解放军文职招聘考试斐波那契和十三世纪数学

 斐波那契和十三世纪数学

　　经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契．

　　斐波那契(L．Fibonacci，约1170---1240以后)，又称比萨的莱昂那多(LeonardoofPisa)．他是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从—阿拉伯教师学习计算．后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系．经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美．斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》(LiberAbb-aci，1202年初版，1228年修订本)．这是向西欧介绍印度—阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作．这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题．因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”．斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题．在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范．下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容．

　　《算盘书》共有15章．第1---5章介绍印度—阿拉伯数码记数法及其四则运算．他首先给出9个印度数码的写法及符号0的用途，以及如何记数．他还举例说明这种记数法的优越性．介绍了整数的四则运算及乘、除法的验算法，讨论如何把一个自然数分解为质数的乘积，以及能被2，3，5，9整除的数的特点，给出了大量的数表(乘法表、质数表等)．第6，7章介绍分数记法及其运算，混合分数(带分数)的记法按阿拉伯人的方式——分数部分写在整数部分的左边．作者指出用求最小公倍数的方法通分的优越性，阐述了把一个分数展开为几个单分子分数之和的方法，并列出有关的数表．第8---11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法．包括商品价格、利润和利息的计算、金属合金的成色、混合物的比例、商品交换、货币转换及各种度量问题等．三位法的使用很普遍，还有较复杂的五位法(或称六个量法则)，即解两个三位法的问题．在第11章讨论的混合问题中出现了类似于中国古代数学家所熟悉的“百鸡问题”，不过问题被改为“三十钱买三十只鸟”：“今有30只鸟值30个钱币，其中，每只山鹑值3个钱，每只鸽子值2个钱，一对麻雀值一个钱，问每种鸟各多少？” 9世纪阿拉伯数学家阿布卡米尔(Abū－Kamil)的数学著作中曾出现过“百鸡问题”，一般认为是由印度传入的．有资料表明，斐波那契接触过阿布卡米尔的著作，因此中国数学史家推测，这类问题是由中国经印度、阿拉伯国家而传入欧洲的．

　　第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等．几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册．问题的答案由下列和式给出：

　　1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233．

　　其中从第三项起，每一项都是前两项的和．这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象．在12章中，有大量的问题可以化归为解一次方程．斐波那契称未知数为res，即一堆东西，没有引进代数符号．

　　值得指出的是，在第12章，还有两个问题也是由中国辗转传到欧洲去的：一、求一数，它能被7整除，而被2，3，4，5，6除时均余1；二、求一数，它被3，5，7除时分别余2，3，2．

　　第13章是用双设法解线性方程，讨论了几种情况，计算过程用图表给出．这里还最早用单词minus和Plus表示不足和过剩，后来这两个词变成表示加法和减法的符号．第14章介绍平方根和立方根的近似计算，立方根的计算相当于使用下列公式

　　第15章是问题汇编，包括大量的几何和代数应用问题，许多内容取自花拉子米的《代数学》．除了未知数用res表示以外，在《算盘书》中，还采用了其他的术语，如根——radix，未知数的平方——census，根的平方——quadratus，自由项——numeres或denarins等．这些用语都是阿拉伯文中相应单词的拉丁文译文．

　　《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12---14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响．

　　除了《算盘书》外，斐波那契还有三部著作传世：《实用几何》(Practica geometriae，1220)、《花絮》(Flos，1225)《平方数书》(Liber quadratorum，1225)．在《实用几何》中处理了大量的几何学和三角学的题材，共有8章．内容包括面积和体积的计算、平方根和立方根的近似计算，曲面的剖分，物体的测量以及关于圆的各种计算．应用了二次方程的求解，投影方法和几何图形的相似性等方法．在当时是一种很实用的小册子．《花絮》记载的是在罗马皇帝腓特烈二世(FriedrichⅡ)的宫廷中举行数学竞赛时提出的问题．内容多是求代数方程的解，如解方程x2＋5＝y2，x2－5＝z2及x3+2x2＋10x=20等，他用逼近法给出第三个方程的近似解x＝1.3688081075，精确到小数点后9位．《平方数书》是一部专门讨论二次丢番图方程的著作，其中有许多是他本人的发现．书中系统地编排了各类问题，如详细讨论了上面提到的方程x2＋5＝y2，x2-5＝z2，给出了一系列重要结果及与此相关的命题，如“x2+y2和x2-y2不可能同是平方数”，“x4－y4不可能是平方数”等．这部著作使斐波那契成为数论中介于丢番图(Diophantus，活动于250---275)和费马(P．deFermat 1601---1665)之间贡献最大的人物．

　　在13世纪以前，欧洲的记数法比较混乱，计算方法也十分复杂、笨拙．印度-阿拉伯数码及其计数法传入欧洲之后，使算术的面貌大为改观．但新计数法代替旧的计数法是一个漫长的过程．在斐波那契之后，又出现了一批介绍印度—阿拉伯算术的著作．在英国，有萨克罗博斯科 (J．de Sacrobosco，？—1256)的《算法书》(Algorismus)；东罗马有普莱纽迪斯(M．Planudes，约1255---1305)的《印度算术》(Psephophoria Kat’Indous)；在法国有维尔迪厄(A．de Villedieu，？—约1240)的《算法歌》(Carmen de algorismo)；在德国有约丹努斯(N．deJordanus，约1220)的《算法论证》(Algorismus Demons-tratus)等．这些著作大多用拉丁文所著，后又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪，对新记数法的引入和计算方法的改进起到重要作用．