解放军文职招聘考试《流数法和无穷级数》

 　这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．

　　从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表 保留，并且仍用o表示．

　　他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．

　　第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或

　　例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．

程中的x和y，得

　　展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得

　　至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下

　　从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，

数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．

　　例如，假定y=xn，牛顿首先建立

　　然后用二项式定理展开右边，消去y＝xn，用o除两边，略去仍含o的项，结果得

　　当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．

　　第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．

(x)，则

数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：

　　由(2)，(3)得

　　由微积分基本定理，得

　　牛顿在书中还推出分部积分公式，即

∫uv′dx=uv-∫vu′dx．

　 其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．

　　牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．

　　至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．

　　例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得

　　即 3y2＝ax．

　　把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．

　　例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系

　　由此得出

　　因BD＝y，所以

　　牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”

　　例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的

　　若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为

　　只要对t积分，就可求出弧长s了．

　　综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．