解放军文职招聘考试质点动力学试题2

 2-12  小球在外力作用下，由静止开始从点出发作匀加速直线运动，到达点时撤消外力，小球无摩擦地冲上竖直的半径为的半圆环，达到最高点时恰能维持在圆环上作圆周运动，并以此速度抛出而刚好落回原来的出发点处，如图所示，试求：
（1）小球在段运动的加速度大小；
（2）小球又落到点前的瞬时，切向加速度的大小。
分析  小球在点恰能维持圆周运动，重力提供向心力，由此求得；段机械能守恒，由求得，段小球平抛运动，可求到的水平距离，即。进一步可由，求段小球运动的加速度。小球落到点，其在点加速度为重力加速度，其在切向方向的投影即为。
 解  （1）小球达到最高点时，恰能维持圆周运动，因而有
    
    
在段，小球只受重力作功，根据机械能守恒定律，有
    
得
    
小球在段作平抛运动，因而有
      
所以段长为
    
在段，小球作匀加速度运动，因而有
    
小球在段的加速度为
    
（2）小球落到点瞬时速度的水平、竖直分量分别为
    
    
因而瞬时速度大小为
    
小球做平抛运动，落到点的加速度即为重力加速度，其方向垂直向下，切向方向
    
因而切向加速度大小为
    
说明  本题综合运用了运动学规律，牛顿运动定律、机械能守恒定律。求解本题关键在于分析清楚小球在各段的规律。另外，注意理解小球平抛落到点的切向加速度为重力加速度沿切向的分量。
2-13  如图所示，一链静止跨于一光滑圆柱上，圆柱轴为水平，链长为圆柱周长的一半。若轻微扰动，试求当链滑过长为的一段时的速度（为圆柱体的半径）。
分析  链滑动时，只有重力作功，机械有守恒，由机械能守恒就可求解。
解  设链的线密度为，建立坐标如图，取过圆柱中心的水平面为重力势能零点，链滑动前，其势能为
    
其中，，因此有

当链滑过长度时，因链各部分速度相同，其动能为
    
此时其势能为
    
      
      
      
链滑动过程中，只有重力作功，机械能守恒，因此有
    
解之得此时链的速度为
    
 说明  链受重力和圆柱面支持力作用，支持力不作功，因此机械能守恒。在用机械能守恒求解本题时，链各个质元速度相同，因此链的动能为其质量乘以速度平方的二分一，而因各个质元所处位置的不同，各个质元的势能却不同，因此要采用积分求链的势能，这是解本题的难点。
2-14  如图，两块薄板中间用一轻弹簧连接，已知两板质量、，系统原来静止在水平面上（弹簧与水平面垂直），求至少应加多大压力，才能使当撤消后，刚好被提起。
 分析  在板压下后再弹起过程中，在弹簧伸长到原长之前，板受弹簧向下的弹性力作用，当弹簧伸到比原长长时，板开始受向上弹性力作用，此力随弹簧伸长而增大，当增大到（如图）时，板被提起，而此时弹簧伸长的伸长量与初始时加在板上的压力有关，整个过程机械能守恒，由此可求解力。
解  如图所示，设加压力后弹簧压缩量为，弹簧倔强系数为，而静止，由牛顿第二定律有
               (1)
取、，弹簧及地球为一系统，在撤去外力回跳过程中，只有保守力作功，机械能守恒，选取弹簧具有自然长度时，弹性势能为零，并选此时弹簧顶端所在高度为重力势能零点，设回跳后，弹簧最大伸长为，则由机械能守恒有
        (2)
将（1）式代入（2）得
    
展开，经整理后可得
          (3)
若需将提起，则应有，将此不等式代入方程（3），有
    
由此解得
    
所以
    
压力至少应为方能使撤消后提起。此结果对互换、无关，同时与弹簧倔强系数k无关。
说明  在本题中，系统只受重力、弹簧弹性力这两个保守力作用，机械能守恒。弹簧弹性势能零点选在弹簧原长处，这样弹簧弹性势能为（为弹簧伸长量）。另外，应注意将提起所满足的条件。
 2-15  质量为的木块放置在光滑水平桌面上，质量为，速度为的子弹水平射入木块，子弹在木块内经距离相对于木块静止，此时木块向前滑动了一段距离。如图所示。假设木块相对于子弹的阻力是恒定不变的，则子弹相对于木块静止时，求子弹与木块一起运动的速度及木块滑动的距离L。
分析  子弹射入木块的过程动量守恒，由此求共同速度，从子弹射入到子弹相对木块静止的过程中子弹在阻力作用下，速度从变为，同时，木块在的反作用力作用下，速度从0变为，因而对子弹木块分别应用动能定理即可求解。
解  子弹和木块构成的系统在水平方向不受外力作用，其动量守恒，设子弹相对木块静止时，其速度为，由动量守恒
    
得
               (1)
设子弹和木块之间的作用力为，依题意此力为一恒力。对木块，在整个过程中，外力对其作的功为，根据动能定理
                (2)
对子弹，在整个过程中，外力对其作的功为，根据动能定理
            (3)
将（1）式代入到（2）、（3）式中，联立（2）、（3）式可解得
     
说明  从本题（1）、（2）、（3）式可看出：系统的内力不改变系统的动量而可以改变系统的机械能。结合动量守恒和动能定理就可求解本题。在运用动能定理时，要正确分析子弹和木块在整个过程中各力作功情况，例如对于木块，子弹对其作的功为，对于子弹，木块对其作的功则为。
 2-16  如图，一半径为的铅直圆轨道，在轨道最低点处，一小球沿该圆平面内的水平方向以速度射出，并循圆周轨道运动到点离开，而后作抛物线运动并通过圆轨道的中心，求速度。
分析  小球在点脱离圆轨道，其后作斜抛运动过点。根据小球在点脱离圆周轨道的条件，即轨道对小球的作用及斜抛运动过点可求出点位置及小球在点的速度。过程机械能守恒，进而可求点速度。
解  设小球在点的速度为，小球在点受重力，轨道对其作用力。建立坐标如图，沿法向方向，根据牛顿定律，有
    
小球在点脱离轨道，脱离轨道的条件为，因此
    
从而
               (1)
小球在点脱离轨道后，作斜抛运动，因而其运动学方程为
    
    
要使小球作抛物线运动过中心点，则
    
    
即
             (2)
           (3)
由（2）、（3）式消去得
              (4)
由（1）、（4）式可得
    
因此
                (5)
小球从点运动到点，只有重力作功，机械能守恒，因此
    
由此解得小球在点的速度
    
将（4）式、（5）式代入可得
    
说明  本题综合性很强。应用了机械能守恒定律，牛顿运动定律及运动学规律。段只有重力作功，机械能守恒。同时需注意小球脱离轨道的条件。
 2-17  在地球表面上垂直向上以第二宇宙速度发射一物体，为地球半径，为重力加速度，试求此物体到达与地心相距为时所需的时间。
分析  根据机械能守恒可求物体速度与其距地心距离的关系。而速度，积分即可求时间。
解  设物体运动到距地心时其速度为，在此过程中机械能守恒
    
其中为地球质量
因为
    
则
    
因而
    
    
分离变量后，积分上式
    
得
    
说明  本题是机械能守恒定律的应用。物体只受地球万有引力作用，机械能守恒。需要注意由已知条件可得，从而使方程得到简化。
2-18  假设地球为质量均匀分布的球体，计算必须供给多少能量才能把地球完全拆散（用万有引力恒量，地球质量，地球半径表示）。
 分析  假定我们把地球逐层拆散，每次移走一层厚的球壳，把这层球壳搬到无穷远所用的能量为这壳层与其余部分之间引力势能。拆散地球所需最小能量即为所有引力势能之和。
 解  半径为厚度为的球壳所具有的引力势能为
    
其中，，为地球密度，因此，将这球壳搬到无穷远所需的能量为
    
因此将地球完全拆散所需的总能量为
    
将代入并积分得
    
 说明  理解把地球拆散所须供给的能量至少应等于地球系统引力势能是解本题的前提，而写出球壳所具有的引力势能是解本题的关键。
 2-19  如图所示，弹簧倔强系数为，质量为的物体与桌面接触，其摩擦系数为。若以不变的水平力拉物体，则物体自平衡位置开始运动，试求物体到达最远时系统的势能和物体在运动过程中的最大动能。
分析  物体受恒力F，摩擦力，弹簧弹性力作用。当时，物体向右变加速运动，当，也就是物体加速度时，此时物体有最大速度，此后物体变减速运动，直到物体速度时，为物体所能达到的最大位移。通过以上分析，分别由牛顿定律及动能定理求解。
解  设物体到最远时的位移为，此时其速度为零，根据动能定理
    
解得 
   
因此，物体到达最远时系统的势能为
    
分析物体受力，在任意位置时，根据牛顿定律
    
当加速度时，物体达到最大速度，此时
    
由此可知，当弹簧从自然长度拉伸到位置时，动能为最大值，由动能定理得
    
从而
    
说明  本题由动能定理求解，有两点是解本题的关键。（1）物体达到最大位移时，其速度为零，而不是合力为零；（2）当物体加速度时，物体达到最大速度。
 2-20  传送机通过滑道将长为，质量为的柔软匀质物体以初速向右送上水平台，物体前端在台面上滑动距离后停下来，如图。已知滑道上的摩擦可不计，物与台面间的摩擦系数为，而，试计算物体的初速度。
 分析  这是一个涉及到变力作功的问题。物体在滑道上不受摩擦力作用，送上了平台，就会受到摩擦力作用。在物体完全滑上台面上前，因其是柔软匀质的，它对台面的压力可以认为与滑上台面的质量成正比。由此计算摩擦力及其作功，根据动能定理即可求解。
 解  物体完全滑上台面之前，其所受摩擦力是变化，只有完全滑上台面之后，其所受摩擦力为常数量，因此
    
其中为物体前端的坐标。
 物体滑动S距离，摩擦力作功为
    
     
     
对物体，根据动能定理
     
解得物体的初速度  
说明  本题是动能定理的应用，在计算摩擦力的功时，因其是变化的，所以要分段计算，就是本题的把摩擦力分为段和段。这是解本题的关键。
 2-21  如图所示。劲度系数为的弹簧下端竖直悬挂着两个物体，质量分别为和，达到平衡后，突然撤去，试求运动的最大速度。
分析  、弹簧、地球系统机械能守恒，当系统势能最小时，具有最大动能。
解  取弹簧原长处为坐标原点，建立坐标如图所示，取坐标原点处为重力势能和弹性势能零点。撤去后，和弹簧在任一时刻的势能为
              (1)
当为最小值时
    
即

解得势能为最小值时的位置
                (2)
当撤去后，和弹簧的势能为最小值时，具有最大动能，从而具有最大速度，此时的机械能为

由（1）式知

因此
        (3)
而撤去后，、弹簧系统的机械能守恒，、弹簧在撤去初始时的机械能为 
  （为悬挂和静平衡时，弹簧的伸长）
     
                  (4)
由（3）、（4）式可得
    
将（2）式代入上式，解得的最大速度为
    
说明  重力和弹簧弹性力都是保守力，因此系统机械能守恒。另外需注意的是，当系统势能最小时对应于具有最大动能，从而具有最大速度。
 2-22  如图所示，长为的细杆顶端固定一小重球，竖直倒置在粗糙的水平地面上，小球处于不稳定的平衡状态，稍有扰动，小球将从静止开始向下跌落，假设细杆很轻，其质量可略，试求小球碰地时速度的水平分量和竖直分量。
分析  小球初始作以为圆心的圆周运动直到某一位置，随后作斜抛运动。认清这一点，就可由作圆周运动时的牛顿定律，机械能守恒，利用脱离圆周运时细杆受支撑力得到小球脱离圆周运动时的位置（由角表示）、速度。此后过程中因小球作抛体运动，其碰地时的速度的水平分量和竖直分量就不难求出。
解  小球的运动分为两个阶段。第一阶段：因地面粗糙，细杆下端无滑动，小球受约束做以为圆心，为半径的圆周运动。第二阶段：当小球运动到，时，细杆所受支持力，细杆脱离地面，因细杆质量忽略不计，此后小球作抛体运动。当小球作圆周运动时，由牛顿定律，有
    
小球作圆周运动时，机械能守恒，因而有
    
当时，小球脱离圆周运动，此时有
    
    
解以上两式得小球脱离圆周运动时细杆与轴夹角为
    
速度
    
小球脱离圆周运动后，作抛体运动，其到达地面时的速度为，由机械能守恒可得
    
由此得

因小球作抛体运动，其速度水平分量不变，因此有
    
从而其速度的竖直分量为
    
说明  本题关键在于分析清楚小球的运动过程，小球先作圆周运动，其脱离圆周运动的条件为细杆所受支持力，脱离圆周运动后作抛体运动，结合两种运动的特性就可方便求解本题。
2-23  在水平面内，速度为的水流沿两平面间流去，遇到一平面挡板后分为左、右两路支流，支流速率仍为，如图（a），设挡板表面光滑，水从两平面间流出的总流量（单位时间流过横截面的水的质量）。水流速度与挡板法线夹角为。试求水流对挡板的作用力及左右两支流各自的流量。
分析  本题是动量定理及动量守恒定律的应用。在竖直方向对水流应用动量定理可求作用力，在水平方向水流不受外力，动量守恒，应用动量守恒定律和两支流流量之和等于总流量关系可求解两支流的流量。
解  取坐标系如图(b)，设内有的水冲击在挡板上，挡板对的作用力为，方向垂直挡板，沿y轴负向。在垂直方向由动量定理有
    
    
由牛顿定律，水流对挡板作用力大小，方向垂直挡板向下。设内左右两支流流过横截面的水的质量分别为，，因水流在水平方向不受外力作用，故水平方向上动量守恒，因此有
    
    
又因
   
故有 
   

说明  求解本题需注意（1）研究对象的选取，即取时间内流过的水为研究对象；（2）水流受挡板的作用力因挡板光滑垂直于挡板；（3）质量守恒，即题中的。
2-24  在水平光滑的固定平面上，有一质量可以忽略的弹性细绳，绳的一端固定在平面上，另一端系一质量的小球，绳的自然长度为，劲度系数，当绳的伸长量为时，给小球一初速度，的方向与绳垂直，使小球在平面上运动，如图所示，则当弹性绳收缩到原长时，求小球的速度大小及与绳的夹角。
分析  小球、弹性细绳组成的系统机械能守恒由此可求小球速度的大小。小球受弹性细绳弹性力方向总是指向点，因此小球对点角动量守恒。由角动量守恒定律可求得小球速度的方向。
解  小球与弹性绳组成的系统机械能守恒，取弹性绳原长时为弹性势能零点，因而
    
解得
    
小球运动过程中，受有心力作用，因而其角动量守恒，即
    
从而
    
 说明  物体在有心力作用下运动，对于力心物体的角动量守恒，同时，此有心力又为保守力，系统不受非保守力作用，因此系统机械能守恒。
2-25  由可以看作非弹性体的金属小环组成的均质链条，堆放在光滑的水平桌面上（其堆放体的体积可忽略不计），它的一端从光滑的小孔中由静止自由下落，没有进入小孔的链条在桌面上保持静止，某时刻，链条下落长度为，试求此时，下落链条对即将下落部分的作用力（链条线密度为）。
 分析  取时刻，时间内即将下落链条为研究对象，由动量定理可求作用力与速度的关系，即。取下落长度的链条为研究对象，由牛顿定律可求速度和链条下落长度关系，即，结合两者可得。
 解  如图所示，设在时刻有长度的链条下落，在时间内，有链条下落，其在时间内动量变化为，根据动量定理有
    
从而
            (1)
对下落长度的链条，根据牛顿定律
              (2)
    
即
    
两边乘以整理得
    
积分上式
    
    
即
            (3)
将（3）式代入（1）式得
    
说明  本题关键在于研究对象的选取，取时间内即将下降的链条为研究对象和取已下落长度的链条为研究对象。另外，将代入题中（2）式，（2）式也可写成，此即为变质量的牛顿定律方程。读者体会一下此变质量的牛顿定律方程同题中（2）式的不同与相同之处。
2-26  一火箭铅直向上发射，它每秒钟排出的气体质量为，其中是火箭最初的质量，火箭排出的气体相对于火箭的速率为，求发射后火箭的速度和高度。
分析  火箭喷射气体时，火箭的质量和速度均在不断变化。今取固定于地面（惯性系）的坐标轴，取轴铅直向上，在时刻，火箭质量为，沿轴相对地面以速度铅直向上运动，经过时间，火箭喷出了质量为（为负值）的气体，使火箭的速度变为，此时喷出气体相对地面的速度由速度变换知为（为喷出气体相对火箭的速度）。取时刻火箭，时间喷出的气体为研究系统。由及相对地面的速度，可建立铅直方向上的动量守恒方程。在初始条件，下积分可得速度与质量的关系。考虑到质量随时间的变化，由与关系积分不难求出高度与时间的关系。
解  在时刻，质量为的火箭，沿轴的总动量为；在时刻，质量为的火箭和质量为的气体的总动量为 。忽略重力，由动量守恒有
    
化简上式得
    
当时，，对上式积分得
                (1)
火箭发射后其质量为
       (2)
因此，火箭发射后的速率为
   
由（1）式知
    
    
令
则
    
从而
    
            (3)
将，代入（3）式，即得后火箭的高度
    
说明  系统在竖直方向上其内力远大于外力（重力），系统竖直方向动量守恒。在分别写出系统在时刻和时刻的动量中，因为动量守恒在惯性系中成立，因此要通过速度变换给出在地面参考系中的速度，进而给出在地面参考系的动量。同时，应注意为负值这一点，因为到时刻，火箭在喷出气体。
 2-27  三艘质量均为的小船鱼贯而行，在静止的水平面上以相同速率沿相同方向作直线运动。若中间的那艘船以相对于船的速率分别同时向前、后两船抛出质量为的物体，这两个物体分别落在前、后两艘船上，忽略水的阻力，试求物体落到船上后，三艘船的速率各为多少？
 分析  以第1船和向它抛来的物体为系统，系统动量守恒，1船和物体的动量分别为和。物体落到船上后，系统动量为，由动量守恒即可求第1艘船速率。同样方法可求第2、3船速率。
解  取船前进的方向向右为正，建立坐标如图所示，在第1艘船和向它抛来的物体的系统中，因其水平方向受外力为零，动量守恒。注意到以静止的水面为参考系，物体落到第1艘船前，系统的动量为，其中是物体的动量，因此
    
解得物体落到第1艘船后，其速度为
    
同样，对第3艘船，由动量守恒
    
解得
    
对第2艘船，取其和两个抛出的物体作为系统，系统在抛出物体前的动量为，抛出物体后船的动量为。向前和向后抛出的两物体的动量分别为和，在运动方向动量守恒，因此
    
解得抛出物体后，第2艘船的速率为
    
说明  本题是动量守恒定律的应用。需注意的是物体相对地面的速度是和。因此，其相对地面的动量为和。另外需注意的是第2艘船总质量中包括了两物体的质量。
2-28  水平细杆上穿一质量为的小环，长的细绳之一端系于环上，另一端挂一质量为的小球。用手将小球拉到水平杆的高度，并将绳拉直，然后将小球自静止释放，若不计摩擦，求
（1）小球下落时，水平杆与绳成角的瞬时，小环沿杆滑行的距离。
（2）求此时绳的角速度。
分析  、组成的系统，水平方向不受外力作用，系统在水平方向动量守恒，同时没有耗散力作功，系统机械能守恒。水平运动，既有同一起的运动，还有相对的运动，其相对运动为以为圆心的圆周运动，相对运动速度为。水平运动速度为，则相对地面速度在水平方向分量为，由此即可根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解。
解  （1）取小环、细绳和小球为一系统，小环始发位置为坐标原点沿水平杆方向建立坐标如图，系统初始水平方向动量为零，根据水平方向动量守恒，有
    
即
    
根据与的关系，即，积分上式
    
而即为此时小环沿杆滑行的距离，因此
    
即
    
 （2）小环、细绳、小球组成的系统只有重力作功，机械能守恒
    
由（1）问知

将此代入上式得此时绳的角速度
    
说明  本题综合动量守恒和机械能守恒求解，这其中的关键在于写出相对地面参考系的速度（因为动量守恒和机械能守恒只对惯性系成立），因此引入了相对的速度，由于相对作圆周运动，因此其相对地面速度水平、竖直分量分别为，，同时，由此就可同已知条件的角相联系，这也是引入的一个原因。
 2-29  如图将一块长为，质量为的平板放在弹性系数为的弹簧上，现有一质量为的小球放在一光滑的桌面上，桌面与平板的垂直高度为，现给小球以一个水平初速，不计所有摩擦力和弹簧质量，已知，小球与平板的碰撞为弹性碰撞，求
 （1）弹簧的最大压缩量是多少？
（2）如果要使小球与板有一次而且只有一次碰撞，则应在什么范围内。
分析  和板系统碰撞过程中动量守恒，由此可求板碰后的速率。板、弹簧、地球系统机械能守恒，当速率为零时，弹簧有最大压缩量，由此求得。与板发生碰撞要求（为平抛运动落到板的时间），只有一次碰撞要求（为与板两次碰撞之间所用时间）。、由作抛物体运动不难求出。
解  （1）小球与平板碰撞前作平抛运动，其到达平板时其速度的水平，竖直分量分别为
            (1)
小球和平板组成系统在竖直方向上因其碰撞内力远大于外力重力，竖直方向动量守恒，因此
              (2)
其中为碰撞后木板的速度，为碰撞后小球速度在竖直方向上的分量。小球碰撞后，速度在水平方向上的分量仍为，小球、平板碰撞为弹性碰撞，动能守恒，因此
         (3)
结合（1）、（2）、（3）式且解得
              (4)
     （负号表示方向竖直向上）   (5)
碰撞后，平板、弹簧、地球组成系统机械能守恒，取弹簧原长处为弹性势能、重力势能零点。弹簧最大压缩所对应的是平板动能为零，因此
       (6)
其中为平板初始位置时弹簧的压缩量，即，解（6）式可得弹簧的最大压缩量为
    
 （2）小球从桌面到和平板相碰撞，平抛运动所需时间为
    
 小球与木板要发生碰撞必须满足，即
    
小球与平板发生碰撞后作斜抛运动，其再次落到平板所需时间可由下式求得
    
因此
    
要使小球与平板仅碰撞一次，则
     
即
    
将、代入求得
    
因此小球与板有一次且只有一次碰撞的范围为
    
说明  这是一个综合运用动量守恒、机械能守恒定律题目。虽然和组成的系统在竖直方向所受合外力不为零，但因其远小于内力，故系统动量定恒，这是此类碰撞问题通常采用的方法。另外，在应用机械能守恒定律时，重力势能零点可任意选取，但只有当弹簧弹性势能零点选在原长处时，其势能才可写成形式。
2-30  如图质量为和的二滑块，分别穿于二平行水平光滑导杆上，二导杆间的距离为。再以一弹性系数为，自然长度为的轻弹簧连结。设开始时位于处，位于处，且其速度均为零，试求释放后两滑块的最大速度。
分析  、系统水平方向动量守恒，同时机械能守恒，由此可求、速度，弹簧弹性势能为零时，可求、最大速度，。
解  取、弹簧为一系统，该系统在方向所受合外力为零，因而其在方向动量守恒，因此有
               (1)
由题意，初始时刻弹簧的伸长为，因而其弹性势能为
             (2)
当势能全部转化为动能时，二滑块的速度最大，由机械能守恒有
        (3)
由（1）、（3）可求得二滑块的最大速度大小为
     
    
说明  和组成系统虽被约束在导杆上，但其水平方向受力为零，水平方向动量守恒；、、弹簧、地球组成的系统只受保守力作用，机械能守恒；当弹簧弹性势能全部转化成动能时，、具有最大速度。
2-31  一粒子在远处以速度射向一重原子核，瞄准距离（重原子核到直线的距离）为（如图），重原子核所带电量为，求粒子被散射的角度（即它离开重原子核时的速度的方向偏离的角度）。
分析  粒子在整个散射过程中对点角动量守恒，由此可得角（如图）与时间的微分关系。在方向应用牛顿定律可得与时间微分关系，结合两者可得与微分关系，初始入射时，速度为，，散射后，粒子速度恢复到，，积分即可求散射角。
解  重原子核质量远大于粒子质量，因此在整个散射过程中可认为重原子核静止于实验室不动，以其为坐标原点建立坐标如图所示。粒子在整个过程中受静电力作用，其为
    
此力始终指向重原子核，为一有心力，因此，粒子对坐标原点角动量守恒，根据角动量守恒，有
    
其中，所以
               (1)
在方向，根据牛顿定律（如图），有
    
其中，所以
            (2)
（1）、（2）式相乘得
    
即
        (3)
初时，粒子从远处入射，此时，，末状态，粒子重又到远处时，此时，其中为粒子被散射的角度，在整个过程，因静电力是保守力，机械能守恒，而重原子核又认为静止不动，因此粒子重又到远处时，其速度大小仍为，所以末状态时，将以上条件代入（3）式积分
    
得
    
化简上式得
    
即

说明  粒子在整个过程始终受有心力作用，因此对原点角动量守恒。同时粒子受平方反比力的作用，机械能守恒，这就使得粒子在离开重核到远处时，速度恢复到，即。
三、习题
 2.1  以初速度竖直向上抛出一质量为的小球，小球除受重力外，还受一个大小为的粘滞阻力（为常数，为小球运动的速度大小），当小球回到初发点时，它的速度大小为多少？
 2.2  一根弹性细绳原长为，劲度系数为，将其一端固定，另一端穿过光滑小孔O系在一质量为的滑块上，放在水平地面上。小孔O离绳固定端的竖直距离为，离水平地面高度为。滑块与水平地面间的静摩擦系数为，试求滑块静止时，可处于什么样的位置？
 2.3  如图所示，一条质量为，长为的匀质链条，放在一光滑的水平桌面上，链条的一端有极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况下，链条刚离开桌面时的速度，（1）在刚开始下落时，链条为一直线形式，（2）在刚开始下落时，链条盘在桌子的边缘。假定在链条末脱离桌面的那一部分的速度一直保持为零。此外，解释上述两种情况下速度不同的原因。
 2.4  质量为M的楔B，置于光滑水平面上，质量为的物体A沿楔的光滑斜面自由下滑，如图。试求楔相对地面的加速度和物体A相对楔的加速度。
 2.5  用细绳悬挂着一质量为M的圆环，环上套有两个质量都为的小圆环（视为质点），它们在环上无摩擦地滑动，开始让两小圆环从悬线两侧无初速地滑动，试证明只有当时，细线中的张力才有可能为零。
 2.6  一质量为的夹子，以压力夹着质量为的木板，已知夹子与木板间的摩擦系数，问以多大的力往上拉时，才会使木板脱离夹子。
 2.7  一桶水以匀角速度绕沿铅直的桶轴旋转，试证明当水与水桶相对静止时，桶内水的自由表面形状是一旋转抛物面。
 2.8  水平的木板上放着一个质量为的物体，它们之间的静摩擦系数为，今用手拿着木板使它在竖直平面内作速率，半径为R的匀速圆周运动，同时保持木板的水平方位，求（1）当木板与圆心之连线与铅垂线成角时，物体与木板之间的相互作用力（设此时物体在木板上不打滑），（2）要使物体不打滑地跟着作圆周运动，速度应有何限制。
 2.9  一条质量为，长为的均质链条，放在一光滑的水平桌面上，如图所示。当链条下端在桌面处时，在重力作用下开始下落。试求链条另一端恰好离开桌面时链条的速度。
 2.10  如图所示，小车从点自静止开始，沿路径运动，其中，半径为R的环形路径内的段为一缺口，而，不计摩擦。问当高度为若干时，小车才能越过缺口循上述路径运动？又问要使值为最小，角为几度？
 2.11  如图所示，有一倔强系数为的弹簧，放在倾角为的斜面上，一端固定，另一端联结一质量为的物体，物体与斜面间的摩擦系数为，已知当弹簧为原长时，物体具有速度，问此后在物体移动距离的过程中，① 摩擦力做多少功？② 作用在物体上的弹性力做多少功？③ 作用在物体上的其它力做多少功？④ 对物体做的总功是多少？⑤ 若已知、、、及，求的最大值。
 2.12  质量为5.6g的子弹A，以501m/s的速度水平地射入一静止在水平面上的质量为2kg的木块B内，A射入B后，B向前移动了50cm后而停止，求
 （1）B与水平面间的摩擦系数。
 （2）木块对子弹所作的功。
 （3）子弹对木块所作的功。
 （4）与的大小是否相等？为什么？
 2.13  有一种说法认为地球上的一次灾难性物种（如恐龙）绝灭是由于6500万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小行星的半径是10km，密度为（和地球一样），它撞入地球将释放多少引力势能？
 2.14  航天器绕地球沿地表运动所需的速度称为第一宇宙速度，它脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，它脱离太阳系所需的最小速度称为第三宇宙速度，设地球的半径为，地球绕太阳的公转速度为。试计算、和。 
 2.15  一底面积的地下室，积水深度，今用一抽水泵将水抽到地面上的排水沟中，排水沟相对地下室中的水面高出，求在20分钟内抽完这些积水需作功多少？需选用多大功率的抽水泵？水的密度。
 2.16  如图所示，把质量的小球放在位置A时，使弹簧被压缩了，然后在弹簧弹性力作用下，小球从位置A由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动，小球与轨道间的摩擦不计，已知BCD为半径的圆弧，求弹簧劲度系数的最小值。
 2.17  如图，在图的右边有两个间隔很小的球，最初它们都处于静止状态，现在左边有一个球以速率射来。假设碰撞是正碰撞，并且是弹性碰撞。（1）如果，试证有两次碰撞发生并求出所有最后速度。（2）如果，试证有三次碰撞发生并求出所有最后速度。
2.18  如图，两部运水的卡车A、B在水平面上向同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽到A上，水从管子尾部出口竖直落下，车与地面间的摩擦不计，在时刻，A的质量为，速度为，求时刻A的瞬时加速度。
 2.19  如图所示，一根质量为，长度为的链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与秤盘接触。今将链条释放，并让它落到秤盘上，当链条下落长度为时，试求秤的读数是多少？
 2.20  一质量为具有半球形凹面的物体静止在光滑水平桌面上，如图所示，凹球面的半径为，其表面也是光滑的。今在凹面的上缘处放置一质量为的小球，释放后小球下滑，试求当小球下降至最低处时，物体对小球的作用力。
 2.21  一质量为的木块以的速率沿光滑水平桌面滑行，在其正前方，有一质量的木块以的速率沿相同方向运动，并有一倔强系数的轻弹簧固定在背后，试求两木块碰撞时，弹簧的最大压缩长度为多少？
 2.22  如图所示，一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为，停在光滑水平面上，另一质量为的小物体由圆弧顶点由静止下滑。试求小物体滑到底时，大物体在水平面上移动的距离。
 2.23  一辆停在直轨道上质量为的平板车上站着两个人，当他们从车上沿水平同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人的质量相同，均为，跳下时相对于车的速度也相同均为。试求在下列两种情况下车所获得的速度的大小。（1）两人同时跳下；（2）两人依次跳下。
 2.24  一质量为的粒子，由无限远处以速度射向具有平方反比排斥力（大小为，为正常数）的固定中心。如果粒子不偏转，粒子距离固定中心的最短距离为，试求粒子与固定点的最短距离。