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解放军文职招聘考试杨辉

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:28:57评论0

 杨辉

一、杨辉生平

  杨辉,南宋数学家.字谦光,钱塘(今杭州)人,生活于13世纪.

  杨辉曾做过地方官,足迹遍及钱塘、台州(今浙江临海)、苏州等地.与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己,以儒饰吏”.杨辉特别注意社会上有关数学的问题,多年从事数学研究和教学工作,是东南一带有名的数学家和数学教育家.他走到哪里都有人请教数学问题.从1261年到1275年的15年中,他先后完成数学著作521卷,即《详解九章算法》12(1261),《日用算法》2(1262),《乘除通变本末》3(1274),《田亩比类乘除捷法》2(1275)和《续古摘奇算法》2(1275)(其中《详解》和《日用算法》已非完书).后三种合称为《杨辉算法》.杨辉数学著作的特点是深入浅出,便于初学,同时有不少创新.另外,杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果,如贾宪的增乘开方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》,刘益的正负开方术载于《田亩比类乘除捷法》.

二、垛积术

  杨辉的垛积术是在沈括隙积术的基础上发展起来的,置于《详解九章算法》的商功章.他研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四梭台)体积为

  

  其中a为上底边长,b为下底边长,h为高.若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由a×a个球组成,以下各层的长、宽依次各增加一个球,共有n层,最下层(即下底)b×b个球组成,杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下:

  

  比较一下上面两式就会发现,后者与前者的区别在于括号内多了一项

等差级数求和公式,即

  

  杨辉垛积术中还有三个二阶等差级数求和公式: 

  除了(4)式与沈括隙积术公式相同外,其他公式均为杨辉独立推出.

三、纵横图

  纵横图是按一定规律排列的数表,也称幻方.一般是nn列,各行各列的数字之和相等,纵横图有几行,就称为几阶.中国最早的纵横图,当推汉代“九宫图”(812)

 

 

  杨辉在《续古摘奇算法》中系统研究了纵横图,从三阶宜到十阶.他给出四阶纵横图的构造方法如下:“易换术曰,以十六子依次第作四行排列,先以外四角对换,后以内四角对换.”(813)他还给出构造四阶纵横图的一般方法,称为“总术”.第一步是“求积”,即求出每行数字之和应为多少.杨辉用等差数列求和公式

  

  求得前16个自然数的和136,进而求得每行之数34.第二步是“求等”,即设法使每行、每列的数字之和等于34.“求等术曰:以子数分两行

  而二子皆等(十七),又分为四行,而横行先等(三十四),乃不易之数.却以此编排直行之数,使皆如元求一行之积(三十四)而止.”依此术,杨辉构造数字方阵如图814,然后再“编排直行之数”.杨辉说:“绳墨既定,则不患数之不及也.”意思是掌握了规律,就不难作出纵横图.

 

 

  四阶以上纵横图,杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误,可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律.他的十阶纵横图叫百子图(815),各行各列的数字之和均为505

四、数学教育

  在《乘除通变本末》中,杨辉总结了自己多年的教学经验.他首先给出一份相当完整的教学计划——“习算纲目”(卷上《算法通变本末》),包括各部分数学知识的学习方法、时间及参考书.他主张循序渐进,精讲多练,特别强调要明算理,要“讨论用法之源”.例如,他讲减法时不只讲算法,而且指明:“加法乃生数也,减法乃去其数也,有加则有减.凡学减,必以加法题答考之,庶知其源.”针对教师和学生两种不同的对象,杨辉又提出“法将提问”和“随题用法”两条不同原则.教师讲授应“法将提问”,“凡欲见明一法,必设一题”(卷下《法算取用本末》),就是以算法统御习题,每种算法都设有相应的题目.而对学生来说,则应“随题用法”,即根据具体题目来选择相应的算法.他说:“随题用法者捷,以法就题者拙.”(卷中《乘除通变算宝》)

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