解放军文职招聘考试微分几何

微分几何

　　虽然从微积分开始创立时，微分几何的研究就开始了，但作为一门完整的学科，微分几何却是直到18世纪才独立出来．“微分几何”一词则迟至1894年才第一次为人所使用．

　　由于惠更斯、牛顿、莱布尼茨、贝努利家族的工作，微分几何中平面曲线的理论如渐屈线、渐伸线、曲率、包络、曲率半径等问题在17世纪已基本上完成了．

　　空间曲线理论，作为三维微分几何中的重大理论，应归功于法国数学家克莱罗．他把一条空间曲线看作是两个曲面的交线．他在空间曲线微分几何方面的贡献主要是，给出了空间曲线弧长的微积分表达式，以及部分曲面面积的求积公式．他还提出过空间曲线有两个曲率的思想．

　　从1774年开始，欧拉开始了微分几何的研究，他开始用参数方程x=x(s)，y＝y(s)，z＝z(s)表示空间曲线(s为弧长)他得出了空间曲线曲率半径的公式

　　

　　他还给出密切平面方程，这个方程等价于今天的方程：

　　

　　空间曲线的另一个曲率——挠率在18世纪也得到了，用今天的公式

　　柯西等人在19世纪完成的．

　　在一个平面上，两点之间的最短距离是直线，那么在曲面上两点之间的最短弧(距离)是什么呢？为了解决这个问题，17世纪数学家们开始了测地线的研究，从而也就开始了微分几何曲面理论研究．18世纪克莱罗、欧拉、赫尔曼等人都研究过测地线，1728年欧拉还给出了曲面上测地线的微分方程．测地线在今天微分几何教材中构成了一个重要的内容——短程线．

　　1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(RecherchesSur la Courbure des Surfaces)中建立了曲面的理论，这部著作堪称微分几何发展史上的一个里程碑．他将曲面表为z＝f(x，y)，并且引进了下述现代标准

　　对于曲线的法曲率kn，以及任何一个法截面与主曲率所在法截面所

是两个互相垂直的法平面的主曲率．这个公式同时说明，主曲率k1和k2是法曲率kn的最大值、最小值．欧拉自觉或不自觉地引进并使用了主曲率、法曲率、法截线、法平面等一系列新的几何概念．1776年，蒙日的学生梅斯尼埃(J．Meusnier dela Place，1754—1793)得到了“梅斯尼埃定理”：

　　

　　随后他又证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面．他的论文使得18世纪许多微分几何成果变得直观了．

　　1771年，欧拉在《论表面可以展平的立体》一文中，引进了曲面的参数表示：x＝x(t，u)，y＝y(t，u)，z＝t(t，u)并且

　　这些新的表示方法对微分几何的推进极大，直接为研究曲面的基本齐式等问题提供了有力武器．

　　欧拉和蒙日还讨论了可展曲面问题，欧拉在1771年得到了可展曲面的一个充分必要条件：

　　

　　1775年，蒙日给出了可展曲面的另外三种条件．

　　蒙日是18世纪的几何大师，是继笛卡儿、德扎格之后在几何方面的重要革新者，他在画法几何、解析几何、微分几何、射影几何方面都有卓越的贡献．被人称为射影几何的集大成者，微分几何之父． 

省的小城镇博恩(Beaune)一穷苦家庭，先在家乡一天主教学校读书，后转学里昂．不久入梅济耶尔(Méziéres)皇家军事工程学院学习．1768年毕业后在该校任教，1769年完成第一篇关于微分几何学的论文．1772年，被巴黎科学院选为通讯研究员，1775年，皇家军事工程学校正式授予他“皇家数学和物理学教授”头衔，时年29岁．1780年以后定居巴黎，从事数学、科学研究和政治活动．他的广泛的科学研究赢得了好评．拉格朗日在听了蒙日的一次讲演后对他说：“我亲爱的同事，你刚才提出了许多第一流的成果，要是我能够做出来就好了．”在化学方面，他和近代化学之父拉瓦锡(A．L．Lavoisier)一起工作，取得了一些重要成果．他已经意识到了工业发展对科学的要求，因此主张大力发展科学，并且将工业化视为改善人民生活的重要途径．

　　由于出身贫寒，使蒙日深深懂得卑贱者的苦难，因此他热衷于参加社会事务．又由于法国大革命时期和拿破仑执政时期重用学者，使得蒙日得以成为近代参政的著名科学家的代表．法国大革命开始后，蒙日积极投身于其中，1790年加入雅各宾俱乐部，并成为其重要成员，积极利用科学为资产阶级革命服务，在巴黎科学院的度量衡委员会工作．1792年法兰西共和国成立，他在政府中担任海军部长，重视武器装备的设计与改进，并企图用技术思想来指导政府官员，但由于过于温和而遭政府中不少官员的反对，任职8个月后即辞职，继续进行度量衡等问题的研究，以后又曾担任科学普及委员会、公众健康委员会委员等．

　　蒙日十分注重科学技术教育，1794年负责筹建法国第一流的高等科技学院，没多久建成了著名的法国多科工艺学校，他担校长多年，培养出了一大批世界知名学者．他还建议成立培养师资的专门学校，1795年1月建成了世界上第一所高等师范学校——巴黎高等师范学校．他为法国乃至西方的高等科学技术教育、师范教育奠定了基础．

　　拿破仑执政后，蒙日深得这位曾一度是其学生的法兰西统帅的重用．1798年7月随拿破仑去埃及，曾筹建埃及科学院并任院长，在埃及时对沙漠中的海市蜃楼现象作出了解释．拿破仑雾月政变后，蒙日被任命为元老院终身议员，后任议长．1800年，创立国家工业奖励会，同年，拿破仑以高级爵位、勋章授予蒙日．1808年被封为佩吕斯(Péluse)伯爵．拿破仑失败、波旁王朝复辟后，他被革去一切职务．不久病逝．

　　蒙日在多科工艺学校和高等师范学校培养了许多著名学者，尤其是建立了几何学派．他巧妙地将微积分、微分方程与几何学结合起来，在微积分中引进了几何语言，在几何中引入了微积分工具．他在微分方程中引入了特征曲线，特征锥等一系列全新的概念，在微分几何中引进了三维空间的曲面曲率线的概念．尤为重要的是，他在巴黎高等工艺大学的几何教学，培养了许多有才能的几何学者，如杜班(C．Dupin，1784—1873)和庞斯列(V．Poncelet，1788—1867)，对几何学的发展产生了深远影响．

　　18世纪微分几何的研究主要是受大地测量和地图绘制等问题的推动．在这些问题的研究中发现了保角映射等映射问题，拉格朗日、欧拉、兰伯特等人曾研究过这些问题，如兰伯特第一个研究了球面到平面的保角映射，并于1772年得到了这种映射的公式，1779年拉格朗日得到了地球表面的一部分映射到一平面区域并且把纬圆和经圆都变为圆弧的全部保角变换，欧拉则利用映射方面的知识绘制了一张俄国地图．但是这方面的进一步发展却有待19世纪复变函数理论．18世纪的微分几何实际上只是为19世纪的大发展作准备．

附：数学王子与世纪之交数学的转变

　　如果在人类历史上有天才的话，那么高斯可以称为天才之冠．高斯是早慧的天才，他自己曾幽默地宣称在会说话之前就能计算了，他十岁时就求出了81297＋81495＋81693＋…＋100899的和，而不是流传很广地求出了简单的1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050；高斯一辈子都有着极端聪颖的灵敏和智慧，他在数论的抽象化、非欧几何的革命性、天文学繁浩的计算、应用物理学的实际应用等方面造诣极深．在复变函数论、微分几何、微积分、代数学，在“数学世界里，高斯处处留芳”．他的贡献从最纯粹抽象的理论扩展到一系列实际问题，在所研究过的各个分支中他都有深刻的发现，为后来的研究奠定了基础．

 

　　高斯生活的年代跨越18—19两个世纪，他的数学成就同样跨越了18—19两个世纪，具有18世纪注重应用、成果的广泛性与19世纪注重理论、成果的严谨性等一系列特点．高斯建筑了一座沟通新与旧的桥梁，使得18世纪的成果得到了完满的总结，同时又开创了19世纪的数学，他的思想中包含着广泛的理论和重要的结果的种子．18世纪需要他，他结束了数学作为工具，为了物理学的实际应用而进行数学创造的时代；19世纪需要他，他用自己无与伦比的智慧，靠“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才”，开创了严密化占据主导地位的数学时代．

　　高斯坚信数学要有灵感，必须接触现实世界，同时又宣称“数学是科学之王，数论是数学之王”．这二者并不矛盾，而是世纪之交数学研究风格转变的真实写照；高斯坚持：“宁肯少些，但要好些”，主张“瑰丽的大厦建成以后，应该拆除杂乱无章的脚手架．”他拒绝发表任何未经推敲修改得完美无缺的论文，他的论文精练、严谨、无懈可击，堪称世代楷模，为此他对许多重要发现秘而不宣，如非欧几何、椭圆函数等等；他具有哲学家的洞察力和冲破传统思想的勇气，这种勇气来源于对数学的深刻理解．他率先怀疑“欧氏几何是自然和人类思想所固有”的信条，开创了近代数学革命；他把这样的格言做为座右铭：你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身．因此当有人询问他牛顿看见苹果落地而发现万有引力定律的故事是否真实时，他肯定地说：有一天，一个傻瓜问牛顿怎么发现万有引力定律的，牛顿被这个傻瓜问得哭笑不得，就对他说了这个故事．只有与牛顿同样伟大的高斯，才能真正理解牛顿的创造．

 

　　18世纪的数学中心在法国，正是由于有了高斯，德国才在19世纪成了世界数学中心．虽然他不善于培养学生，而且在自己周围没形成什么学派，但他却为德国数学的兴起注入了精神力量．带着一系列急待解决的问题，数学的发展进入了19世纪，由于有了高斯，使得数学在未来世纪中充满了希望．正如F·克莱因在《十九世纪数学的发展》一书序言中所指出的那样，高斯之所以居于19世纪前列，不仅因为按年代是如此，而且因为他开辟了各种科学发展的新纪元．微分几何

　　虽然从微积分开始创立时，微分几何的研究就开始了，但作为一门完整的学科，微分几何却是直到18世纪才独立出来．“微分几何”一词则迟至1894年才第一次为人所使用．

　　由于惠更斯、牛顿、莱布尼茨、贝努利家族的工作，微分几何中平面曲线的理论如渐屈线、渐伸线、曲率、包络、曲率半径等问题在17世纪已基本上完成了．

　　空间曲线理论，作为三维微分几何中的重大理论，应归功于法国数学家克莱罗．他把一条空间曲线看作是两个曲面的交线．他在空间曲线微分几何方面的贡献主要是，给出了空间曲线弧长的微积分表达式，以及部分曲面面积的求积公式．他还提出过空间曲线有两个曲率的思想．

　　从1774年开始，欧拉开始了微分几何的研究，他开始用参数方程x=x(s)，y＝y(s)，z＝z(s)表示空间曲线(s为弧长)他得出了空间曲线曲率半径的公式

　　

　　他还给出密切平面方程，这个方程等价于今天的方程：

　　

　　空间曲线的另一个曲率——挠率在18世纪也得到了，用今天的公式

　　柯西等人在19世纪完成的．

　　在一个平面上，两点之间的最短距离是直线，那么在曲面上两点之间的最短弧(距离)是什么呢？为了解决这个问题，17世纪数学家们开始了测地线的研究，从而也就开始了微分几何曲面理论研究．18世纪克莱罗、欧拉、赫尔曼等人都研究过测地线，1728年欧拉还给出了曲面上测地线的微分方程．测地线在今天微分几何教材中构成了一个重要的内容——短程线．

　　1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(RecherchesSur la Courbure des Surfaces)中建立了曲面的理论，这部著作堪称微分几何发展史上的一个里程碑．他将曲面表为z＝f(x，y)，并且引进了下述现代标准

　　对于曲线的法曲率kn，以及任何一个法截面与主曲率所在法截面所

是两个互相垂直的法平面的主曲率．这个公式同时说明，主曲率k1和k2是法曲率kn的最大值、最小值．欧拉自觉或不自觉地引进并使用了主曲率、法曲率、法截线、法平面等一系列新的几何概念．1776年，蒙日的学生梅斯尼埃(J．Meusnier dela Place，1754—1793)得到了“梅斯尼埃定理”：

　　

　　随后他又证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面．他的论文使得18世纪许多微分几何成果变得直观了．

　　1771年，欧拉在《论表面可以展平的立体》一文中，引进了曲面的参数表示：x＝x(t，u)，y＝y(t，u)，z＝t(t，u)并且

　　这些新的表示方法对微分几何的推进极大，直接为研究曲面的基本齐式等问题提供了有力武器．

　　欧拉和蒙日还讨论了可展曲面问题，欧拉在1771年得到了可展曲面的一个充分必要条件：

　　

　　1775年，蒙日给出了可展曲面的另外三种条件．

　　蒙日是18世纪的几何大师，是继笛卡儿、德扎格之后在几何方面的重要革新者，他在画法几何、解析几何、微分几何、射影几何方面都有卓越的贡献．被人称为射影几何的集大成者，微分几何之父． 

省的小城镇博恩(Beaune)一穷苦家庭，先在家乡一天主教学校读书，后转学里昂．不久入梅济耶尔(Méziéres)皇家军事工程学院学习．1768年毕业后在该校任教，1769年完成第一篇关于微分几何学的论文．1772年，被巴黎科学院选为通讯研究员，1775年，皇家军事工程学校正式授予他“皇家数学和物理学教授”头衔，时年29岁．1780年以后定居巴黎，从事数学、科学研究和政治活动．他的广泛的科学研究赢得了好评．拉格朗日在听了蒙日的一次讲演后对他说：“我亲爱的同事，你刚才提出了许多第一流的成果，要是我能够做出来就好了．”在化学方面，他和近代化学之父拉瓦锡(A．L．Lavoisier)一起工作，取得了一些重要成果．他已经意识到了工业发展对科学的要求，因此主张大力发展科学，并且将工业化视为改善人民生活的重要途径．

　　由于出身贫寒，使蒙日深深懂得卑贱者的苦难，因此他热衷于参加社会事务．又由于法国大革命时期和拿破仑执政时期重用学者，使得蒙日得以成为近代参政的著名科学家的代表．法国大革命开始后，蒙日积极投身于其中，1790年加入雅各宾俱乐部，并成为其重要成员，积极利用科学为资产阶级革命服务，在巴黎科学院的度量衡委员会工作．1792年法兰西共和国成立，他在政府中担任海军部长，重视武器装备的设计与改进，并企图用技术思想来指导政府官员，但由于过于温和而遭政府中不少官员的反对，任职8个月后即辞职，继续进行度量衡等问题的研究，以后又曾担任科学普及委员会、公众健康委员会委员等．

　　蒙日十分注重科学技术教育，1794年负责筹建法国第一流的高等科技学院，没多久建成了著名的法国多科工艺学校，他担校长多年，培养出了一大批世界知名学者．他还建议成立培养师资的专门学校，1795年1月建成了世界上第一所高等师范学校——巴黎高等师范学校．他为法国乃至西方的高等科学技术教育、师范教育奠定了基础．

　　拿破仑执政后，蒙日深得这位曾一度是其学生的法兰西统帅的重用．1798年7月随拿破仑去埃及，曾筹建埃及科学院并任院长，在埃及时对沙漠中的海市蜃楼现象作出了解释．拿破仑雾月政变后，蒙日被任命为元老院终身议员，后任议长．1800年，创立国家工业奖励会，同年，拿破仑以高级爵位、勋章授予蒙日．1808年被封为佩吕斯(Péluse)伯爵．拿破仑失败、波旁王朝复辟后，他被革去一切职务．不久病逝．

　　蒙日在多科工艺学校和高等师范学校培养了许多著名学者，尤其是建立了几何学派．他巧妙地将微积分、微分方程与几何学结合起来，在微积分中引进了几何语言，在几何中引入了微积分工具．他在微分方程中引入了特征曲线，特征锥等一系列全新的概念，在微分几何中引进了三维空间的曲面曲率线的概念．尤为重要的是，他在巴黎高等工艺大学的几何教学，培养了许多有才能的几何学者，如杜班(C．Dupin，1784—1873)和庞斯列(V．Poncelet，1788—1867)，对几何学的发展产生了深远影响．

　　18世纪微分几何的研究主要是受大地测量和地图绘制等问题的推动．在这些问题的研究中发现了保角映射等映射问题，拉格朗日、欧拉、兰伯特等人曾研究过这些问题，如兰伯特第一个研究了球面到平面的保角映射，并于1772年得到了这种映射的公式，1779年拉格朗日得到了地球表面的一部分映射到一平面区域并且把纬圆和经圆都变为圆弧的全部保角变换，欧拉则利用映射方面的知识绘制了一张俄国地图．但是这方面的进一步发展却有待19世纪复变函数理论．18世纪的微分几何实际上只是为19世纪的大发展作准备．

附：数学王子与世纪之交数学的转变

　　如果在人类历史上有天才的话，那么高斯可以称为天才之冠．高斯是早慧的天才，他自己曾幽默地宣称在会说话之前就能计算了，他十岁时就求出了81297＋81495＋81693＋…＋100899的和，而不是流传很广地求出了简单的1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050；高斯一辈子都有着极端聪颖的灵敏和智慧，他在数论的抽象化、非欧几何的革命性、天文学繁浩的计算、应用物理学的实际应用等方面造诣极深．在复变函数论、微分几何、微积分、代数学，在“数学世界里，高斯处处留芳”．他的贡献从最纯粹抽象的理论扩展到一系列实际问题，在所研究过的各个分支中他都有深刻的发现，为后来的研究奠定了基础．

 

　　高斯生活的年代跨越18—19两个世纪，他的数学成就同样跨越了18—19两个世纪，具有18世纪注重应用、成果的广泛性与19世纪注重理论、成果的严谨性等一系列特点．高斯建筑了一座沟通新与旧的桥梁，使得18世纪的成果得到了完满的总结，同时又开创了19世纪的数学，他的思想中包含着广泛的理论和重要的结果的种子．18世纪需要他，他结束了数学作为工具，为了物理学的实际应用而进行数学创造的时代；19世纪需要他，他用自己无与伦比的智慧，靠“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才”，开创了严密化占据主导地位的数学时代．

　　高斯坚信数学要有灵感，必须接触现实世界，同时又宣称“数学是科学之王，数论是数学之王”．这二者并不矛盾，而是世纪之交数学研究风格转变的真实写照；高斯坚持：“宁肯少些，但要好些”，主张“瑰丽的大厦建成以后，应该拆除杂乱无章的脚手架．”他拒绝发表任何未经推敲修改得完美无缺的论文，他的论文精练、严谨、无懈可击，堪称世代楷模，为此他对许多重要发现秘而不宣，如非欧几何、椭圆函数等等；他具有哲学家的洞察力和冲破传统思想的勇气，这种勇气来源于对数学的深刻理解．他率先怀疑“欧氏几何是自然和人类思想所固有”的信条，开创了近代数学革命；他把这样的格言做为座右铭：你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身．因此当有人询问他牛顿看见苹果落地而发现万有引力定律的故事是否真实时，他肯定地说：有一天，一个傻瓜问牛顿怎么发现万有引力定律的，牛顿被这个傻瓜问得哭笑不得，就对他说了这个故事．只有与牛顿同样伟大的高斯，才能真正理解牛顿的创造．

　　18世纪的数学中心在法国，正是由于有了高斯，德国才在19世纪成了世界数学中心．虽然他不善于培养学生，而且在自己周围没形成什么学派，但他却为德国数学的兴起注入了精神力量．带着一系列急待解决的问题，数学的发展进入了19世纪，由于有了高斯，使得数学在未来世纪中充满了希望．正如F·克莱因在《十九世纪数学的发展》一书序言中所指出的那样，高斯之所以居于19世纪前列，不仅因为按年代是如此，而且因为他开辟了各种科学发展的新纪元．