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解放军文职招聘考试斐波那契和十三世纪数学

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:26:49

 斐波那契和十三世纪数学

  经过12世纪的传播时期之后,初等数学在欧洲获得了相应的发展.在13世纪欧洲大多数国家里,城市成为商业和手工业发展的中心.特别是商业的发展,带来了相当复杂的计算.这时的欧洲出现了第一批理论数学家.意大利作为当时的商业中心,培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契.

  斐波那契(LFibonacci,约1170---1240以后),又称比萨的莱昂那多(LeonardoofPisa).他是一个商人的儿子,早年随父到过北非,跟从—阿拉伯教师学习计算.后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游,拜访各地的学者,熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系.经过研究和比较,他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美.斐波那契于1200年回到家乡,把在各地学得的数学知识加以总结,写成《算盘书》(LiberAbb-aci1202年初版,1228年修订本).这是向西欧介绍印度—阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作.这本书的开头介绍了一些算盘知识,而后却偏离了这一课题.因此,书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意,而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”.斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识,改进了欧氏几何的某些技巧,归纳了同种类型的方法和习题.在算术和一、二次方程的代数学方面,已成为中世纪欧洲数学之典范.下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容.

 

  《算盘书》共有15章.第1---5章介绍印度—阿拉伯数码记数法及其四则运算.他首先给出9个印度数码的写法及符号0的用途,以及如何记数.他还举例说明这种记数法的优越性.介绍了整数的四则运算及乘、除法的验算法,讨论如何把一个自然数分解为质数的乘积,以及能被2359整除的数的特点,给出了大量的数表(乘法表、质数表等).第67章介绍分数记法及其运算,混合分数(带分数)的记法按阿拉伯人的方式——分数部分写在整数部分的左边.作者指出用求最小公倍数的方法通分的优越性,阐述了把一个分数展开为几个单分子分数之和的方法,并列出有关的数表.第8---11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法.包括商品价格、利润和利息的计算、金属合金的成色、混合物的比例、商品交换、货币转换及各种度量问题等.三位法的使用很普遍,还有较复杂的五位法(或称六个量法则),即解两个三位法的问题.在第11章讨论的混合问题中出现了类似于中国古代数学家所熟悉的“百鸡问题”,不过问题被改为“三十钱买三十只鸟”:“今有30只鸟值30个钱币,其中,每只山鹑值3个钱,每只鸽子值2个钱,一对麻雀值一个钱,问每种鸟各多少?” 9世纪阿拉伯数学家阿布卡米尔(Abū-Kamil)的数学著作中曾出现过“百鸡问题”,一般认为是由印度传入的.有资料表明,斐波那契接触过阿布卡米尔的著作,因此中国数学史家推测,这类问题是由中国经印度、阿拉伯国家而传入欧洲的.

  第12章的内容最为丰富,涉及各种类型的问题,如各种数列的求和法:算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等.几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题,而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中:假定每对大兔每月能生一对小兔,每对小兔生长两个月就成大兔,问在不发生死亡的条件下,由一对小兔开始,一年之后可繁殖成多少对兔子?这个问题使斐波那契名垂史册.问题的答案由下列和式给出:

  112358+…+233

  其中从第三项起,每一项都是前两项的和.这个数列现称斐波那契数列,这是在欧洲最早出现的递归数列,它有许多重要而有趣的性质,在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象.在12章中,有大量的问题可以化归为解一次方程.斐波那契称未知数为res,即一堆东西,没有引进代数符号.

  值得指出的是,在第12章,还有两个问题也是由中国辗转传到欧洲去的:一、求一数,它能被7整除,而被23456除时均余1;二、求一数,它被357除时分别余232

  第13章是用双设法解线性方程,讨论了几种情况,计算过程用图表给出.这里还最早用单词minusPlus表示不足和过剩,后来这两个词变成表示加法和减法的符号.第14章介绍平方根和立方根的近似计算,立方根的计算相当于使用下列公式

  

  第15章是问题汇编,包括大量的几何和代数应用问题,许多内容取自花拉子米的《代数学》.除了未知数用res表示以外,在《算盘书》中,还采用了其他的术语,如根——radix,未知数的平方——census,根的平方——quadratus,自由项——numeresdenarins等.这些用语都是阿拉伯文中相应单词的拉丁文译文.

  《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12---14世纪数学著作之冠,对欧洲数学的发展产生了重要的影响.

  除了《算盘书》外,斐波那契还有三部著作传世:《实用几何》(Practica geometriae1220)、《花絮》(Flos1225)《平方数书》(Liber quadratorum1225).在《实用几何》中处理了大量的几何学和三角学的题材,共有8章.内容包括面积和体积的计算、平方根和立方根的近似计算,曲面的剖分,物体的测量以及关于圆的各种计算.应用了二次方程的求解,投影方法和几何图形的相似性等方法.在当时是一种很实用的小册子.《花絮》记载的是在罗马皇帝腓特烈二世(Friedrich)的宫廷中举行数学竞赛时提出的问题.内容多是求代数方程的解,如解方程x25y2x25z2x3+2x210x=20等,他用逼近法给出第三个方程的近似解x1.3688081075,精确到小数点后9位.《平方数书》是一部专门讨论二次丢番图方程的著作,其中有许多是他本人的发现.书中系统地编排了各类问题,如详细讨论了上面提到的方程x25y2x2-5z2,给出了一系列重要结果及与此相关的命题,如“x2+y2x2-y2不可能同是平方数”,“x4y4不可能是平方数”等.这部著作使斐波那契成为数论中介于丢番图(Diophantus,活动于250---275)和费马(PdeFermat 1601---1665)之间贡献最大的人物.

  在13世纪以前,欧洲的记数法比较混乱,计算方法也十分复杂、笨拙.印度-阿拉伯数码及其计数法传入欧洲之后,使算术的面貌大为改观.但新计数法代替旧的计数法是一个漫长的过程.在斐波那契之后,又出现了一批介绍印度—阿拉伯算术的著作.在英国,有萨克罗博斯科 (Jde Sacrobosco,?—1256)的《算法书》(Algorismus);东罗马有普莱纽迪斯(MPlanudes,约1255---1305)的《印度算术》(Psephophoria KatIndous);在法国有维尔迪厄(Ade Villedieu,?—约1240)的《算法歌》(Carmen de algorismo);在德国有约丹努斯(NdeJordanus,约1220)的《算法论证》(Algorismus Demons-tratus)等.这些著作大多用拉丁文所著,后又从拉丁文译成多种文字,通行了几个世纪,对新记数法的引入和计算方法的改进起到重要作用.

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