一条没有终点的路——相遇问题的教学

 （一）创设情境

吴老师微笑地站在讲台前，请同学们先看一段录像。

1、复习旧知  引发联想

画面演示，画外音叙述：

这是一列货车，每小时行50千米，照这样的速度，4小时能行多少千米？

这是一列客车，每小时行60千米，照这样的速度，4小时能行多少千米？

录像放完了，吴老师并没有让学生解答，说道：“相信这两道题肯定难不倒大家，谁能说说，你对这两道题有什么想法？”

学生1连珠炮式地说：“这两道题全是已知速度和时间，求路程的应用题。”

学生2慢悠悠地说：“我觉得这两列车行驶的时间是相同的，只不过两列车的速度是不同的。”

学生3：如果把两列火车所行的路程分别求出来，客车行的路程肯定比货车多。

学生4迫不及待地说：“我不仅知道客车行的路程肯定比货车多，而且客车行的路程肯定比货车多4个10千米。”

吴老师立刻追问了一句：“你能说说这个结论的道理吗？”

学生4有理有据地回答：“您看，这两道题中，两列火车所行的时间是相同的，都是4小时。只不过客车每小时比货车多行10千米，那么，客车行的路程肯定比货车多4个10千米。”

2、学生表演，理解概念

吴老师激动地说：“好极了，看来大家前面的知识掌握得都很好。今天，我们就要在速度、时间、路程关系的基础上，研究稍复杂的行程问题。在学习新课之前，有四个词，请同学们理解一下。可以一人单独思考，用双手演示进行理解，也可以两人配合表演。“

屏幕上依次闪动出现四个词：相对、同时、相遇、相距

师：哪两个同学愿意用你们的动作和语言把这四个词的意思表演出来？

两位同学勇敢地走了出来，面对面站好后，一个学生冲着大家说：“我们俩人面对面站着，就叫做相对。”

一个学生冲着另一个学生点点头说：“一、二。”两个人同时迈步向前走，“我们俩人一起走，就叫同时。”

两个学生向前走到距离很近时，看着老师说：“老师，这就叫相遇。”

吴老师又将两个学生分别向前轻轻地推了一下，两个学生碰到了一起。吴老师笑着说：“怎么，两个人碰了面，连个招呼都不打？”

其中一个学生马上握住了另一个学生的手说道：“你好，你好。”

另一个学生恍然大悟：“噢，我知道了，我们两个必须得碰在一起才叫相遇。”

两个学生又分别往后退了一步，其中一个学生说：“只要我们不相遇，中间还有距离就叫相距。”

这时，吴老师又给大家提出了一个新的问题：“哪两个小朋友愿意合作表演，先听老师的叙述，再按要求行走。”学生们的小手一下子都举的老高，希望得到这个机会。

两个学生喜滋滋的走到讲台前，等着吴老师发话。

“两个小朋友从甲乙两地同时相对而行，5分钟时，两人相遇了。”

两个学生认真地按照吴老师的叙述表演着。

吴老师先问了问矮个的小张：“相遇时你走了几分钟？”

小张理直气壮地回答道：“5分钟呀！”

吴老师又问高个的小李：“那么，相遇时你走了几分钟？”

小李爽快地回答：“当然是5分钟了。”

吴老师面向大家提出了第三个问题：“从出发到相遇，这两个同学同时走了几分钟？”

同学们异口同声：“10分钟！”

吴老师并没有急于解释，而是话锋一转，：“一个同学上一节课是40分钟，难道全班50个同学要同时上完这节课要用2000分钟吗？”

学生们摇摇头。不知谁大声地喊道：“搞错了，相遇时两个人一共行了5分钟。”

这个意见马上得到了同学们的认可。有的学生不住地点头，有的学生拍着自己的头说：“可不是吗！”听课的老师们都笑了。

通过学生亲自表演清楚这四个词的含义，为学习新知打下了基础。

（二）尝试探索

1、出示例题

两列火车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行50千米，经过4小时两车相遇，甲乙两站相距多少千米？

l         逐层出题；

l         学生“打手势”默读例题；

l         学生们用两块橡皮模拟演示；

l         多媒体课件演示例题。

2、提出问题

吴老师又一次把学生推向了学习的主体地位：“看到例题会想到什么问题？”经过师生共同整理，四个问题已展现在大家面前：

①         两列火车是怎样开出的？

②         两列火车1小时行驶了多少千米？2小时呢？3小时呢？

③         当两列火车行驶4小时的时候会出现什么情况？

④         两列火车相遇时，客车和货车所行的路程与甲乙两站全长有什么关系？

前三个问题很快得出结论，到了第四个问题时，吴老师却请大家闭上眼睛思考。

一时间，班里静悄悄的，有的学生闭着眼睛想象着；有的学生举起双手比划着，全体学生都在以不同的方式投入思考之中。

聪明的小明猛地睁开眼睛，他的声音打破了教室的安静，“噢，我知道了，客车和货车所行的路程加起来，不就是甲乙两站的全程吗！”

“对呀！”同学们茅塞顿开。

3、列式讨论

（1）吴老师请同学用算式表达自己的思考过程。

出现了不同的列式：

学生甲：60×4+50×4

吴老师微笑地摸着学生甲的头，弯下身来对他说：“请接受同学们对你的提问。”

班里出现了冷场，没有人举手。

吴老师首先举手打破了僵局：“我先来问问你，60×4表示什么意思？”

同学们受到启发，纷纷提出了问题：“50×4表示什么意思？”；“为什么把两个积加起来呢？”

学生甲胸有成竹，对答如流他的脸上掠过一种成功的快慰。

随着同学们的对话，银幕上出现了两列火车行驶的画面；演示验证了60×4+50×4算式是有道理的。

学生乙：60+50×4

学生丙：（60+50）×4

“这两个式子对不对呢？”吴老师又一次把球传给了学生。“请大家发表意见。”

第一个站起来的是数学科代表：“我想问问乙，你的列式中50×4表示什么意思？”

学生乙：50×4表示货车4小时行了多少千米。

科代表继续追问：我再问你，60表示什么意思？

学生乙：客车一小时行的路程呀。

科代表咄咄逼人：“那你的列式中只用客车一小时行的60千米加上货车4小时所行的路程，是什么意思？”

学生乙用手挠着头说：“哎呀，我的列式里少了个小括号。”接着，冲向黑板，着着实实地画上了一个小括号。

学生丙：我用60+50先求出客车和货车这两列火车1小时一共能行多少千米，因为这两列火车4小时相遇，说明4小时正好走完了全程，所以，用60+50的和再去乘以4就是甲乙两站的全程了。

此时，大屏幕出现了相应的画面，演示验证了（60+50）×4算式是正确的。

吴老师建议把第一个算式用学生的名字命名，第二个算式用学生乙丙的名字命名。同学们用掌声表示祝贺。

4、认识速度和。

吴老师：“题目中的60千米、50千米叫做什么？（速度）现在把60千米与50千米合在一起，谁能给这个和起个合适的名字呢？”

学生们的话匣子立即打开了。

“两车的速度！”

“一共的速度！”

“总速度！” ……

吴老师连声说：“好！好！50千米和60千米都叫速度，现在把两个速度合在一起了，我们就叫它 ‘速度和’怎么样？”

 “速度和”这个概念对理解相遇问题中的数量关系很重要。

5、质疑

“对于这道题还有什么不同的想法或问题吗？”吴老师又提出问题。

一名女生慢条斯理地说：“吴老师，我觉得刚才做的这道题和上课时出的那两道题的关系特别密切。”

吴老师认真地倾听着。

这名女生接着说：“您看，刚一上课时出的那两道题，都是今天学习的这道题的一部分，是知道速度时间求路程的应用题。只不过是一列火车行驶。可是今天学习的这道题是两列火车同时从两地出发，所以，在解题的时候就要用速度和乘以时间，才能求出全程。”

“你说的好极了！”吴老师一边夸奖她，一边带头鼓起掌来。

小女孩在大家的掌声中高兴地坐下了，这张小脸红扑扑的，格外美丽。

（三）巩固发展

1、基本练习

四（一）班举办一个“艺术节”，分配小红和小丽两名同学折纸鹤，小亮折纸花，小红平均每小时折20只纸鹤，小丽平均每小时折25只纸鹤，小亮平均每小时折18朵纸花。这三个同学一起折2个小时，正好完成任务。一共折了多少只纸鹤？

学生们很快就列出了正确的算式：（20+25）×2

爱思考的小张用简单明了的语言进行了解释：“这道题和刚才的例题特别相似，只不过是变了一件事情，所以，要想求两人一共折了多少只纸鹤，就先要求出小红和小丽1小时一共可以折多少只，然后再用求出来的和乘以2，这样就可以求出一共折了多少只纸鹤。”

听课的老师不住地频频点头。

王磊提出不同的意见，列式为（20+25+18）×2。快嘴的小兰向王磊提出质问“题目中让求折了多少只纸鹤，为什么你把纸花的朵数也算上了？”王磊无言可对，认输了。这场讨论对“多余条件”有了认识。

2、选条件编题

①         两个生产小组要完成一批订货任务；

②         第一生产小组每天能织1350双袜子；

③         第二生产小组每天能织1150双袜子；

④         照这样，12天正好完成任务；

⑤         订货单位预订了3000双袜子。

方法：一人编题，全体同学选择相应的算式，出示反馈卡。

学生甲：两个生产小组要完成一批订货任务，第一生产小组每天能织1350双袜子，第二生产小组每天能织1150双袜子，照这样，12天正好完成任务，订货单位预订了多少双袜子？

屏幕上出现供选择的列式：

①         1350×12+1150×12

②         1350+1150×12

③         （1350+1150）×12

学生们纷纷举起了反馈卡，有的学生举的是3号牌，有的学生举的是1号牌，还有的学生用双手高高的举起1号牌和3号牌。

学生们分别阐明了各自的观点，又是一场热烈的争论。

……

小李不甘示弱：“小王，虽然第一种方法麻烦点儿，第一种方法究竟对不对？”“为什么你不选择①？”

小王有点心虚地说：“对倒是对，可是这种方法比第三种方法麻烦。”

小李振振有词：“老师让我们选择的是用什么方法可以求出订货单位预订了多少双袜子，并没有限制解题的方法究竟是简单还是麻烦呀，不管用哪种方法，不都能求出这个问题吗？你只选择一种方法，是不是想的不太全面呀？”

连珠炮似的发言使得原本自认为有理的小王嘟囔道：“嗯，说的也是呀。”在讨论同学对问题有了更深刻的认识。

3、游戏

吴老师把开始上课时合作表演的小刚和小英同学又请上了讲台，请他们继续相向而行。并提出问题“二人相对行走可能会出现什么情况？”在表演中发现三种可能性：

①二人相遇；

②行走一段未相遇；

③相遇后继续行走；

吴老师分别给小刚和小英戴上了不同的头饰。头饰上标有80米70米字样，分别表示二人的速度。

教师一边叙述题，一边出示表示5分钟时间的牌子。

“小刚和小英从甲乙两地同时相对而行，小刚每分钟走80米，小英每分钟走70米，两人走了5分钟相遇，甲乙两地之间相距多少米？”

机灵的小刚脱口而出：“（80+70）×5”大家都表示赞同。

吴老师有意识地把速度放慢：“小刚和小英从甲乙两地同时相对而行，小刚每分钟走80米，小英每分钟走70米，两人走了5分钟时还相距200米，甲乙两地之间相距多少米？这题该怎么做呢？”

学生们略作迟疑，马上又有许多学生举起了小手。快嘴的小力争得了这次机会：“这道题应该这么列式（80+70）×5+200”

吴老师夸奖到：“真聪明！”在同学们思维的高潮中又抛出了一道题。“小刚和小英从甲乙两地同时相对而行，小刚每分钟走80米，小英每分钟走70米，见面后两人擦肩而过，5分钟时又相距了200米。甲乙两地之间相距多少米？”

教室里静了一会儿，两个学生向黑板冲去。

高个同学的列式是：（80+70）×5+200

矮个同学的列式是：（80+70）×5-200

吴老师面露难色，双手一摊：“到底是加上200，还是减去200呢？”

“加200！”“减200！”班里立刻分为两大阵营。

这时下课的铃声响了。“这个问题留给同学们课下思考吧！”

遗憾的叹息声把吴老师的话淹没了。不知是谁喊了一句：“不要下课，接着说！”吴老师笑了，同学们也笑了。

此时，台下响起了热烈的掌声。一部分意犹未尽的学生干脆跑到吴老师的身旁，继续着刚才的争论，发表着各自不同的想法。一节兴趣盎然的数学课就在同学们热烈的争论中结束了。不！开始了……一场没有落幕的戏还在继续着，学习是一条没有终点的路……

 

 

评析

这节课突出的特点是注意发挥学生的主体作用，充分调动学生们学习的积极性和主动性，让学生们高兴地参与到教学活动中来，不难看出，这节课真正的主人是学生。

吴老师注意在学生已有的生活经验和知识的基础上展开新知识的学习在孩子们亲自参与的数学活动中探索新知。知识的获取不是老师硬塞给的而是让学生在具体的情境中不断地发现问题，提出问题，解决问题。吴老师注意数学与生活实际的结合，使孩子们在所熟悉的“折纸鹤、折纸花”的活动中理解数量关系，学会排除“多余条件”的干扰，正确的解答问题。尤其是“选条件编题”及小游戏的活动又一次让学生感受到数学在实际生活中的价值，增强学生学好数学的信心。

在吴老师的课堂上，我们看的是一种合作交流的场面，学生与学生之间的交流、学生与教师之间的交流。学生们的积极性一旦被调动起来，产生的力量是不可低估的。

师生之间的这种知识信息的沟通、情感的交流与思维地碰撞不时地使课堂教学掀起高潮。学生在交流中不仅对数学知识和概念有了更深刻的理解，更重要的是使学生学会了思考，学会了学习，学会了合作。在这个过程中促进了学生的情感、态度、价值观及一般能力的发展。吴老师的数学课深深的吸引着孩子们。下课了学生们依旧恋恋不舍，一个个问题的抛出，一个个思维高潮的抛起使学生常常沉浸在研究讨论的气氛中。他们感受到学习数学乐趣无限，在学习的道路上永远没有终点。

吴老师精深的教学艺术，不仅感染着课堂上的每一个学生，台下听课的老师们也为之吸引、为之感染。

 

北京特级教师   刘梦湘