解放军文职招聘考试微分中值定理及其应用

  微分中值定理及其应用

摘  要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.

关键词：连续；可导；微分中值定理；应用
 
1   引言
人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.
    意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.
 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.
近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.
2   预备知识
由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.
定理2.1  (有界性定理)   若函数在闭区间上连续,则在上有界.即常数 ,使得有.
定理2.2（最大、最小值定理）  若函数 在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值.
定理2.3（介值性定理）  设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任意实数(或),则至少存在一点使得
 .
定理2.4（根的存在定理）  若函数在闭区间上连续,且与异号（即）.则至少存在一点使
,
即方程在开区间内至少有一个根.
定理2.5（一致连续性定理）  若函数在闭区间上连续,则在闭区间上一致连续.
定理2.6  设区间的右端点为；区间的左端点也为（其中,可分别为有限或无限区间）.若分别在和上一致连续,则在上也一致连续.
定理2.7（比较原则）  设和是两个正项级数,如果存在某正数,对一切都有
,
则
（1）若级数收敛,则级数也收敛；
（2）若级数发散,则级数也发散.
定理2.8  绝对收敛的级数一定收敛.
3   相关的几个重要定理
定理3.1（费马定理）  设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导,若点为的极值点,则必有
.
定理3.2（罗尔中值定理） 若函数满足如下条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）,
则在开区间内至少存在一点,使得
.
定理3.3（拉格朗日中值定理）  若函数满足如下条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则在开区间内至少存在一点,使得
.
定理3.4（柯西中值定理）  若函数,满足如下条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）,不同时为零；
（4）；
则在开区间内存在一点,使得
.
注  上面各定理的条件是充分的,但不是必要的.
4   微分中值定理的应用
4.1 证明有关等式
在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.
例4.1.1[5]是定义在实数集上的函数,若对任意,有,其中是常数,则是常值函数.
证明  对任意,的改变量为,由条件有,即,
两边关于取极限得

所以.
由中值定理,即,
故在上是常值函数.
思路总结  要想证明一个函数在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数在同一区间上恒为零即可.
例4.1.2[2] 设,证明：存在,使得.
证明  由于在上连续,在内可导,,  .符合罗尔中值定理的条件,故存在,使
例4.1.3  若在上有三阶导数,且,设,试证在内至少存在一个,使.
证明  由题设可知,,,在上存在,又,由罗尔中值定理,使
,
又可知在上满足罗尔中值定理,于是,使得
,
又对存在,使 .
例4.1.4[4]（达布定理的推论）  若函数在内有有限导数,且 ,则至少存在,使得.
证明  ,不妨设,,
因为由极限的局部保号性可知,,当时,      
,即.
同样,当时,
,即.
取,于是在,中,分别有

和
.
故,均不是在中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为由费马定理可知,
.
小结  证明导函数方程的根的存在性的证明方法有如下几种：
①验证函数在上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明.
②在大多数情况下,要构造辅助函数,验证在上满足罗尔中值定理的三个条件,证明,进而达到证明问题的目的.
③验证为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的.
例4.1.5  设在上连续,在内可导,,试证：使.
证明  由于,,,
由于在上满足柯西中值定理 ,所以使      
 
,
由上面二式可得使得：
.
例4.1.6  设函数在上连续,在内可导,且.试证：对任意给定的正数在内不同的,使
.
证明  由于所以.
又由于在上连续且.由介值性定理,使得
,
在上分别用拉格朗日中值定理有

即

即

于是由上面两式有

将两式相加得    

即
.
小结  大体上说,证明在某区间内存在满足某种等式的方法是：
①用两次拉格朗日中值定理.
②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理.
③两次柯西中值定理.
④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.
4.2 证明不等式
在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.
例4.2.1[3]  设  ⑴在上连续；
⑵在内存在；
⑶
⑷在内存在点,使得
求证在内存在,使.
证明  由题设知存在,使在处取得最大值,且由⑷知,也是极大值点,所以
.
由泰勒公式：.
所以.
例4.2.2  设,证明.
证明  显然等式当且仅当时成立.
下证  当时,有
           ①
作辅助函数,
则在上满足拉格朗日中值定理,则使
               ②
由于,所以
                  ③
由②③有,即
.
小结  一般证明方法有两种
①利用泰勒定理把函数在特殊点展开,结论即可得证.
②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：
第一步  根据待证不等式构造一个合适的函数,使不等式的一边是这个函数在区间上的增量；
第二步  验证在上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为；
第三步  把适当放大或缩小.
4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题
例4.3.1  设函数在点的某一邻域内可导,且其导数在连续,而当时,求 .
解  设,则由拉格朗日中值定理有
.
已知,又在连续,即,所以
.
例4.3.2  若在内可导,且,求.
分析  由式,引进辅助函数,显然.
解  由,知,当时,
令,对,在上利用柯西中值定理有
,
即
,
亦有
,
或

由于,所以当时有
和,
于是,使

即
.
小结
方法1  选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.
方法2   选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.
4.4 证明零点存在性
在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.
例4.4.1  设且满足,证明方程
在内至少有一个实根.
证明  引进辅助函数,
显然,又是多项式函数在上连续,在可导,满足罗尔中值定理的条件,故存在使

而

故方程

在内至少有一个实根.
注  本题构造的依据是使得导数恰好是所证方程的左边.
例4.4.2  证明：方程有唯一正根.
证明  （存在性）令,
显然是连续函数,取区间则在上连续,在内可导,且,
由连续函数的零点定理,知存在使即方程有正根.
（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,
设处外还有一个不妨设使则在上满足罗尔中值定理条件,于是存在使

这与上面的矛盾.
所以,方程有唯一的正根.
例4.4.3  设在上连续,在内可导,证明使并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.
证明  作辅助函数由于,由罗尔中值定理知使
              ,            ①
若令,则由①式有
,            ②
由②式可得

此即柯西中值定理.
若令,由①式有
                          ,            ③
由③可得

此即为拉格朗日中值定理.
此类型题的一般解题方法小结
证明根的存在性有以下两种方法
（1）构造恰当的函数,使；对使用洛尔定理即可证得结论存在,使得；
（2）对连续函数使用介值定理；
证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.
4.5 函数的单调性
例4.5.1[6]  证明：若函数在可导,单调增加,且,则函数在也单调增加.
证明  对任意,且,则在与均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在,使
,
,
由于单调增加,且,所以
,
从而
,
即函数在也单调增加.
证明函数为单调函数一般有两种方法：
（1）利用函数单调的定义来证明；
（2）利用导函数来证明.若在该区间上恒有则为单增函数；若在该区间上恒有则为单减函数.
4.6 导数的中值估计
例4.6.1[7]  设在上二次可微, ,则至少存在一点,使得
.
证明  因为函数在与上可导,所以由中值定理有
                  （1）
             （2）
,并整理得
                   ,            （3）
又,且在上二次可微,则分别在与内至少存在与,使
                                      （4）

            （5）
,并整理得
        （6）
将（6）式代入（3）式得

令,则

即
,.
解题方法小结
选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.
4.7 证明函数在区间上的一致连续
例4.7.1  设函数在内连续且可导,有,证明：在内一致连续.
证明  由函数极限的局部有界性知,存在和,使

于是,且不妨设由柯西中值定理,,有

即

故,当,且时,由上面两式得到
于是知在上一致连续,
由于在上连续,所以在上一致连续,
由定理知在内一致连续.
证明函数在区间上的一致连续解题小结：
利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立.
4.8 用来判定级数的敛散性
例4.8.1  设函数在点的某邻域内有二阶连续导数,且,证绝对收敛.
证明  由且在可导,知故在点处的一阶泰勒公式为：
,
因,故
.
取有

由于收敛,由比较判别知绝对收敛.
定理[8]  已知为定义在上的减函数,为定义在上的连续函数,且,.
⑴当极限存在时,正项级数收敛,设其和为,则；
⑵当极限时,正项级数发散.
证明  下面只证定理的前半部分.
因为函数在区间上满足中值定理的条件（其中）,所以在内至少存在使得成立,
又为减函数,故有
.
将上述个不等式相加得
.
令,
则
,（1）
因极限存在,为减函数,从而数列有界,
,
所以数列单调递增且有上界,故极限存在,即级数收敛.从而,
由（1）可得
.
例4.8.2  判定级数是否收敛？若收敛,请估计其和.
解  令,,
则,,故当时,,此时为减函数,又,由定理知级数收敛,
且
,
所以

即
.
判定级数的敛散性的一般解题方法
方法一  一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；
方法二  先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；
5    总结
人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代,对微分中值定理的研究从微积分建立之始就开始了.至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.

 

 

 

 

 

 

参考文献
[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社第三版,2001.
[2]孙清华,孙昊编. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 武汉:华中科技出版社, 2003.
[3]钱吉林.数学分析题解精粹第二版[M]. 武汉: 湖北长江出版集团,2009.
[4]邓乐斌编. 数学分析的理论、方法与技巧[M]. 武汉:华中科技出版社,2005.
[5] 王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报,2005,2：59~61.
[6]贾田田,刘伟伟,霍丽元. 微分中值定理的应用及其在特定条件下问题的思路分析[J].
工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.
[7] 罗群. 微分中值定理及其应用[J].肇庆学院学报,2003,24（5）：31~36.
[8]刘章辉. 微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,2（27）:9~81.

 

 

The Differential Mean-value Theorem and  It’s Application
Zhang Qing-na
(School of mathematics and statistics,Anyang Normal
University, Anyang,Henan 455002)

Abstract: The paper introduces some common methods of using Rolle Theorem ,Lagrange Theorem and Cauchy Theorem of Mean-value ,in which the problems of testify being ,issue of judging convergence or divergence of series and the application of testify inequality or equality and of seeking limit are presend .This article also introduces the application of differential Mean-value Theorems in sloving problems by some examples.

Key  words：continuation ; derivable ; the theorem of differential median ; reply