解放军文职招聘考试计算数学

计算数学

　　长期以来，数学一直以数值计算为其最主要的任务，大量数学研究的目的无非是建立算法并不断加以改进，使之算得准、算得快、算得容易、方便，得出令人满意的结果．20世纪计算机的出现，根本改变了计算数学这一分支，对数学及其他科学也产生革命性的影响．1947年冯·诺伊曼等人发表的“高阶矩阵的数值求逆”标志着数值分析这门学科的诞生．其目的不仅要建立优秀的算法，特别是适用于计算机的程序，而且要对算法进行比较和分析，特别是对误差分析稳定性收敛速度以及计算量、存贮量等要进行细致的研究，其后产生一系列的有效方法，如乌拉姆(S．Ulam， 1909—1984)等创造的蒙特卡罗法以及有限元法、稀疏矩阵、样条函数法、快速傅里叶变换(1965)等一系列行之有效的方法．各种数值代数、数值积分以及解各种方程的方法也有许多改进及研究．针对具体问题也产生了计算力学、计算流体力学、计算物理学、计算化学等等新兴分支，成为与实验互补的科研手段．60年代初在基础研究方面还产生了计算复杂性理论，提出一系列基本的与计算有关的理论问题．

　　数学物理学的问题大都化成微分方程，对于这些方程的分析方法及数值方法的发展简述如下：

　　1．常微分方程

　　从天体力学的三体问题到各种非线性自由振动及受迫振动问题，许多实际问题都转化为解常微分方程的问题．一般来讲，常微分方程，特别是非线性常微分方程，找不到精确的解析解，甚至在有解析解时，也不能由常用的函数表出，因此，从19世纪晚期，人们就致力于寻找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大战以后，更促进各种数值方法的改进及发展．

　　最早的近似方法是庞加莱所发展起来的摄动方法，现在已成为数学的一分支——摄动理论．最早它是瑞典天文学家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年为解天体力学一个复杂问题提出来的．为了避免长期项的出现，庞加莱在1892年对于方程

　　严格证明存在定理，从而使该方法合法化．而对于非线性振动中常见的方程

　　(其中f是t的周期函数，ω是小参数)，则由弗瑞德利克斯等人(1942—1943)及斯托克(J．J．Stoker， 1905—)于1950年所解决．同时苏联克雷洛夫(H．M．Крылов，1879—1955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，1909—1991)在1943年发展了范德波(Van der Pol)于1926年首创的方法，发展了一套平均法，后来在研究非线性振动时常用．另外一种所谓调和均衡法首先由达芬(G．Duffing)在1918年提出，应用也很广泛．从20年代起，问题更集中于奇异摄动问题(如小参数ε出现于高阶导数项和大参数问题)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys， 1891—)从1924年起发表四篇论文研究马丢方程解法，其后温采尔(G．Wentzel，1898—)、克拉默斯(H．Kramers，1894—1952)、布理鲁因(L.Brillouin，1889—1969)独立发展成解薛定谔方程的W—K—B方法．另外还有兰格(R.E.Langer，1894—)在1931年提出并由奥立佛(Oliver)发展起的LO方法，对于空气动力学许多问题中产生的强奇异性，1949年由莱特希尔(M．S．Lighthill，1924—)引进自变量的非线性变换，使得庞加莱正则摄动方法也能产生有效渐近解，这方法于1953年由郭永怀，(1909—1968)发展后被命名为PLK方法1955年华沙(W．Wasow，1909—)把这个经验方法加以系统化．

　　解常微分方程的数值方法还有不少，应用最广泛的是差分方法．最早可追溯到18世纪，其后有相当大的改进．

　　2．偏微分方程

　　偏微分方程是由物理学、几何学、函数论等提出来要求求解的问题，从18世纪中叶起，二百多年来对于各种类型的方程进行大量的研究，只有到第二次世界大战之后，才有比较系统的研究．但应用问题，特别是非线性问题，仍然是具体问题具体分析，缺乏统一的方法，许多问题发展了有效的数值解法．

　　19世纪以来，研究最多的有波动方程、热传导方程及位势方程，对于弹性力学方程及麦克斯韦方程组也有许多进展，而流体力学方程，特别是有粘性的不可压缩流体纳维尔——斯托克斯方程则有许多困难．进入20世纪以后，一系列新的方程出现了：如边界层方程、薛定谔方程、反应扩散方程等等．

　　求解偏微分方程的过程推动了分析的发展：如傅里叶分析及各种积分变换、复变函数论、变分法、正交函数论、渐近展开、位势理论等等．

　　在求解偏微分方程的近似方法及数值方法当中，较常用的有变分方法、有限差分方法及有限元方法等．变分方法来源于黎曼为解决狄利克雷问题所提出的狄利克雷原理，该原理虽遭魏尔斯特拉斯的批判，但在1900年被希尔伯特恢复其合法性．他的做法是直接求出泛函极值的最小系列，从而解对应的边值问题．希尔伯特的学生黎兹(W．Ritz，1878—1909)在1908年应用希尔伯特的思想提出黎兹方法，他首先把解展成完 小序列来逼近解．对于本征值问题Au＝λu，可以用瑞利商为泛函来通过黎兹方法解决．苏联数学家伽辽金(Б．Г．Галёркин，1871—1945)改变决定系数的方法，可用于更为一般的问题，包括初值问题，这类方法统称黎兹——伽辽金方法．最常用的数值方法是有限差分方法，其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．它适用于各种类型方程．关键问题是收敛性及稳定性问题．1928年，库朗、弗瑞德里克斯及卢伊征明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础，第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展．1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．在论文中他引进稳定性这个十分重要的概念，并给出稳定性的必要条件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926—)及里希特迈尔(R．D． Richtmyer，1910—)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．

　　在战后的数值方法中，有限元方法是另一个最常用的方法．它可以看成是变分方法及差分方法有机的结合，其思想可追溯到库朗1943年的论文．1956年起一些工程人员在处理结构工程问题时又独立发现，60年代开始引进连续体的单元剖分，逐步明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想并建立数值分析的理论基础．