马芯兰的数学教学改革实验

 马芯兰 生于1946年12月，北京市人。1966年毕业于北京第二师范学校。中学高级教师。从1967年至今一直在朝阳区幸福村中心小学任教。主要著作有：《小学应用题教学中的能力培养》(上下册)，《小学数学教学改革尝试》(共四册)。所写论文：《两个学习心理系统的有机结合与学生学习的良性循环》获北京市教育学会1985年优秀论文一等奖，《改进知识结构，加强能力培养》获中国教育学会一等奖。先后获得：北京市自学成才先进、北京市特级教师、北京市特等劳动模范、全国优秀教育工作者、全国“五一”劳动证章、北京市有突出贡献的专家、北京市共产党员“十杰”之一、全国巾帼建功先进、北京市人民教师“十佳”、全国中青年教师“十杰”等荣誉称号。

　　记得小时候，当我看到中国被帝国主义侵略，我们的民族惨遭迫害的电影和小说时，我十分气愤，眼泪不知流了多少。从那时起，我下决心努力学好本领，长大了为祖国多作贡献，一定要使自己的祖国富强起来。富强了，别人就不敢欺侮了。

　　1967年我当上了一名小学教师。这给我培养祖国未来的建设者提供了极好机会。我下决心把学生教育好，要他们热爱祖国，为祖国的富强而努力学习。从此我全身心地投入了教学工作，同我的学生朝夕在一起。那时，正值十年动乱，什么“白专道路”、“一长制余毒”、“师道尊严”等“帽子”和口号不一而足，满天飞，把建国17年我国教育事业抹得一团漆黑，使我国广大教师无所适从，受到严重威胁。对这一切，我没有怕，也不知道怕，只要让我上课堂，任凭他人说什么都可以。进了课堂，学生不听讲，我就先给学生讲故事，如《地道战》，《钢铁是怎样炼成的》以及许多中国人创造发明的故事等。讲一个故事，给学生讲一点儿知识。就这样，当时我班学生纪律最好，下班后，我从“红小兵”扔掉的图书中捡起一些教科书翻看，渐渐地将解放前后的小学教材都翻看了。我好像从中发现了一些什么问题，我又拿起《一千题详解》、《一题多解》……开始一题一题地算起来。

　　就这样，别人在搞斗、批、改，我却走进了数学的小天地里。边学习边实践，在学习和实践中朦朦胧胧有了些新的想法和做法。

　　随着社会形势的不断稳定，各级领导开始抓教育质量了。下来听课，出卷考试……对这一切我抱着非常欢迎的态度。这对我来说是最大的帮助和鞭策。可以说从那时起，我教的班级的数学成绩就遥遥领先。各级领导和老师们经常到我教的班级听课，他们听课后都感到在处理教材和教法方面有些新意。面对这些，我从没骄傲过，因为我时时记住我的工作目的不是这一切，而是要学生成才，为祖国作贡献，使祖国富强起来。

　　为了培养合格人才，从小给儿童打下良好基础，使他们在德、智、体诸方面得到全面发展，我于1977年秋，从一年级开始，进行了小学数学教学改革的实验。用了三年的时间使学生的数学学习质量达到相当于当时五年制小学毕业的水平。接着从1980年秋季起，又开始第二轮实验，到1984年夏季，使学生在四年级时的数学学习质量达到相当于六年制毕业水平。在改革数学教学的实验中，所有的讲课、预习、复习、练习，都是在课内进行的，基本上不给学生布置课外作业。学生掌握的基础知识比较巩固，基本技能熟练，思维敏捷、灵活，学习的积极性、主动性都比较高。1980年有关部门为了检查第一个实验班的学习质量，曾用小学升初中的数学试题，让实验班(当时为三年级)学生做，结果全班平均成绩达93分。1984年，学区用朝阳区小学升初中数学试题，测验了第二个实验班，结果全班42人，平均94分。1987年北京市教育局在全市18个区县及燕山、北京铁路分局所属230所小学的400余个教学班进行推广实验。经过五年的实验，取得比较明显的成效。小学生掌握数学基础知识更系统、更扎实了，学生解决问题的能力有了显著提高，学习数学的兴趣更浓了。学生课业负担不重，有较充裕的时间参加自己喜欢的活动，促进了学生的全面发展。
在小学数学教学改革实验中，我努力根据儿童学习过程的认知特点和规律，运用学习迁移的原理，通盘改革小学数学的教材和教法。在知识教学中，突出重点知识的教学，给基本概念、原理、法则以中心的地位，加强知识的内在联系，适时进行渗透，使学生形成一个好的认知结构；在应用题教学中，突出能力的培养，把培养能力放在中心地位。

一、调整教材结构，促进知识迁移

　　我们以前用的教材，一般讲完一个概念、一条法则，接着讲一两个例题，然后让学生模仿做几个练习。这种教材有两点不足，一是从知识的传授来说，教材虽然重视知识的系统性，但平铺直叙，知识内部联系不紧密，有些知识跨越程度比较大，形成大大小小的一些教学难点。二是从能力的培养来说，教材中练习的分配是分散的、孤立的，技能的迁移性差，难以形成能力。
我对小学数学教材进行改革，是分两步走的。第一步，根据知识的内在联系和儿童智力发展的规律，突出教材中那些最基本的概念、法则和原理，并以此为中心，从纵横两个方面进行重新调整和组合，把所有有关的、有联系的知识串联在一起，做到有纲有目，使之形成为一个新的比较好的知识结构。第二步，根据培养数学能力的需要，自编能力训练的教材，充实到新的知识结构中去。改革后的教材，把能力训练的教材，作为教材的重要组成部分，是一种知识与能力紧密结合的新教材。它既有利于知识技能的教学，又有利于培养和提高学生的能力。
小学数学的最基本的概念，就是指那些在知识与技能的网络中，带有关键性的、普遍的和适用性强的内容。如加法的概念、同样多、差的概念、乘法的意义、小数的意义、分数的意义、倍的概念等等。抓住这些最基本概念的教学，就能使知识产生广泛迁移，使学生学习起来容易理解，同时也有利于记忆。前面谈到从纵横两个方面对知识进行重新调整和组合，在“纵”的方面，就是按照知识的纵向联系，归结为计算和应用题两条线，并使两条线的知识密切联系、互相渗透。基本的概念、法则、原理和数学能力是线上的中心环节。抓住这些中心环节，整条线就带动起来了。例如，百以内加减竖式计算法则，在计算这条线上，它是一个基本计算法则。重点学好百以内加减竖式计算法则，以后学习万以内、多位数加减计算时，学生就可以运用旧知识比较容易地掌握新知识，这就是知识迁移的作用。
在“横”的联系方面，就是把教材中有横向联系或互逆关系的知识，编排在一起，形成许多大大小小的“块”。例如，把十一类一步应用题组成一大“块”，把多位数加减与小数、分数、百分数加减，多位数乘除和小数乘除、分数和百分数应用题等分别分成不同的“块”。十一类一步应用题这一大“块”，又分为四小“块”，即把原教材中属于“求和”、“求剩余”的内容编为一块；把属于比较两个数多少的应用题编为一块；把属于“求相同加数的和的乘法应用题和相应的除法应用题编为一块；把属于比较两数倍数关系的应用题编为一块。然后以基本的概念法则为中心，一块一块地进行教学。例如比较两个数多少的应用题，这一小块内容，“同样多”和“差”的概念就是学习这一块知识的基本概念。
这样以基本概念、原理、法则为中心，从纵横两个方面对原教材从结构上进行了调整和组合，形成了一个新的教材知识结构。

二、突出概念教学，重视形成知识结构

(一)知识概念教学
改革教材，主要是对原有教材重新进行调整和组合。这就使教材有了一个比较好的知识结构。而要把知识的基本结构教给学生，关键在于要有好的教学方法，我根据儿童的认知特点，在教法改革中充分运用知识迁移的原理，突出基本概念的教学，加强知识间的内在联系，适时进行渗透，使前面的学习为顺利地学习后面的知识打好基础，把新旧知识联系起来，使学生形成一个最佳的认知结构。这里不是一般地教给学生一个个知识，而是教给学生知识的基本结构。这种把教知识变为教知识结构，是我在教学中特别重视的环节。
首先，突出基本概念的教学。对于基本概念、法则、原理的教学，我常常采用的方法是让学生摆一摆，画一画，说一说，自己动手操作、练习；边观察、边说、边思考，做到眼、手、口、脑并用，使概念的形成经过形象化感知、外部言语、再到内部言语这样一个过程。一般来说，对基本概念的讲解、推导，不急于求成，一节课不够用，就增加时间，直到学生真正理解，牢固掌握，能举一反三为止。例如，学生初学“10以内数的认识和加减法”这部分知识时，重点抓“和”的概念的教学。从实物和图画入手，让学生把手中的苹果和梨放在一起，数一数共有几个水果；把桌上的红粉笔和白粉笔放在一起，数一数有几支粉笔；把长方体的糖和球体的糖放在一起，数一数一共是多少，……然后又拿出色彩新颖的图片，如猴山上的大猴和小猴，草地上的山羊和绵羊，汽车场上的大汽车和小汽车，等等。通过大量的实物、图片演示，学生对“和”的概念就理解和掌握了。学生掌握了“和”的概念，就为学习10以内数的加减法和有关知识打下了基础。对于一些比较抽象的基本概念，则寓教学于日常的活动之中，使学生对教材有生动形象化的感知。例如，在讲解相遇问题时，为了使学生理解“同时”、“不同地”、“相遇”、“相向而行”、“相背而行”等概念，带着学生到操场上做一些活动。把学生分为两队，分别站在操场两边。教师说“走”，两队同时相对行走让学生形象地理解“同时”、“相对”的含义。当两队遇上时，教师叫“停”，告诉学生这是“相遇”，同时让学生观察这时各自走的路程的长是多少，理解在同一时间内两队各走的“距离”。这些知识都是相遇问题的难点。学生有了感性认识后，回到课堂上讲相遇问题时，就能迎刃而解了。
其次，加强知识的训练，形成知识网络。科学概念反映客观事物的内在联系，越是基本的概念，它所反映事物的联系就越广泛、越深刻。突出基本概念的教学，不是说可以不去注意一般的知识，相反，而是要以最基本的概念为中心，在对概念的理解，运用和深化的过程中，不断把有关知识联系起来，以纲带目，以点带面，形成知识网络。这种联系紧密的知识，就为迁移创造了良好的条件，学生就能比较顺利地理解和掌握新知识。
例如，进行“同样多”这个基本概念教学，可以在逐步加深理解的过程中引出一系列有关新知识，得到新认识，使一个个相关知识联系起来。在比较数的大小过程中，学生建立起“同样多”的概念，以它为中心，学习了“求两数相差”、“求比一个数多几的数”、“求比一个数少几的数”这样一组应用题。接着把“同样多”概念纳入加减的计算中，在计算2+2+2，5+5等一类练习题中，引导学生观察加数都相同的特点，进而引出新的概念：“相同加数”和“相同加数的个数”，为学习乘法意义打下基础。在学习除法意义时，还以“同样多”为主线，继续引申认识平均分的意义，从而学习了除法的意义。这样，以“同样多”这个基本概念，使有关知识连成线，形成块，连成网，形成一个较好的知识结构。因此，使这部分知识学习起来变得容易些，理解也比较深刻。
第三，适时进行渗透。在学习过程中，有些知识前后联系不紧密，有些新知识跨越程度比较大，学生不容易掌握，成为知识的难点。对于这些新知识，怎样使前面的学习能为后面学习作准备，怎样使新旧知识联系起来，使迁移能顺利地进行呢？这就需要在新旧知识之间，架起联系的桥梁。这种在前面学习时为后面学习某些知识的“架桥”工作，也就是为学习某些新知识作了准备，就是渗透。渗透要注意时机，要结合学习前面的知识自然地进行；渗透的内容要适度，做到使学生通过迁移顺利地掌握新知识即可。
例如：教学乘法分配律(两个数的和与另一个数相乘，可以用这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积相加)是教学中的难点，需要在前面学习某些知识时适时逐渐地进行渗透。在学习数的认识时进行渗透，如24=20+4，要让学生理解后会说：24是由2个十、4个一组成，20与4这两个数的和是24。这样就为学习乘法分配律中的“两个数的和与一个数相乘”进行了渗透。在学习乘法意义时，又进行渗透，如34×12，让学生逐步明白：10个34加上2个34就是12个34，这样既加深了对乘法意义的理解，又为学习乘法分配律进行了渗透。再如应用题教学中，培养学生掌握应用题结构的能力是教学的难点，需要及早地不断地进行渗透。我在教“10以内数的认识”时，就开始有目的地渗透简单一步应用题结构的知识。如，讲“3”的时候，先拿出两辆汽车的图形，又拿出一辆汽车的图形，接着演示说：“停车场原有两辆汽车，又开来一辆，停车场共有几辆汽车？”然后，让学生学着说。这里不是单纯讲“3”，还使学生对一步应用题是由两个条件、一个问题构成的基本结构有个初步的印象。
由此可见，教法改革的立足点，是以迁移为中心，教给学生知识的基本结构，使学生的头脑中形成一个最佳的认知结构。突出基本概念的教学，以基本概念为中心，不断运用概念，引申概念，加强知识内部的联系，对于那些前后联系不紧密、学习难度大的知识，适时地不断地进行渗透，在多种联系和不断渗透中突出重点，回到最基本的概念、原理。这样既掌握了重点知识，又理解了一般知识。我从教改实践中体会到，学习知识的基本结构，即懂得基本原理，使得知识更容易理解；有利于记忆；能使知识、技能、方法得到广泛迁移。一句话，学习和掌握知识结构能使学生学习起来容易些，理解深些，学得快些。这不正是我们教改追求的目标吗？

三、应用题教学，重在能力培养
应用题是小学数学教学的重点，也是个难点。对于各种各类应用题，过去的教材内容比较分散，教学时间长，教师只能一类一类问题地教，一个一个例题地讲，学生反反复复地练。这种教学方法，偏重技能的训练，没有突出能力的培养，结果学生负担重，教学效果不佳。
能力是什么？能力是与活动联系在一起的，从事任何活动都必须具备相应的能力。每一种活动都对人的心理过程、分析的能力、反应的速度、个性的特征提出某些要求。能力就是人的这些心理特征，符合于相应活动的要求，并且是顺利地、高质量地完成这种活动的条件。我在改革教材的基础上，对应用题的教学，突出地抓住了数学能力的培养。在培养能力方面，主要有三个特点：
(一)抓住特殊能力--数学能力的培养
近十年来，许多教师对教学进行改革，重视能力的培养，注意培养学生的观察能力、思维能力、想象能力、记忆能力等。我觉得这些能力属于一般能力。而学生的学习活动是分学科进行的，不同学科还有不同的特殊能力。如语文能力、数学能力、生物能力、音乐能力等等。我们要使培养能力的教学改革深入下去，取得更好的成效，就不能停留在培养一般能力，而要深入到学科，根据学科本身的特点，研究如何培养学科的能力。这是培养能力如何深入的一个重要问题。我注重抓住特殊能力——数学能力的培养。我根据小学生智力发展的特点，主要培养掌握数学问题结构的能力、逻辑思维能力，思维的灵活性和数学概括能力。以掌握数学问题结构的能力为例。什么叫数学问题结构？通常人们在解答一个问题前，必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已知条件和要求，这就要进行分析、综合研究条件之间的关系，条件与问题之间的关系，然后把这些成分综合成一个整体，抓住问题中具有本质意义的那些关系。这就是抓住了数学问题的结构。“能力强的学生拿到一道数学题时，一眼就看出了问题的结构，就能把已知条件联系起来，而数学能力平常的学生遇到一类新问题时，一般说来，他们只是感知问题孤立的数学成分，并不理解这个问题。对于平常的学生来说，特别重要的是要能通过分析和综合过程把问题的各种成分联系起来。”(克鲁切茨基《中小学生数学能力心理学》252、254页)我在教一步应用题时，就着重地抓了数学问题结构的训练。如画线段图的训练，补充问题与条件的训练，题意不变改变叙述方法的训练，自编应用题的训练，根据问题说出所需条件的训练，对比训练等。在讲两步应用题时，重点上了两步应用题的“结构课”，同时进行变直接条件为间接条件，变换问法，让学生扩题、缩题、拆题，看问题要条件等四个方面的训练。讲多步复杂应用题时，又进行了多步应用题的“发散思维课”及相应的各种训练。通过一系列的教学和训练，使每个学生都掌握了应用题结构的能力。
(二)重视解题思路的训练
应用题之所以难学，问题本身一般比较复杂是一个原因，但从教学法来说，更重要的是解题思路(思维过程的顺序、步骤与方法)缺乏应有的训练，使许多学生感到问题无从下手，不知道怎样去想。对于这一点，我们只要把它同计算题作一比较，就清楚了。如做计算题时，学生对运算法则、运算顺序和步骤，都是清清楚楚的。学生的思维过程同运算顺序是一致的。计算的每一步都在式子里反映出来，看得见、摸得着，学生计算得对与错一目了然。计算题通过训练学生容易掌握。而解应用题就不同了，学生要了解题意，分析条件与条件之间，条件与问题之间的各种数量关系，要通过分析、综合，找到解题的途径和方法。从审题到列出式子，思维过程少则也有几步，都是用内部言语的形式进行的。这种用内部言语进行的思维过程，教师既难以知道学生的思维是否合理、正确，有无错误，更难以进行有针对性地训练。对于这样的问题，我根据学生智力活动的形成是从外部言语到内部言语这个特点，在应用题教学中设计了一套教学方法，使学生的解题思维过程化，有计划有步骤地训练学生的解题思路。下面是我的训练方法：
1．读题。通过读题使学生理解题中的情节和事理，知道题中讲的是什么事；已知条件中，哪个是直接条件，哪个是间接条件，条件与条件、条件与问题是什么关系。读题的过程，就是了解题意的过程。
2．画批。就是把题中的重点词、句和思维分析、判断的结果，用文字、符号(箭头、着重点、圆圈、横直线、曲线等)划出来，主要目的是为了了解每个数量的意义及数量间的内在关系。
3．画图。就是画线段图，用线段把题中所讲的各个数量及其相互关系表示出来，直观地、形象地反映应用题的数量关系。
4．说理。说理就是在分析解答应用题的过程中，让学生用清晰、简洁、准确的语言，说出自己分析解答应用题的思维过程及相应的道理。
通过上述读、画、说，学生把解题的内在思维过程，变为外在的表现形式，这就非常有利于训练、培养学生解题过程中思维的有序性和合理性，有利于培养学生逻辑思维的能力，解决了应用题教学中的一大难点。
(三)以培养数学能力为中心，进行系统的训练
我在应用题教学中，改变了那种一类一类问题地教、一个一个例题地讲的教学方法，以培养数学能力为中心，重新设计编排一套练习，反复地系统地进行训练。这种训练的目的不是停留在一问一答单纯解题式的技能训练，而是着眼于培养举一反三和思维的灵活性，形成数学能力。因此，在我的重新编排的练习题中，不仅有问题的解答训练，而更多的是各种思维训练：有扩题、缩题、拆题、编题的训陈，还有发散思维训练，对比训练，一题多变训练，一题多解的训练，系统思维训练等。为了进行这些训练，我采用了“结构课”、“思维分析课”、“变式课”、“发散思维课”等形式的教学结构和一系列培养能力的教学方法。下面，以两步应用题的“变式课”为例，说明我是怎样进行思维训练的。
“变式课”的教学，有五种基本做法。
1．改变叙述方法。就是题意不变，仅改变题中某些词、句的叙述方法。
2．改变重点词语。重点词语是连接条件与条件，条件与问题的纽带。它是引导学生理解题意，分析数量关系，寻求解题方法的主要线索。
3．改变条件。就是把直接条件改变成间接条件，把间接条件改变成直接条件，应用题的问题不变。
4．改变问题。就是条件不变，只改变应用题的问题。改变应用题的问题，不仅使题意发生了变化，而且使解题的思路和具体方法都随之发生了变化。
5．改变条件和问题。就是把应用题中的条件(直接条件或间接条件)改变成问题，把问题改变成条件(直接条件或间接条件)，使题意大变。从而导致分析方法、解题方法的改变。
“变式课”的教学过程，就是数量关系不断进行变化的过程。由于“变式课”形式的多样性、灵活性和复杂性，有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性。思维越广阔，变的途径就越多；思维越灵活，变的式样就越新颖；思维越深刻，变的内容就会越复杂。所以“变式课”的教学，有利于培养学生良好的思维品质。
能力永远指的是某种活动的能力，能力只能在活动中形成。能力不仅是知识、技能的掌握，而具有心理过程的个性特征，这种心理特征是在掌握知识、技能的过程中发展和形成的。培养数学能力就要通过数学知识的运用和练习来进行，光靠教师的讲解，是培养不出能力来的。正因为如此，培养能力的教学，一是改革教材，重新编排练习，并使练习成为教材的重要组成部分；二是改革教法，重在选用培养能力的教学方法。