解放军文职招聘考试牛顿运动定律

                  第2章 质点动力学
在上一章中，我们引入了位矢和速度以描述质点的运动状态，引入了加速度以描述质点运动状态的变化. 那末，是什么使质点运动状态发生变化的呢？其中有些什么规律呢？要回答这些问题，首先需要了解牛顿运动定律(Newton’s laws of motion).
                   2-1 牛顿运动定律
1. 牛顿运动定律
1687年，英国物理学家伊萨克·牛顿(Isaac·Newton,1642-1727)出版了他的代表著作《自然哲学的数学原理》. 在这本书中，牛顿提出了三条运动定律和万有引力定律(universal gravitation law)，奠定了经典力学的理论基础. 牛顿运动定律是在伽利略等牛顿以前的物理学家工作的基础上提出来的，是对大量自然现象进行观察、实验的概括和总结. 牛顿定律提出后，许多物理学工作者对此作了大量研究. 牛顿定律可以表述说明如下.
牛顿第一定律(Newton’s first law)：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使其运动状态改变为止.
例如，实践告诉我们，在长长的水平桌面上运动的小玻璃球会越来越慢，是因为小球受到了阻碍. 如果没有阻碍，小球不会变慢，也不会改变运动方向.
牛顿第一定律告诉我们：(1)任何物体都有保持自身运动状态不变的性质，这种性质叫做惯性(inertia). 物体不同，改变其运动状态的难易程度不同，即惯性的大小不同. 惯性的大小叫做质量(mass). (2)一个物体施加在另一个物体上的能改变其机械运动状态的作用叫做力(force). 力不是维持物体运动状态的原因(运动状态无需维持)而是改变运动状态的原因, 第一定律因而也叫做惯性定律.
惯性无处不在. 有件事使我至今难忘. 那是一个冬天的早晨，我骑着自行车经过路面结冰的十字路口，一部拖拉机突然从我前面十几米的街口横冲了出来.我急忙刹车(忘了冰上不能刹车), 人和自行车倒在了地上，一起向拖拉机冲去. 那时我是多么不想向前去啊! 爬起来后，心想：惯性定律威力真大﹗
牛顿第二定律(Newton’s second law)：物体运动加速度的大小反比于物体质量，正比于物体所受合力(net force)，方向与合力方向相同.
按照牛顿第二定律，质点的加速度
                        .                            (2-1-1)
上式中，是质点所受合力，是质点的质量，是有待实验确定的比例常数. 在国际单位制(SI)中，质量的单位是千克(kg)，力的单位是牛顿(N)，常数=1. 因而，在SI制中，牛顿第二定律的数学表示式通常写作
                             .                          (2-1-2)
上式是质点动力学的基本方程，只适用于可看成质点的物体. 按照上式，加速度与合力方向相同. 在三维直角坐标系中, 第二定律的分量式是
, , ,              (2-1-3)
分别是x,y,z方向上质点所受合力.
牛顿第三定律(Newton’s third law)：作用力(action force)和反作用力(reaction force)大小相等，方向相反，沿着两个物体的联线同时分别作用于两个物体.
牛顿第三定律告诉我们：一物体对另一物体施力的同时必然受到另一物体施加的反作用力，两个力大小相等. 也许会有人问：以卵击石，卵破石不破，怎说石击卵之力等于卵击石之力？答曰：正因为二力大小相等，石坚于卵，故卵破而石不破. 倘若二力大小不等，则有可能石破卵不破，岂不大谬.
学习第三定律，还要注意一对作用力和反作用力与一对平衡力的区别. 一对平衡力也是大小相等、方向相反的，但作用在同一物体上.
关于牛顿定律，有以下两点需要注意：
(1)牛顿三定律是在概括大量事实的基础上提出的原理性结论，不是也不能从其他命题推导出来.
(2)牛顿三定律既相互独立又相互统一. 所谓独立，是说不能从一个定律推出另一个定律. 虽然根据第二定律，合力为零时加速度为零，质点速度不变，但不能据此认为第一定律是第二定律的推论. 因为若不是第一定律给出了质量和力的概念，第二定律是无从谈起的. 所谓统一，是说三条定律是互洽的，从未出现过一个定律适用而另一个定律不适用的情形. 牛顿三定律从定性和定量两方面说明了质量、加速度、力这些概念以及这些概念之间的关系. 牛顿三定律在其适用范围内的正确性已被三百多年来科学研究与生产活动的伟大实践所证明.
2. 惯性系与非惯性系
上一章说过，描述物体运动必须选定参照系. 参照系有两种：惯性系(inertial system)和非惯性系(non-inertial system).
定义: 在某参照系中，若实际观测说明牛顿定律成立，这个参照系就叫做惯性系；否则，叫做非惯性系.
    天文观测说明，太阳是惯性系. 那么，地球是不是惯性系呢？
在沿着水平直轨道匀速前进的列车里，光滑水平桌面上有一静止玻璃球. 所谓光滑，意指摩擦足够小，可以忽略. 实际观测表明，如果除了作用在小球上的重力和与之平衡的桌面支持力以外，若没有其他力作用在小球上，小球保持静止；若有其他力作用在小球上时，小球不再保持静止. 可见，小球的运动符合牛顿定律. 所以，在平直轨道上匀速前进的列车是一个惯性系. 但当列车速度变化时，如驶入弯道或刹车时，虽然没有其他力作用在小球上，小球也不再保持静止，小球的加速度不为零，这与牛顿定律相矛盾. 所以，速度变化时的列车是非惯性系.之所以发生这种情况，是因为列车速度变化时，小球因惯性而保持原来运动状态，使小球相对于车有了加速度. 物体由于惯性而非由于受力具有的相对于参照系的加速度叫做惯性加速度. 物体质量与其惯性加速度的乘积叫做惯性力, 惯性力没有施力体.
按照(1-5-8)式，质点相对于相互作匀速直线运动的两个参照系的加速度相同.因此，如果其中一个参照系对于质点是惯性系，则另一个参照系也是惯性系. 这就是说，相对于惯性系作匀速直线运动的参照系是惯性系. 但是，需要注意的是，“相对于惯性系作匀速直线运动”是判别一个参照系是惯性系的充分条件而不是必要条件，也就是说，相对于惯性系作匀速直线运动的参照系一定是惯性系，但不能说作为惯性系的物体一定作匀速直线运动，也不能说相对于惯性系作变速运动的物体一定不是惯性系. 例如，我们不能因为太阳是惯性系就断言太阳在宇宙空间作匀速直线运动，那是非常荒谬的. 我们也不能因为地球围绕太阳公转同时自转而说地球对于地球上的物体是非惯性系，因为这种说法不符合事实. 事实是，地球上物体的运动服从牛顿定律. 问题是，速度变化时的列车是非惯性系，而地球在公转，同时在自转，其相对于太阳的加速度并不为零，为什么对于地面上和地面附近上空的物体来说却是惯性系呢？原来，和太阳一样，地球的巨大质量使之具有巨大的引力，这巨大的引力足以带动地球上及地球附近的一切物体随之一起加速，不会由于地球作加速运动而使地球上的物体由于惯性而产生相对于地的惯性加速度. 也就是说，地球引力抵消了地球上物体的惯性力. 有谁见过静止于地面上的物体自行升上了天，或者说，物体被转动着的地球甩上了天？从来没有. 与地球不同，列车的引力远不能抵消物体的惯性力，所以加速运动的列车是非惯性系. 可见，一个物体对于另一个物体来说是不是惯性系决定于它们之间引力的大小是否足以抵消可能有的惯性力. 引力要足够大，作用距离必然是有限的, 在这个距离上引力有效地抵消了惯性力. 因此，惯性系必然是局域的. 这样，我们就得到了与爱因斯坦广义相对论一致的结论. 按照广义相对论，引力与惯性力局域等效，在引力场中自由运动的物体是一个局域惯性系. 因此，不论是从经典力学的观点还是从广义相对论的观点看，地球对于地球上的物体是一个局域惯性系. 自然，太阳也是一个局域惯性系.
一般地说，判断一个参考系是不是惯性系，不仅要看运动学特性，而且要看动力学特性，正是动力学特性决定了一个物体是否是惯性系. 一个物体是不是惯性系，最终要通过实际观测来说明.
在非惯性系中，若把惯性力作为一个虚拟的力考虑进来，也可以利用牛顿方程研究物体运动.若无特别说明，本书中涉及的参考系都是惯性系.
3．力学量的单位和量纲
如前所说，在国际单位制（SI）中，质量的单位是千克(kg)，长度的单位是米(m)，时间的单位是秒(s)。质量、长度、时间这三个物理量叫做基本物理量，其单位叫做基本单位, 其他的物理量的单位叫做导出单位.
用基本物理量、、表示物理量的式子叫做物理量的量纲. 如速度或速率的量纲记作[]=，加速度的量纲记作[]=,力的量纲记作[]=，等等. 一个正确的物理学方程的等号两边各项的量纲必定相同，这个性质可用来作为判断物理学方程是否成立的必要条件，但不是充分条件. 量纲分析和数量级估计是常用的两种分析问题的方法.
例题2-1-1 已知质量的物体在惯性系O系中的加速度，求：在相对于O系作匀速直线运动的系中，物体所受合力多大？
解： 在相互作匀速直线运动的两个惯性系O系和系中，同一物体的加速度相同，所以，所受合力也相同，合力的大小是
.                 
例题2-1-2  沿着平直轨道匀速前进的小平板车上有一小物块处于静止状态.当小车以原速率沿水平面上圆轨道作匀速圆运动开始，试分析短时间内物块在以下两种情况下相对于车或地的运动：(1)物块与车之间无摩擦；(2)物块与车面之间的最大静摩擦力大于物块相对于小车的惯性力.
解：(1)若物块与车之间无摩擦，物块因惯性保持原来运动速度，因此，物块相对于地面作匀速直线运动. 物块相对于小车的运动可说明如下：                              
如图2-1-1所示，设时小车过O点并开             y     
始作速率为的逆时针匀速圆运动. 时刻t时小车                  
过B点，物块过A点，图中＝，OA＝，             B    
所以，物块相对于车的位矢                            O      A     x
                                                           
                     C
=,                  图2-1-1
其中              .
轨迹方程是        .
利用, 得轨迹曲线在点的斜率:
 ,
所以，物块相对于车的轨迹曲线如图中弧线OC所示. 物块相对于车的速度是
                   ＝(1-).
上式也可用速度迭加直接得到：                
＝ (+)＝ (1-).
上式中第一个等号右边第一项是物块对地速度，第二项是小车过B点时的对地速度. 物块相对于车的加速度是
 ＝() .
若用加速度迭加直接得到加速度后积分，也可得到速度和位矢.
(2)若物块与车之间的最大静摩擦力大于物块相对于车的惯性力，物块将继续静止于车上，因此，物块相对于地面作匀速圆运动，相对于车保持静止.
 
                         思考题2-1
1.有人说: (1) 只有作匀速直线运动的参照系才是惯性系，而要判断该参照系是否作匀速直线运动，必须先选定一个惯性系作参照系，所以，惯性系无法定义. (2)判定一个参照系是不是惯性系时，只要观测牛顿第二定律在此参照系中是否成立即可，不必观测其他两条定律是否成立. 这两种说法正确否？为什么？
2.对于升降机里的人来说，在什么情况下，升降机是惯性系或非惯性系？
3.大地、太阳为什么是惯性系？银河系中的恒星是否是惯性系？为什么？

                    2-2 常见力和物体受力分析
1．常见力
力有各种各样. 所谓常见力(ordinary forces)包括重力(gravity)、弹力(elastic force )和摩擦力(friction force). 
(1) 重力
万有引力定律：两个相距为，质量分别为和的质点相互吸引力的大小是                      ＝,                         (2-2-1)
其中，万有引力常数＝6.67×10N·m²/kg.
下面说明：重力来自地球对物体的引力，但不等于地球引力.
设地球是一个质量为的球体，如图2-2-1所示，O点为球心，自转角速率为. 质量为的物体对地静止在距离地心为             
的P点。随着地球自转，物体作以点为中心，                 
以为半径的与地同步的匀速圆运动，             P 
向心加速度，向心力是地             
球引力和物体所受的支持力的合力,或者           图2-2-1
说地心引力的一个分力充当向心力，第二个分力与支持力相平衡, 这第二个分力就是重力. 由图可见，重力的方向并不严格指向地心O，其大小

.             (2-2-2)
通常将重力写作：           ,                             (2-2-3)
其中的       .            (2-2-4)
叫做重力加速度. 上式表明，重力加速度的大小随物体到地心的距离r和纬度θ变化. θ＝0或θ＝π时，物体位于地球北极或南极, ，重力加速度最大；时，物体位于赤道，，重力加速度最小. 通常取，从而使一个给定的物体所受重力的大小被看成了常量，同时，重力的方向在不大的空间范围内被认为垂直于水平面. 
(2) 摩擦力
物体都是由分子、分子团组成的，因此，绝对平滑的表面事实上是不存在的.看上去光洁似镜的表面若用高精度仪器观测，总是凹凸不平的. 况且，分子之间的作用力随着它们之间距离变小迅速增大. 所以，当两个物体沿接触面有相对运动或即将有相对运动时，其中一个物体会受到另一个物体施加的沿着接触面阻碍相对运动的力，这个力叫做摩擦力.
两个物体沿接触面即将发生但尚未发生相对运动时的摩擦力叫做静摩擦力(static friction force). 如图2-2-2所示，物体A受到水平向右的力的作用，但仍静止在水平桌面P上. 根据牛顿第二定律，必有桌             
面施于物体上的与力等大反向的力同时作用           A    
在物体上，以使物体A所受合力为零. 这个力就是           图2-2-2
静摩擦力，且有. 可见，在保持物体A静止条件下，随着力增大，静摩擦力也同时增大，直到物体A的加速度不为零时为止. 这就是说，静摩擦力可变，且有一个最大值，这个最大值叫做最大静摩擦力(greatest static friction). 实验表明，最大静摩擦力的大小
                                 ,                        (2-2-5)
其中是静摩擦系数(static friction coefficient)，由接触面的性质决定；是物体A对接触面的垂直压力，通常称为正压力.
两个物体沿接触面相对滑动时的摩擦力叫做滑动摩擦力(slide friction).实验表明，滑动摩擦力的大小与正压力的大小的关系是
                        ,                           (2-2-6)
其中是滑动摩擦系数(sliding friction coefficient)，也由接触面的性质决定. 一般说来，同一对接触面的滑动摩擦系数略小于静摩擦系数.
注意：摩擦力总是阻碍相对运动的，但不能说摩擦力总是阻碍运动. 例如，正是由于与地面之间的摩擦力，人才得以行走. 又例如，传送带上的物体正是因为传送带与箱子之间的摩擦力才得以随着传送带运动.
(3) 弹力
物体受力时发生形变是一种常见现象. 若当力撤去时物体恢复原状，就说物体的形变在弹性限度内. 物体在弹性限度内发生形变时抵抗形变的力叫做弹力.
如图2-2-3所示，弹簧左端固定，右端自由，取其静止位置O点为x轴原点.实验表明，当自由端由于弹簧被压缩或被拉长而发生位移时，弹簧弹力
＝.                          (2-2-7)
上式叫做胡克(Robert，Hooke.1635-1703)定律，  ∽∽∽∽∽∽∽∽
其中是弹簧弹性系数，负号表示弹力与位              O        x
移总是方向相反. 经验告诉我们：同种材料           图2-2-3
同样形状的弹簧，长弹簧比短弹簧容易压缩或拉长，即长弹簧的弹性系数比短弹簧的小.                                 
    若无特别说明，本书中所说的轻弹簧及细绳指不计质量的弹簧和绳子.                             
    2. 物体受力分析                                 
正确分析物体受力情况，画出物体受力图，是求解力学问题的基本方法.所谓受力图，就是如图2-2-2那样，用带箭头的线段表示物体所受力的示意图. 图中箭头所指方向表示力的方向，线段的起点表示力的作用点，较长的线段表示力较大，较短的线段表示力较小.
    画出物体受力图，分析物体受力情况的理论原则是牛顿运动定律，具体方法是隔离体法. 所谓隔离体法就是逐个地画各个物体的受力图，画一个物体的受力图时不管别的物体的受力情况. 画一个物体的受力图时只画该物体受的力, 不多画，不少画，不错画.
例题2-2-1 画出下列各个物体的受力图：
(1)如图2-2-4a所示，质量为m的物块在压力作用下静止于竖直墙面上.试画出物块受力图. 物块所受摩擦力多大？
(2)如图2-2-4b所示，A、B两物体用细绳相连，在拉力作用下沿斜面向上滑动. 画出A、B两物体和细绳的受力图.
(3)如图2-2-4c所示，细绳跨过定滑轮连着质量为和的两物体A、B，系统处于静止状态, 画出两物体受力图. 若不计滑轮质量，物体A所受摩擦力多大？
        
         墙                 A                                 
           m                   B                             
θ                   60°            
               A              B
a                      b                             c     
                           图2-2-4                      
解：
                              
     m               A            B       
                                
            a                                      b          
                                  
                                                 
          A                  B
                                     
                    c                     d
                            图2-2-5
 (1) 如图2-2-5a所示, 物块共受4个力，即压力F，支持力, 重力和摩擦力, 摩擦力的大小.                
(2) 所谓细绳，即忽略绳子质量, 因此绳子上张力的大小处处相等. 物体A共受5个力，即拉力，支持力, 重力，绳子的拉力和摩擦力. 物块B共受4个力, 即绳子拉力，重力和支持力，摩擦力, , 如图2-2-5b所示.                         
(3)物块A共受4个力，即重力，支持力，绳子拉力，摩擦力.如图2-2-5c所示. 物块B共受2个力，即重力和拉力，如图2-2-5d所示.若不计定滑轮质量，物块A所受拉力, 静摩擦力
.
 
思考题2-2
1．一人单腿站立，双手向上拔站在地上的那条腿，但无论用多大的力都没有把自己拔离地面. 试用牛顿定律解释之.
2．有人说，按照牛顿第三定律，马拉车时，车也拉马，用力大小相等方向相反，马车本不能走，但实际上马车却向前走了，可见牛顿第三定律不符合实际.这种说法正确否？为什么？
3.一人站在磅秤上不动时磅秤的指针读数为60公斤. 当他下蹲时，读数变不变？变大还是变小？当他蹲着不动时读数是多少？当他站起时又怎样?
4.重量为G的物体放在电梯地板上. 问：电梯作何运动时，物体对地板的压力等于G、大于G、小于G？
5．火箭竖直上升的加速度等于地球表面重力加速度的二分之一时，舱内弹簧称的读数等于弹簧称下悬挂物体静止在地球表面时的重量. 问：此时火箭距地球表面多高？已知地球半径为6400km.

 

                2-3  牛顿定律的应用
作为经典力学的理论基础，牛顿定律的应用是十分广泛的. 这一节通过一些比较典型的例题，介绍应用牛顿定律分析解决问题的一些基本方法. 牛顿定律的熟练掌握要在较长时间的学习和实践中才能达到.                    
例题2-3-1  如图2-3-1所示，质量为3吨的                  
汽车以速率=18km/hour驶过拱桥. 若拱桥最高                       
处附近路面为半径R＝20m的圆弧，求；车过桥             
最高处时对桥面的压力.                                     
解：如图，车过桥最高处时受到的力是重力            图2-3-1
和桥面的支持力. 按照牛顿第二定律，有            
.                    
其中. 按照牛顿第三定律，车对桥面的压力与桥面对车的支持力大小相等，即           .
可见，桥面受到的压力小于汽车的重量，这正是桥建成拱形的好处.
例题2-3-2  如图2-3-2所示，两物体
的质量分别是,                       
物体与桌平面之间的滑动摩擦系数.   O               x
在水平拉力牵引下，系统从静止            图2-3-2
开始运动. 不计滑轮和绳子质量，求：物体运动的加速度.
解：根据牛顿第二定律和第三定律，对于有
.             
对于有                 .     
且             , , .    
由以上各式得
.                
    例题2-3-3 如图2-3-3所示，小孩乘雪撬从            A         
                              R      
半球形雪山顶点A由静止状态开始下滑. 若不               θ                                                                  
                                                           
计摩擦，小孩和雪撬在距地面多高处脱离雪山             O
腾空？雪山半径为R.                                 图2-3-3   
解：设图示位置为雪撬下滑过程中任一位置，对应的圆心角为θ，小孩和雪撬总质量为m，下滑线速率为，由题可知:
                   -,                       (1)
                    ,                         (2)
                      .                             (3)
对(1)式两边求导，得
                 =2.                (4)
将(2)式、(3)式代入(4)式，整理得
                  =3=3.
积分上式，得             .
θ=0时，，所以      ,
则                      .
脱离雪山，意味着=0，即    =,
所以，雪撬开始腾空的高度是   ==.
例题2-3-4  水蒸汽在高空遇到冷空气凝结成雨. 若雨滴从静止开始下降，5秒钟下降了108米，且空气阻力与其速度大小成正比. 求：雨滴的最大速度.
解：设雨滴质量为m，下降速率，阻力大小为，由题意有
                        ＝.
分离变量，得                ,  
积分， 由于t=0时=0，所以   .
雨滴下落高度          ==.
将=1…代入上式，取前两项，得
=.
因为=108, ，由上式得≈0.07，所以，雨滴的最大速度
.
例题2-3-5  如图2-3-4所示，在水平光滑平面P上有一个质量为的三棱柱，图示为其横截面，斜面倾角为θ. 将一质量为m的滑块轻轻放在棱柱的光滑斜面上，求：(1) 三棱柱相对于平面P的加速度；(2)滑块相对于平面P的加速度；(3)滑块对棱柱斜面的压力.                            
解：如图，滑块对棱柱的压力的水平分力         m       
使棱柱产生相对平面P的加速度：                            P
.             图2-3-4
滑块重力沿斜面的分力使滑块产生相对于平面P的沿斜面的加速度：                             
.
在垂直斜面方向，滑块相对于平面P的加速度是，有关系式
                       ,
上式中的是棱柱对滑块的支持力. 按照牛顿第三定律，有
.
联立以上4式，解得：      ,
,
.
滑块相对于平面P的加速度是 .
加速度与斜面的夹角   .

思考题 2-3
试从上节和本节所举的例题归纳应用牛顿定律求解力学问题的一般方法，谈谈自己的体会.

 

                         习题2
2-1  如图所示, 水平桌面上有两个紧靠着的物体, 水平力作用在左边物体上,试求两物体间的作用力. 已知，，F=15N，两物体与桌面的摩擦系数为0.20.

                                             A                  
             确    
                                                                  B

          题2-1图                               题2-3图
2-2一质量50kg的货物，放在与水平面成的斜面上，货物与斜面的摩擦系数为0.20. 要使货物以的加速度沿斜面上升，需用多大的水平推力？
2-3 如图所示，一个斜面与水平面的夹角为，A和B两物体的质量都是0.20kg，物体A与斜面的摩擦系数为0.40. 求两物体运动时的加速度，以及绳对物体的拉力. 绳与滑轮之间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计.
2-4 一木块能在与水平面成角的斜面上以匀速滑下. 若使它以速率沿此斜面向上滑动, 试证明它沿该斜面向上滑动的距离为.
2-5 如图所示，将质量为10kg的小球挂在倾角光滑斜面上. 问: (1)当斜面以的加速度水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力为多大？(2) 当斜面的加速度至少多大时，小球对斜面的正压力为零.
2-6 如图所示，在水平桌面的一端固定着一只轻定滑轮. 一根细绳跨过定滑轮系在质量为1.0kg的物体A上，另一端系在质量为0.50kg的物体B上. 设物体A与桌面间的摩擦系数为0.20, 求物体A、B的加速度. 绳与滑轮间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计.

 

 

 

              题2-5图                               题2-6图

2-7如图所示，一根细绳跨过一光滑的定滑轮，
绳两端分别悬挂着质量为和的物体，>.
求物体的加速度及绳对物体的拉力. 绳与滑轮间的
摩擦力可以略去不计，绳不伸长，滑轮和绳的质量
也可略去不计.                 
    2-8 如图所示, 重量为和的两物体用跨过         题2-7图
定滑轮的细绳连接，>. 如开始时两物体的高度差为h，求由静止释放后，两物体达到相同高度所需的时间. 不计滑轮和绳的质量及摩擦.
2-9有两块混凝土预制板块放在木板上，甲块质量200kg, 乙块质量100kg.木板被起重机吊起送到高空. 试求在下述两种情况中，木板所受的压力及乙块对甲块的作用力：(1) 匀速上升；(2) 以的加速度上升.

 

 

 

   h

题2-8图                          题2-9图
2-10 一质量为60kg的人乘电梯上楼. 电梯先以的加速度上升, 速率达到后匀速上升. 试求在上述两过程中，人对电梯地板的作用力.
2-11 半径为R的半球形碗内有一粒质量为m的小钢球. 若小钢球以角速度在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
2-12 一根柔软而均匀的链条，长为，单位长度的质量为. 将此链条跨过一无摩擦的轻而小的定滑轮，一边的长度为，另一边的长度为. 现将链条由静止释放，试证明链条的加速度为 .
2-13 气球及载荷的总质量为，以加速度a向上升，问气球的载荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.
2-14  长为的细绳一端系一质量为m的小球, 使小球从悬挂着的位置以初速度为在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动. 用牛顿定律求小球在任意位置时的线速度和绳的张力（不计空气阻力）.  A       O      B
2-15 一质量为m的小球最初位于如图所示                  r
的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面                     C
ADCB下滑. 试求小球过C点的角速度和对圆              D
弧表面的作用力.                                     题2-15图
2-16 质量为m的物体以初速度沿水平方向抛出. 试求在任意时刻作用在物体上的切向力和法向力.
2-17 一质量为10kg的质点在力F=120t+40（N）作用下沿x轴作直线运动.在t=0时，质点位于, 初速度. 求质点在任意时刻的速度和位置.
2-18 如图所示，一斜面的底边长，                     
倾角为. 一个质量为的物体从斜面顶端由静
止开始下滑，摩擦系数为. 问：倾角
多大时物体从斜面顶端滑到底端的时间最短，这            
个时间是多少？                                      题2-18图
2-19一质量为m的物体，最初静止于处. 在力的作用下沿直线运动，试证它在x处的速度为 .
2-20 初速度为、质量为m的物体在水平面内运动，所受阻力的大小正比于质点速率的平方根，求物体从开始运动到停止所需的时间.
2-21 作用在质量为m的物体上的合力是 ，其中和k都是恒量，t是时间，求物体的加速度，并用积分法求出速度和位置方程. 已知时，，.
    2-22 质量的物体以初速度=由地面竖直上抛 ，空气阻力. 求物体上升的最大高度和所用的时间.
    2-23 质量为的物体以初速度由地面竖直上抛 ，空气阻力是常数. 求：物体上升的最大高度和回到地面所用的时间.
    2-24 一个半径为的圆环固定在水平桌面上，一个物体紧贴着圆环内表面运动，滑动摩擦系数为. 若物体初速率为，问：(1)时刻物体速率是多少? (2) 什么时候物体速率等于? 此时的路程是多少?
2-25 一个箱子静止在行驶的卡车上，箱子到前面挡板的距离为，与车之间的摩擦系数为. 若刹车时车的加速度为, 箱子碰到挡板时相对车的速度是多少?
    2-26 一个电梯以加速度由地面开始上升，两个质量为和的物体用一根细绳连着跨过固定在电梯天花板上的一个定滑轮，>. 忽略滑轮质量及其与细绳之间的摩擦，求两个物体相对于地的加速度和绳子的张力.