解放军文职招聘考试牛顿的极限理论

 牛顿的极限理论

　　牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”

　　值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=xn的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是xn变为

的最后比等于1比nxn-1．所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nxn-1．

　　牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．

　　实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．