性、积极性，全面提高学生素质，就要正确处理课堂教学中学生、教材和教师这三者之间的关系。教师要深入钻研教材和了解学生，尊重学生在学习中的主体地位，不断提高教学的艺术水平，使学生学得有趣、有益、有效，促进师生关系和学生的认识、情感和谐地发展。
在教学实践中，使学生学得有趣、有益、有效，这三者是相互渗透，协调进行的。有趣才能充分调动学生学习的积极性和主动性；有益才能促进外在兴趣向内在兴趣转化；有效才能既减轻负担又提高质量，全面提高学生的素质，促进学生在德智体诸方面得到全面发展。我的具体做法和实践经验，主要有以下几方面。
一、激发兴趣和需求感，学生才能主动学习 
(一)把数学问题寓于新奇的富有情趣的情景之中
兴趣是推动学习的内在动力。在教学中创设富有情趣的情景，引起学生的学习兴趣和需求感，寓教于乐，在小学数学教学中特别是在低年级的教学中有其特殊作用。如我在教学小数的基本性质时，先出示了3、30、300三个大小不等的数，问：“用什么办法可以使这三个数所表示的量相等？”我在问话时强调了“所表示的量”，起先学生觉得3总比30、300小。当讨论出添上不同的计量单位即依次添上米、分米、厘米等单位名称后，它们所表示的量就一样大了，学生很高兴。既复习了旧知识，又感到这是一种乐趣。接着，我说：“现在要求用同一个单位名称‘米’来表示，怎么办？”于是引出：
0.3m＝0.30m＝0.300m。
再进一步讨论，如果小数部分的位数也要一样多，便引出0.3m=0.3m=0.3m。有的学生说也还可以有0.30m=0.30m=0.30m。小数部分的位数也一样多，或者0.300m=0.300m=0.300m。小数部分都是三位。就这样，学生在不相等与相等的矛盾转化中，富有情趣地学习了小数的基本性质。
(二)教师的语言要形象生动，富有童趣，又不违背数学的科学性
在不妨碍数学科学性的前提下，我尽量用形象生动而又简练的语言进行教学，使学生易懂易记。如认识除号时，用“一横平，两点均，表示平均分”，使学生把除号的写法与除法意义结合起来，同时孕伏分数线、比号与除号意义上的联系和符号书写上的联系；“均”、“分”同韵，读起来琅琅上口。
又如，把整数74看成小数时，我说：“74的小数点躲起来了，躲在4的后面。”同时配合教具把折在74后面的小数点揭示出来，学生看得懂，讲得清，记得牢。这样的引导，也为以后一系列有关整数化小数的问题，如小数乘法、积的小数点定位、整数除整数商是小数等，难点扫除了障碍。以后在分数教学中，任何整数添上分母1都可化成分数，学生说：“小数点整数后面躲；分母1整数下面藏。”浅显易懂的语言在学生的记忆中留下深深的印象。
又如比的化简，从形式上看，有整数比化简，小数比化简，有分数比化简，还有分数、小数混合的比的化简等，如果一个一个方法地记，比较繁琐，我引导学生归结为两点：一要整数，二要互质，有的学生甚至说：“只是一点，即‘前后项是互质数’，因为互质的两个数也就是整数。”
(三)深入浅出，用通俗的语言说明难懂的算理
小学数学教学内容，有些是教学的重点，同时又是教学的难点。这就需要教师用通俗易懂的语言，并辅以实际操作，化难为易，使学生加深理解和掌握。
(四)不断揭示矛盾，用数学的魅力激励学生始终保持高涨的求知心态
多年教学实践，我感到唤起学生学习需求感的因素很多。例如课程内容的科学性，知识应用的广泛性，教师语言的形象生动、精炼，以及现代化教学手段的应用等。但其中最主要的还是不断引起学生认知过程中的矛盾冲突，以展现知识本身内在魅力。

二、数形结合，展现知识的魅力，充分发挥学生的学习潜能
数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是十分密切的。我在教学中，常常注意把数和形结合起来，使抽象的数学知识形象化。这样做既可使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象逻辑思维与形象思维紧密结合起来，以利于发展学生的思维能力。
(一)用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率
(二)借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力

三、引导探究，培养学生的学习能力

　　学生是学习的主体，教师的作用是创设条件引导探究。要让学生对所学知识不仅知其然，而且知其所以然，与此同时还要让学生在认知活动不断发展和深化的过程中，学一些思维方法，从而逐步获得学习能力。
(一)旧中育新，促进知识迁移
小学数学教学内容，是前后有序，又不断发展着的一个整体。一节课的内容往往是整体中的一个有机环节。从学生的认识规律看，知识的形成和掌握也往往是在旧的知识基础上引出新知识，并使新旧知识相互沟通，从而促进迁移，发展智力，形成能力。古人所说“温故知新”，是教学中行之有效的好方法。
在教学中，我注意引导学生运用旧知识推导新知识，不仅使学生知道新旧知识的联系，更重要的是让学生逐步学会怎样从已有知识中分析推理出新知识的思想方法，具备这样的能力是很重要的。
同时从教育意义看，也很有益，它能使学生在学习过程中感到“我能学，我能学得好”。这是极重要的学习动力和信心。
(二)突出基本数量关系，以简驭繁，使所学知识融会贯通
小学里的应用题类型很多，如果一个类型、一个类型平均使用力量教学，不仅花时多，而且会使联系紧密的知识各自孤立，使所学知识不能融会贯通。我在教学中狠抓基本数量关系，沟通知识间的内在联系，使有关应用题构成一个互有联系的整体。这样就可以在同样的时间内学习较多的东西，而且学得更好。
(三)注意“坡度”，求深度
小学数学的内容虽然简单，可是它是抽象性、逻辑性强，结构严谨的一门学科。小学生的认识能力，由于受到知识基础和生活经验的限制，看问题往往不全面，分不清事物的本质属性与非本质属性，而有些知识由于学习阶段的限制，又不可能一下子深刻地揭示其本质，小学生也只能理解到一定程度。为此，小学数学教学要认真考虑学生的认知规律，把所学新知识，按学生的认识过程，划分为几个“坡度”，逐步提高学生掌握数学知识的水平和学生数学智力活动水平。
(四)使学生在获取知识的过程中，思维得到发展
我在教学中，重视学生在获取知识过程中，学一些思想方法，发展思维能力，把数学知识的教学和思想方法的训练，有机地揉合在一起。我感到这个要求应该贯穿在整个小学数学教学中，从低年级就抓起。如乘数是一位数的进位乘法，在例题的教学中，先创设所得积是62，612，还是72的问题情境，引起学生思索，并通过学生动手操作，摆小棒实验得出36×2的计算方法，接着再练习几题，从而使学生知道个位乘得的积满十，向十位进一的算法。
第二层次教学个位乘积满几十向十位进几，教学中结合练习，引导学生观察比较两次练习
师：两题的计算方法都有什么主要的特点？
生：它们个位乘得的积都满十，或者满几十，都要向十位进几。
学生在充分感知，发挥形象思维的过程中，初步得出个位乘得的积，满几十，向十位进几的计算方法。
然后在第三层次的教学时，从几道例题的联系中，再引导学生分析、综合。
师：这几题的计算方法，和上面学的题相比，主要有什么不同？
生：这几题，有的是十位乘得的积满几十，向百位进几，有的是百位上乘得的积满几十，向千位进几。
师：从两次所学式题的不同点中，能找出相同的算理吗？
抽象概括出“一位数乘多位数，哪一位上的积满几十就向前一位进几”的计算法则，这结论是学生积极开展思维活动得出的。从当堂的情况看，如让学生举数字卡片，表示下题□里的数是几：
题中积上的☆表示的数随着□内数的变化而变化，渗透函数思想，□里的数虽不是唯一的，但又必须受进位要求的制约，如积的十位上是7时，个位乘积只能进1，积的十位上是8时，个位乘积必须进2，学生把握住乘数是一位数进位乘法的基本结构，思维活跃，既发散又集中，而且能压缩思维过程，正确灵活地判断出□里的数是哪些。从长远看，学生在这个过程中，同时也初步学习了观察、比较、分析、综合、抽象、概括等逻辑方法，学生初步的逻辑思维能力受到了同步的训练。
(五)鼓励学生独立思考，勇于质疑问难
思源于疑，问题是思维的起点。我在教学中注意培养学生质疑问难的习惯和能力。
我常在学生难以弄清楚的地方有意识地设疑，引起讨论。如学生初步认识循环小数后，出示下题让学生判断该题的商是否为循环小数？有的学生看到商重复出现3，认为是循环小数，有的学生却发现这题可以除尽，通过议论，使学生对循环小数的位数是无限的，又结合具体题目加深认识。
在教学中，我常常有意引导学生开展“小好问”(数学课上学生提问时用的一个雅号)“看谁学得深”等活动，鼓励他们敢于想象、敢于质疑。如低年级教学这样一道应用题“纸盒里有一堆花，小朋友表演节目时拿走11朵，还剩下9朵，纸盒里原来有花多少朵”时，学生用“11+9=20(朵)”解答后，有的“小好问”就提出：“拿走是取掉的意思，剩下是表示余下来的，为什么用加法算？”促使全班小朋友进一步思考，引出：原有朵数-11=9，假想把拿走的11朵花放回盒里，就得原有的朵数了，所以用“11+9”计算。
又如学习三角形时，我让学生用3根小棒围三角形，“小好问”提出：用三根小棒为什么只能围一个三角形，有学生说：“因为三角形三条边的长度固定了。”有学生提出不同看法，认为与边的长度无关，因为平行四边形四条边长度也固定了，但可以围成无数个平行四边形。这就引出了三角形的“稳定性”，我让学生再用小棒围三角形，小棒长(单位：厘米)分别为　(1)3，4，5 (2)3，3，3 (3)2，4，3　然后让学生相互核对，结果发现：他们对各题所围成的三角形的形状、大小都完全一样。这样动手操作之后，同学们确信三角形三条边长确定了，三角形就固定不变形了。它还孕含了平面几何中“三边对应相等的两个三角形全等”的知识。　质疑问难，更有利于培养学生独立思考，实事求是的学风。
再如，关于认识平行四边形的教学，当学生初步认识之后，我让学生摆弄学具，量量比比，要求找出平行四边形的特征。学生们找到：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边长度相等；(3)两组对角相等。随后，我让学生阅读课本上关于平行四边形的结语。课本是这样说的：“两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。”但是有的学生认为课本上写得太简单，有的特征还没有写出来。通过操作演示和讨论，学生发现，两组对边分别平行的四边形，对边长度必然相等，对角也必定相等。他们终于说：“课本中的结语不是太简单，而是精炼、概括，是体现了数学美。”于是，我肯定了他们的想法，表扬他们独立思考，敢于提出与“权威”(课本)不同的意见，而又实事求是的精神。接着，学生们为便于记忆把课本上的结语整理成：“一是四边形，二是两组对边要分别平行。”
培养学生敢于想象，敢于质疑，就要信任学生，不要怕学生讲错。学生能想就好，通过错误和正确的讨论，能使学生悟出道理，加深对知识的理解，质疑问难的习惯和能力也就逐步养成。

四、让所有学生都有施展才能的机会
课堂40分钟既是可供学生的学习时间，更是每个学生实际学习的时间。我对此的认识也有一个过程。原先总认为学生实际学习时间主动权在于学生本身。在不断实践中，认识到，保证学生实际学习时间的关键在于我--教师，在于我是否为每个学生提供40分钟。每个教学环节，甚至我的一个眼神，是否看到全班学生，尤其是学习成绩一般的或中下的学生。同时从个人的成长过程来看，小学生正处于生长发育阶段，可塑性很大，适当的学习机遇，良好的教育，积极的引导，可以发展他们的个性特长，发挥他们的学习潜能，每个学生都可能成为国家建设的有用之材。
(一)面向全体，使所有学生达到共同的基本要求
我注意让每个学生在每个教学活动中，都有施展自己学习才能的机会，能及时看到自己的学习成绩，激励学习信心和意志。为此，在课堂教学中就要尽可能给每一个学生所必需的学习机会和练习时间，对于重点内容还要加强单项训练。
我在设计教学过程时，注意练习形式和反馈的广泛性，并针对存在问题组织练习。同时，我从学生的动作中，可以清楚地了解到每个学生的答案，及时而广泛地收到了反馈信息。
(二)“一视同仁”与“区别对待”
我坚信所有的学生都可以成长为有用之材，我爱他们的每一个，对他们“一视同仁”。但是每个学生在兴趣、能力、个性等方面除共性外，又有其特性和差异性，教学时要承认差异，又要让每个学生得到提高，个性得到发展，因此我又注意“区别对待”。
如让学有余力的学生在同样的时间内除练基本题外，比一般同学多练几题，让他们的智力潜能充分发展。有时，在基本题练习后，出示选做题，分A组和B组，让学生选其中一组进行练习，如小数乘法运用乘法分配律进行简便算的课中的第三批练习，分为：
A组：
①1.2×15+15×8.8
②27.3×27+71.7×27+27
B组：
①(14．8×2+14．8+14．8)×2．5
②0．8×2．6+0．8×6．4+80×0．01
③31．4×2+15．7×5-62．8×2
要求在第二批练习时全对的学生选做B组题，其余的学生先把错题订正，再选做A组题的一题或二题。这两组题要求上有区别，A组是基本题，B组是变式题，让学有余力的学生在完成基本要求的基础上，进一步拓宽思路，灵活地运用定律、性质进行简算，以发展他们的智力。练习内容注意了统一性、多样性和灵活性，使每个学生在掌握基本题的前提下，又有了不同程度的提高。
有时还可以让学生利用完成练习题后余下的时间自编题并且解答(一般要求基本围绕本节课的学习内容)。然后举行“数学本领强”小小展览会，课内外结合，展品就是学生的自编题，或者当堂就把这些题作为课堂上某一次的练习内容。练习内容来自学生，对全班学生来说，更亲切、更有趣。如有个学生编了一道题：
5.4×14＋4.6×(9.32＋4.68)
=5.4×14＋4.6×14
=(5.4+4.6)×14
=10×14
=140
初看这题似乎不能简算，但计算一步后，学生发现了题目的“奥妙”，激励了解题的积极性，提高了解题能力。
在“区别对待”中，我感到对“中下同学”更要予以关心、爱护。因为小学生的“好”与“差”，在学习过程中会不断发生变化。有时在某一点上，差的也可以超过“好”的。教学中要尽可能促使“差”的向“好”的方面转化，教师应该成为每个学生亲切的学习伴侣，尤其对学习上暂时有困难的学生。在课堂教学中，我除了作业时对他们多做个别辅导外，在提问讨论中，对他们也采用“扶”“半扶”再“放”的办法，尽量让他们也能积极思维并且也能发言。如教学平均数应用题时，经过引导，有的学生能概括出“总数量÷总份数=平均数”。但中下学生还只在模仿水平，还不能概括，我就让中下学生先照着说，但我十分注意自己的语气，以保护学生的积极性，我说：“这很重要，谁再来说一次，让全班学生加深印象。”请到的“中下学生”就非常乐意，努力认真地把数量关系说好。
在后面的练习中，如“光明乡有三所小学，各校的学生数为：甲校132人，乙校200人，丙校268人，平均每所小学有学生多少人？”学生们除了用(132＋200+268)÷3的一般解法外，还有一部分学生用移多补少的解法，268-200＋132。其中有的就是“中下学生”，他们还能说出解题思路，“把268比200多的部分给132，132就正好补足成200”，有的学生还补充说：“如果多的部分补给132，超过了200，那么就把超过部分再平均分成3份，添在每个200上，也就求出平均数，如果……”有的学生说：“乙校人数200不计算在内，把甲、丙两校总人数除以份数，即(268+132)÷2得出的平均数和200一样多，也是对的。”这些都说明包括“中下学生”在内的学生们理解了什么叫做“平均数”。
在教学中，我也注意学生之间的互帮互学，如教学文字题时，“中下学生”在使用括号上有时出错，在基本题练习后，让已学会的学生编这类题，出错的学生列式解答。这样能使已学会的学生进一步巩固提高，掌握这类题的结构特征，出错的“中下学生”则当堂补缺，达到能正确列式解答这类题。
“中下学生”在转化过程中，我注意保护他们的自尊心，充分信任他们，不明褒实贬，如在公开课上说：“×××，今天你也进步了，希望能坚持下去。”诸如此类的话，尽管这是反映了他的学习态度，我感到如能在另外场合和他们个别交谈，既很必要而且效果好。
帮助“中下学生”提高，我注意渐进与反复，不操之过急。如教学“用字母表示数”，这内容比较抽象，难理解。我让学生课前预习，对“中下学生”的预习要求是能说清楚书上讲了哪三个例题，而且可以拿着课本讲，“中下学生”感到这要求不难，能做到，积极性就高。通过预习，他们对题意弄清楚了，再通过课堂学习，学习效果就比较好，同时也尝到了预习的乐趣。