解放军文职招聘考试高次方程数值解法

 高次方程数值解法

　　秦九韶在贾宪“增乘开方法”及刘益“正负开方术”基础上，提出一套完整的通过随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法．对于形如

　　anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0＝0

　　的高次方程及其正根，秦九韶表示为图8．10的形式，其中商即根，实即常数项，规定“实常为负，方即一次项，隅即最高项，各廉为中间各项．下面以《数书九章》卷5“尖田求积”题为例说明秦九韶法(图8．11)．

　　(1)依术列筹式，相当于方程

　　-x4＋763200x2-40642560000＝0．

　　“益隅”是指x4的系数为负，“从上廉”是指x2的系数为正，“虚”表示系数为零，“实”规定为负数．

　　(2)把各系数依次向左移，方每次移一位，上廉每次移二位，下廉每次移三位，隅每次移四位，本题各移二次即可，相当于对原方程进行x＝100x1的变换，得

　　-108x14+763200·104x12-40642560000＝0

　　议得商8，置于百位．

　　(3)以商8乘益隅得-800000000，置负下廉．以8乘负下廉，加入上廉，得1232000000．以8乘上廉得9856000000为方．以8乘方得78848000000，加入负实，得正实38205440000．

　　(4)以8乘益隅，加入下廉得-1600000000．以8乘下廉，加入上廉得-11568000000．以8乘上廉，加入方得-82688000000．

　　(5)以8乘益隅，加入下廉得-2400000000．以8乘下廉，加入上廉，得-30768000000．

　　(6)以8乘益隅，加入下廉得-3200000000．

　　(7)把方向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位．以方除实，议得商4，置于十位．

　　(8)以商4乘益隅，加入下廉得-3240000．以4乘下廉，加入上廉得-320640000．以4乘上廉，加入方得-9551360000．以4乘方，与正实相消，恰尽．即得方程的一个正根840．

　　由以上运算可以看出，秦九韶法的基本特点是随乘随加，有很强的机械性，这套方法可以毫无困难地转化为计算机程序．上例中，若议得第二位商后与实相消未尽，便可用同样程序求第三位商，依此类推．若方程的根是无理数，可用此程序求出根的任意精度的近似值．所以说，秦九韶完满解决了求高次方程正根的问题．不过，他没有考虑一个方程的根是否会多于一个．1819年，英国数学家霍纳(W．G．Horner，1786—1837)在不了解秦九韶法的情况下，独立提出相同的方法，后被称为“霍纳法”，在西方国家广泛流传．