爱因斯坦的相对论百年故事

 爱因斯坦(Albert Einstein， 1879-1955)是少数具有极高公众知名度的伟大物理学家，美国的《时代杂志》(Times)在1999年推选他为"世纪伟人"(person of the century)。爱因斯坦在物理学上做出了许多划时代的贡献，例如1905年，年轻的他就独立完成了许多开创性的成果，其中有关光电效应(photoelectric effect)的论文，则是开启量子物理(quantum physics)大门的关键性成果，也使他获得了1921年诺贝尔物理奖的桂冠；他是在前往日本访问途中，於开往中途停靠点上海的旅行船上获知此消息。 　　然而，对一般大众来说，爱因斯坦最着名的研究成果就是相对论。他在1905年完成了"狭义相对论"(special relativity)，讨论等速运动系统的物理特性，其中由光速不变性的假设所推论出来的"时间膨胀"(time dilation)、"长度缩收"(length contraction)等等奇特效应，可以说是理论物理中十分令人着迷的现象。不过，综观爱因斯坦的科学成就中，描述重力作用的"广义相对论"(general relativity)，毫无疑问的是物理学中最激动人心的智慧结晶，让我们听听来自三位诺贝尔奖得主物理学家对广义相对论的赞誉： 　　狄拉克(Paul Dirac， 1902-1984)说："这可能是有史以来最伟大的科学发现。"玻恩(Max Born， 1882-1970)说："广义相对论的基础对我而言，直到现在仍然是人类思维上有关自然的最伟大壮举，是哲学洞察力、物理直觉和数学技巧最惊人的组合。"朗道(Lev Landau， 1908-1968)则说："它应该代表全部现有的物理理论中最美丽的部分。" 　　2015年是广义相对论的100周年诞辰，在这个值得纪念的时间点，我们将藉由这篇文章，介绍一些关於广义相对论的发展历史。对於爱因斯坦的生平事蹟，坊间已出版了许多非常好的传记书籍，我们将不再多所着墨。此外，爱因斯坦的研究课题所包含的领域很广泛，本文将只着重於爱因斯坦在广义相对论及其相关领域研究的思路历程，至於他在其他领域的重要工作，则不在本文的讨论范围。 　　探索新视界：广义相对论的发展 　　爱因斯坦在大学时期是一个相当古怪的学生，常常翘课、成绩并不突出，最後勉强达到毕业门槛；他大部分的时间和精力，均致力於独立研究物理学中最前沿的问题。爱因斯坦自己说过，他旷课的时间绝大部分待在家里，以宗教狂热的热诚学习理论物理。至於考试，爱因斯坦则依赖他的同学格罗斯曼(Marcel Grossmann， 1878-1936)在上课时所作的笔记。 　　因为爱因斯坦的经常缺课，再加上时常不够尊重师长的态度，使得他在授课老师心中留下不良的印象。他的物理学教授韦伯(Heinrich Friedrich Weber， 1843-1912)曾经责备他说："你是一个很聪明的孩子，爱因斯坦，非常聪明的孩子，但是你有一个很大的缺点，就是永远听不进去别人对你说的任何事情。" 　　事实上，在小学至高中时期，爱因斯坦是个好学生，特别是他在数学上的表现曾受到高度的关注。但是，当他考上了苏黎世理工学院(Federal Polytechnic Institute in Zurich)後，爱因斯坦对课业方面则采取知道就好的态度。例如，他很少专注於闵可夫斯基(Hermann Minkowski， 1864-1909)教授的课程，甚至翘掉很多他的课。闵可夫斯基曾经称爱因斯坦为"懒狗"。许多年後，关於狭义相对论的发表，闵可夫斯基的评论是"我真的不敢相信他能够做到。" 　　广义相对论所讨论的，是自然界中的重力作用。重力，也就是万有引力，是最为人类所熟知的作用力，我们很容易地就能观察到周遭物体总是向下掉落的现象，这就是地球所产生的重力作用结果。牛顿(Isaac Newton， 1642-1727)首先理解到，万有引力不单单只是造成地球上万物会向下掉落的原因，也是天体中星球运行的作用力来源。他写下了质量如何产生重力的万有引力公式，再加上他所提出的物体运动必须服从的三大运动定律，构成了牛顿力学的体系，主导我们对物理的认知达数百年；直到爱因斯坦相对论的奠定，我们对这个物理领域的理解，才又往前跨出了重要的一步。而广义相对论就是牛顿万有引力理论的推广。 　　爱因斯坦广义相对论的理论基础，起源於一个称为"等效原理"(equivalent principle)的基本概念。这个想法出现在1907年，根据爱因斯坦的说法，他是某天坐在伯恩专利局办公室里得到了这个灵感。等效原理的基本概念很简单，就是当一个人在自由坠落(free falling)的时候，他是感受不到自己的重量的。自由坠落是一个加速的运动状态，而物体的重量则是重力作用的结果；因此，等效原理表明了这两个物理现象间有一定的关联性，也就是重力作用原则上是等价於加速度。这个想法给了爱因斯坦很深的启发，引导他建立一个革命性重力理论的方向。爱因斯坦甚至曾经说过，等效原理是一辈子中令他感到最快乐的想法。 　　以等效原理为基础出发，爱因斯坦开始逐步地建构广义相对论的殿堂；当然，这个过程不可能一蹴可及，途中遭遇了重重的困难。从1907年等效原理的想法出现开始算起，直到1915年底广义相对论的诞生，在这八年的光阴中，爱因斯坦做过了许多不同的尝试，在错误中修正自己的方法，有时答案几乎已在眼前，可惜却因为某个错误的理解而失之交臂。在广义相对论发展的时期，爱因斯坦的职业，也从伯恩的专利局职员，转变成苏黎世大学的理论物理副教授、布拉格大学教授，最後又回到了苏黎世理工大学。 　　等效原理指出，重力可以被看成是加速度，因为重力在空间中无所不在，所以必须引进适当的物理量来表示"加速度场"。此外，狭义相对论提出了一个重要的新概念，在牛顿力学体系中的一维时间和三维空间不再是各自独立的。劳仑兹(Hendrik Lorentz， 1853-1928)已经提出了两个相对等速运动的观测者间，所测量到的时间和长度的转换关系，也就是说，时间和空间必须被看成一体，形成一个称为"时空"(spacetime)的概念；闵可夫斯基提出适用於狭义相对论的四维时空数学架构；而爱因斯坦则首先在四维平直时空上思考新的重力理论。在布拉格时期，他尝试相对简单的纯量(scalar)理论，他将光速视为一个空间的函数，并预期这个纯量函数会如同牛顿万有引力理论中的重力势一样，可以表示重力场的大小。 　　不过，这个尝试最後并没有成功，而且爱因斯坦也开始理解到，单单只用一个纯量不足以表示重力作用。在从布拉格回苏黎世的前後，他已经开始考虑重力的张量(tensor)理论，思考使用时空的度规(metric)来描述重力场。在四维的时空，度规是一个四乘四的对称矩阵，所以有十个分量，决定时空中长度和角度的大小。以直觉的图像来说明爱因斯坦的新方案，就是用时空的弯曲程度，来表示重力场的大小。时空弯曲愈大的地方，加速度愈大，也代表重力愈强。 　　一个完整的重力理论包含两个部分：第一部分需要知道物质如何产生重力场，在牛顿的理论中亦即万有引力方程。第二部分是重力场如何作用在物体上，因而改变物体的运动状态，在牛顿的理论中就是第二运动定律。在广义相对论弯曲时空的架构下，重力如何作用在物体的部分是相对容易解决，物体在弯曲时空中运动所走的是最短路径，而最短路径在数学上可由测地线方程(geodesic equation)算出。因此，广义相对论的建构中最核心的问题，就是必须推导出物质如何弯曲时空的重力场方程。 　　尽管爱因斯坦对於建立新的重力理论的物理直觉是清晰而深刻，但是要将他的想法具体地实践出来，需要一个全新的数学架构。讨论弯曲时空结构现在称为"微分几何"(differential geometry) 的数学工具，便成了广义相对论所需要的数学平台。但不幸地，爱因斯坦一开始并不十分熟悉微分几何，以致於迟迟无法构建出一个具有一致性的理论。回到苏黎世後，他向同学格罗斯曼再次寻求帮助，他向老同学拜托："格罗斯曼，你一定要帮帮我，否则我会疯了。" 　　爱因斯坦开始和格罗斯曼合作，埋首於广义相对论的建构，这段期间有关爱因斯坦的思想脉络和工作内容，均详细地记载於被称为"苏黎世笔记"(Zurich notebook)的档案中。经过了一段时间的努力，爱因斯坦和格罗斯曼终於在1913年发表了着名的"纲要"(Entwurf) 论文(完整论文题目为Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation)，这篇论文分为物理与数学两部分，分别由爱因斯坦和格罗斯曼撰写。 　　物理与数学的火花：广义相对论诞生 　　广义相对论的诞生，也就是推导出正确的重力场方程式，发生在1915年的11月，那一个月份，爱因斯坦分别在4日、11日、18日和25日发表了有关广义相对论的论文，从考虑比较简单的特殊系统再推广到一般情形，逐步改进结果，而正确的重力场方程式则出现在25日的论文中。 　　爱因斯坦意识到1913年与格罗斯曼"纲要"论文中的那次尝试几乎是正确的，其中所缺乏的是如何正确地将公式中的时空曲率和质量分布关联起来。起初，他也重蹈了格罗斯曼的错误，只专注於将不同形式的里奇张量组合对应到物质的能动张量，当然，所得到的理论依然是不自洽的。爱因斯坦後来发现到了这个矛盾，并试图修正。在1915年11月的论文中，从比较特殊简单的能动张量形式开始，一步步地修正他的理论，并在25日的论文中提出了正确的重力场方程式。 　　重力场方程式中的几何部分，除了里奇张量外，还需要加上一项包含曲率纯量的贡献，将曲率纯量乘上同是二阶张量的度规，正是在"纲要"论文中所欠缺的部分。最後，将里奇张量、曲率纯量和度规张量做一个特定的组合，定义了现在称为爱因斯坦张量(Einstein tensor)的二阶张量，而重力场方程，被称为爱因斯坦方程，便是时空几何的爱因斯坦张量等於物质的动张量(忽略了比例常数)。这组方程告诉我们物质的分布如何造成时空的弯曲，时空弯曲的程度经由测地线方程给出加速度，而根据等效原理，我们就知道重力作用大小。 　　爱因斯坦很快地重新考虑了太阳周边时空的弯曲，如何影响行星运动和光线的传播。他重复了三年前和贝索关於水星轨道近日点进动的计算，很高兴地发现，得到的结果和天文上已知的观测数据是相符的。他也重新计算了光线通过太阳附近，因重力场的影响所造成的路径弯曲，修正了他在1911年的预测结果，新的计算数值是先前结果的两倍大。 　　希尔伯特有关重力场方程式的论文，也是在完成在这个时间点，所以一直都有到底是谁先得到重力场方程式的争论。爱因斯坦首次提出正确的重力场方程是在1915年11月25日，但就在五天之前，也就是11月20日，着名的数学家希尔伯特在哥廷根(Gottingen)的报告中，介绍了他对广义相对论的研究成果。希尔伯特的研究主要目的是考虑重力与电磁力的整合模型，他从作用量(action)出发，利用变分原理(variation principle)，进而分析理论的数学性质。 　　变分方法是在牛顿力学系统中被建构出来的，希尔伯特将它用到重力与电磁的整合理论上。作用量是个纯量，而且当时已经知道电磁场的作用量形式。对於几何所代表的重力部分，希尔伯特很自然地猜测它的形式是曲率纯量对时空的积分，将此作用量对度规做变分，就可得到电磁场产生重力场的爱因斯坦方程式。这是一个非常简洁、漂亮的方法。关於希尔伯特报告内容的论文，则正式发表於隔年3月，在论文的印刷版本中，希尔伯特也推崇了爱因斯坦："重力微分方程，在我看来，符合爱因斯坦在他的论文中所建立的广义相对论大纲。" 　　爱因斯坦和希尔伯特论文发表的时间十分接近，导致了谁先孰後的争议：发现重力场方程式应归功於爱因斯坦还是希尔伯特？有些物理学家和科学史家认为希尔伯特首先发现重力场方程式，而爱因斯坦则是在几天之後独立地发现了它。 　　希尔伯特参与广义相对论的研究是始於1915年6月，那年夏天，爱因斯坦访问了哥廷根，并发表了一系列演讲介绍他的重力理论。他和希尔伯特对理论中的问题进行深入地讨论。这是他们首次碰面，爱因斯坦对希尔伯特有高度的好感，他曾说过："我在哥廷根的一个星期，认识了并且喜爱他。我举行了六次两小时长的演讲介绍新的重力理论，最让我高兴的是我完全说服了那里的数学家。" 　　在接下来的几个月，希尔伯特深入研究关於爱因斯坦的理论，他很快就找到了一个优雅的数学处理方法。他写信告诉爱因斯坦他的研究成果，而爱因斯坦则要了希尔伯特的笔记与计算的副本。爱因斯坦在11月18日前显然收到了这些笔记副本，因为就在这一天，他回覆希尔伯特说："你所建立的系统，据我观察，与我在最近几个星期发现、并且在学院报告的结果是完全一致的。"没有证据可以判断希尔伯特给爱因斯坦的笔记中，是否已有爱因斯坦方程，如果有，那麽爱因斯坦就是在自己提出这个方程(11月25日)前就已经知道结果。 　　另一方面的说法是，明确的重力场方程式事实上并没有出现在希尔伯特给爱因斯坦的笔记副本里，甚至也没有在他11月20日的报告中，希尔伯特是在稍後的论文校对过程中、且是在看了爱因斯坦的论文後，才将爱因斯坦方程式加入他的论文当中。这个两种看法，在1997年哥廷根大学图书馆公布有关希尔伯特在12月6日所做的论文校对相关文件後，更添加神秘色彩。 　　希尔伯特的校对版论文内容和最後正式发表的版本有些不同，最特别的是，在校对版文件中，可能包含爱因斯坦方程式的半页手稿被人撕走了。这种状况使得真相更加扑朔迷离，阴谋论的说法层出不穷：难道是爱因斯坦的支持者摧毁证明方程存在的证据？抑或希尔伯特的支持者想要掩盖方程式不存在的事实？希尔伯特的变分方法，原则上可以得到爱因斯坦方程式，但是，这个变分推导是很复杂的，希尔伯特当然有能力完成计算，问题是他是否在11月20日的报告前就明确地推导出爱因斯坦方程式，还是他在後来才加到正式发表的论文里。 　　无论真相为何，爱因斯坦和希尔伯特对广义相对论的建立，都扮演者极其关键的角色。爱因斯坦的物理图像清晰，动机明确，虽然所需的数学基础和一些疑惑困扰了他许多年，但终究达到目的；希尔伯特经由爱因斯坦的介绍开始重力的研究，他的数学知识雄厚，利用作用量和变分的方法，给重力场方程式的推导开辟出一个在数学上非常简洁的方法，精确地说，爱因斯坦方程对应於时空曲率的极值，也就是最大或最小值。这个方法是现代物理学家建构理论的基本手段，影响甚远。他们两人之间在1915年的相互交流与讨论，肯定对彼此的研究产生正面的影响。谁先推导出重力场方程的争议，一开始在两人的内心，也确实曾经激起短暂的不愉快情绪。然而，在他们往後的频繁交流过程中，几乎看不出这争议对他们的友好关系造成任何嫌隙，或许他们终究认为，这件事并不是个值得浪费时间和友谊的议题。