解放军文职招聘考试第5章 抽样分布

 第5章   抽样分布
学习目标：
1、区分总体分布、样本分布、抽样分布
2、理解抽样分布与总体分布的关系
3、掌握单总体参数推断时样本统计量的分布
4、掌握双总体参数推断时样本统计量的分布
§5.1   三种不同性质的分布
一、总体分布
1、总体中各元素的观察值所形成的分布
2、分布通常是未知的
3、可以假定它服从某种分布
二、样本分布
1、一个样本中各观察值的分布
2、也称经验分布
3、当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布
三、抽样分布
1、样本统计量的概率分布
2、是一种理论概率分布
3、随机变量是样本统计量：样本均值, 样本比例，样本方差等
4、结果来自容量相同的所有可能样本
5、提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

§5.2   样本统计量的抽样分布(一个总体参数推断时)
一、样本均值的抽样分布
1、含义：容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布；一种理论概率分布；进行推断总体总体均值的理论基础。例：设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下
总体分布：
第一个观察值 表1：第二个观察值
 1 2 3 4
1 1.1 1.2 1.3 1.4
2 2.1 2.2 2.3 2.4
3 3.1 3.2 3.3 3.4
4 4.1 4.2 4.3 4.4
均值和方差：，。现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为表1：
计算出各样本的均值，如表2。并给出样本均值的抽样分布
第一个观察值 表2：第二个观察值
 1 2 3 4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0

 

 

 

2、样本均值的分布（抽样分布）与总体分布的比较：
3、样本均值的抽样分布与中心极限定理：当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)。
总体分布：                                               抽样分布：

 

 

中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
样本均值的抽样分布(数学期望与方差)：样本均值的数学期望，
样本均值的方差：重复抽样 ；不重复抽样
4、均值的抽样标准误差：所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度；小于总体标准差。计算公式为
二、样本比率的抽样分布
1、比率：总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。例：同性别的人与全部人数之比，合格品(或不合格品)与全部产品总数之比。
总体比例：，样本比例可表示为：
2、样本比率的抽样分布：
容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布；当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似；一种理论概率分布；推断总体总体比例的理论基础。
数学期望：，方差：重复抽样；不重复抽样
三、样本方差的抽样分布
1、对于来自正态总体的简单随机样本，则
2、2分布：由阿贝于1863年首先给出，后来由海尔墨特和卡·皮尔逊分别于1875年和1900年推导出来，设，则，令，则Y服从自由度为1的2分布，即。当总体 从中抽取容量为n的样本，则

2分布的性质和特点：分布的变量值始终为正，分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称。E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)；可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U～2(n1)，V～2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布。
图示：总体―――选择容量为n 的简单随机样本，计算样本方差S2―――计算卡方值
2 = (n-1)S2/σ2―――计算出所有的2值

§5.3   样本统计量的抽样分布(两个总体参数推断时)
一、两个样本均值之差的抽样分布
两个总体都为正态分布，即，，两个样本均值之差 服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
，
图示：
二、两个样本比例之差的抽样分布
两个总体都服从二项分布；分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似：
，
三、两个样本方差比的抽样分布
1、两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)的一个样本， Y1，Y2，… ，Yn2是来自正态总体X2~N(μ2,σ22 )，从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本，则：

2、F 分布：由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则
设若U为服从自由度为n1的2分布，即U～2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V～2(n2),且U和V相互独立，则
 
不同自由度的F分布(图示)：
本章小结：
1、总体分布、样本分布、抽样分布
2、一个总体参数推断时样本统计量的分布
3、两个总体参数推断时样本统计量的分布