2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.3

19.3 正方形 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C ) (A)对角线相等 (B)对角线互相垂直 (C)对角线互相平分 (D)对角线平分一组对角 2.下列命题错误的是( C ) (A)对角线 互相平分的四边形是平行四边形 (B)对角线相等的平行四边形是矩形 (C)一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 (D)对角线互相垂直的矩形是正方形 3.已知四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D,A=∠A=∠B=∠C=∠D,B=∠A=∠B=∠C=∠D,C=∠A=∠B=∠C=∠D,D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方 形,那么这个条件可以是( D ) (A)∠A=∠B=∠C=∠D,D=90° (B)AB=CD (C)AD=BC (D)BC=CD 4.如图,把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B 折叠 纸片,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 FM 的长为( B ) (A)2 (B) (C) (D)1 5.能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 AC=BD 且 AC⊥BD(答案不唯一) (填上一 个条件即可). 6.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若不增加任 何 字母与辅助线,要使四边形 ABCD 是正方形,则还需增加一个条件是 AC=BD 或(AB⊥BC) (答案不唯一) . 7.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 在 AB 边上.四边形 EFGB 也为正方形,则△AFC 的面 积为 2 . 8.(2018 武汉)以正方形 ABCD 的边 AD 作等边△ADE,则∠BEC 的度数 是 30°或 150° . 9.已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A,C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN⊥l1 于 N,直线 MB,DN 分别交 l2 于 Q,P 点.求证:四边形 PQMN 是正方形. 证明:因为 PN⊥l1,QM⊥l1, 所以 PN∥QM,∠A=∠B=∠C=∠D,PNM=90°. 因为 PQ∥NM, 所以四边形 PQMN 是矩形. 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以∠BAD=∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=90°,AB=AD=DC. 所以∠1+∠A=∠B=∠C=∠D,2=9 0°. 又∠3+∠A=∠B=∠C=∠D,2=90°,所以∠1=∠A=∠B=∠C=∠D,3. 所以△ABM≌△DAN.所以 AM=DN. 同理 AN=DP.所以 AM+AN=DN+DP, 即 MN=PN.所以 四边形 PQMN 是正方形. 10.已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=CD,E 是对角线 BD 上一点,且 EA=EC. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)如果 BE=BC,且∠CBE∶∠A=∠B=∠C=∠D,BCE=2∶3,求证:四边形 ABCD 是正方形. 证明:(1)在△ADE 与△CDE 中, 所以△ADE≌△CDE(S.S.S.), 所以∠ADE=∠A=∠B=∠C=∠D,CDE, 因为 AD∥BC, 所以∠ADE=∠A=∠B=∠C=∠D,CBD, 所 以∠CDE=∠A=∠B=∠C=∠D,CBD, 所以 BC=CD, 因为 AD=CD, 所以 BC=AD, 所以四边形 ABCD 为平行四边形, 因为 AD=CD, 所以四边形 ABCD 是菱形. (2)因为 BE=BC, 所以∠BCE=∠A=∠B=∠C=∠D,BEC, 因为∠CBE∶∠A=∠B=∠C=∠D,BCE=2∶3, 所以∠CBE=180°× =45°, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以∠ABE=45°, 所以∠ABC=90°, 所以四边形 ABCD 是正方形. 11.(开放探究题)已知,如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,AN 是△ABC 外角 ∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为点 E. (1)求证:四边形 ADCE 为矩形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?并说明 理由. (1)证明:因为 AD,AN 分别是∠BAC 的内角、外角平分线, 所 以∠BAD=∠A=∠B=∠C=∠D,CAD,∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=∠A=∠B=∠C=∠D,MAE. 因为∠BAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAE+∠A=∠B=∠C=∠D,MAE=180°. 所以 2∠A=∠B=∠C=∠D,CAD+2∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=180°. 所以∠CAD+∠A=∠B=∠C=∠D,CAE=90°,即∠DAE=90°, 因为 AD⊥BC,CE⊥AN, 所以∠ADC=∠A=∠B=∠C=∠D,AEC=∠A=∠B=∠C=∠D,DAE=90°, 所以四边形 ADCE 是矩形. (2)解:当△ABC 是以∠BAC 为直角的等腰直角三角形时,四边形 ADCE 是正方形. 理由如下: 因为△ABC 是以∠BAC 为直角的等腰直角三角形,AD⊥BC, 所以∠CAD=∠A=∠B=∠C=∠D,BAD=45°.∠A=∠B=∠C=∠D,ACD=45°. 所以∠CAD=∠A=∠B=∠C=∠D,ACD=45°.所以 AD=CD. 因为四边形 ADCE 是矩形,所以四边形 ADCE 是正方形. 12.(拓展探究题)如图,四边形 ABCD,DEFG 都 是正方形,连结 AE,CG. (1)求证:AE=CG; (2)观察图形,猜想 AE 与 CG 之间的位置关系,并证明你的猜想. (1)证明:因为 AD=CD,DE=DG, ∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=∠A=∠B=∠C=∠D,GDE=90°, 又∠CDG=90°+∠A=∠B=∠C=∠D,ADG=∠A=∠B=∠C=∠D,ADE, 所以△ADE≌ △CDG. 所以 AE=CG. (2)解:猜想:AE⊥CG. 证明:如图, 设 AE 与 CG 交点为 M,AD 与 CG 交点为 N. 由(1)得△ADE≌△CDG, 所以∠DAE=∠A=∠B=∠C=∠D,DCG. 又因为∠ANM= ∠A=∠B=∠C=∠D,CND , 所以∠CND+∠A=∠B=∠C=∠D,DCN=90°, 即∠ANM+∠A=∠B=∠C=∠D,DAE=90°, 所以∠AMN=∠A=∠B=∠C=∠D,ADC=90° . 所以 AE⊥CG.