2020部队文职岗位能力：均值不等式在极值问题中的应用

一、理论讲解

定理1：若 a、b是实数，则a2+b2≥2ab ，等号当且仅当 a=b 的时候取得。

推论1：若 a、b均是非负实数，则：a+b≥2，等号当且仅当a=b时候取得。

二、方法应用

1、和一定，当且仅当两数相等时积有最大值。

2、积一定，当且仅当两数相等时和有最小值。

三、例题展示

例1.直角三角形两条直角边的和等于10厘米，则三角形的面积最大是多少平方厘米?

A.10 B.12.5 C.20 D.25
【答案】B。解析：由题可知，设三角形两条直角边的长度分别为a、b，根据已知条件可得a+b=10,求三角形面积的最大值，三角形面积=ab,根据均值不等式的结论：和一定，积有最大值，当且仅当a=b时取得。由题知a与b的和是定值10，当a=b=5时，ab最大值为25，则三角形的面积最大值为12.5。选B选项。

例2.某市有一个长方形广场，面积为1600平方米。那么，这个广场的周长至少有：

A.160 B.200 C.240 D.320

【答案】A。解析：由题可知，设长方形广场的长和宽分别是a、b。根据已知条件可得：ab=1600，求周长的最小值，长方形的周长=2(a+b),根据均值不等式的结论：积一定，和有最小值，当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值1600，当a=b=40时，a+b最小值为80，则长方形的面积最小值为160。选A选项。

例3.建造一个容积为16立方米，深为4米的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元?

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

【答案】D。解析：由题可知，水池的底面积为16÷4=4平方米，设水池的长和宽分别为a和b，则水池池底和池壁的总造价y=4×160+4×a×2×100+4×b×2×100=640+800×(a+b),要使水池造价最低，则a+b的值要尽可能小，根据均值不等式的结论：积一定，和有最小值，当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值4，当a=b=2时，a+b最小值为4，则水池最低造价为3840元。选D选项。