2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形2

2.矩形的判定 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,则下面条件能判定平行四边 形 ABCD 是矩形的是( A ) (A)AC=BD (B)AC⊥BD (C)AO=CO (D)AB=AD 2.已知平行四边形 ABCD,AC,BD 是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边 形为矩形的是( C ) (A)∠BAC=∠DCA (B)∠BAC=∠DAC (C)∠BAC=∠ABD (D)∠BAC=∠ADB 3.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,∠1=∠2.若 AC=13,BC=12,则四边形 ABCD 的面积是( D ) (A)20 (B)30 (C)50 (D)6 0 4.在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 的交点为 O,不能判断四边形 ABCD 为矩形的是( (A)AB=CD,AD=BC,AC=BD (B)AO=CO,BO=DO,∠A=90° (C)∠A =∠C,∠B+∠C=180° (D)AB∥CD,AB=CD,∠A=90° 5.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,添加一个条件: ∠ABC=90°(或 AC=BD 等) 它成为矩形. C ) ,可使 6.如图,在△ABC 中,AB=AC,将△ABC 绕点 C 旋转 180°得到△FEC,连结 AE,BF.当∠ACB 为 60 °时,四边形 ABFE 为矩形. 7.如图,在两条平行直线 a 和 b 上用直角曲尺画两条直线,则构成的四边形 ABCD 为 矩形 . 8.学完矩形的判定后,小明和小丽想实际应用一下(检验教室的门是否为矩形).根据小明和小 丽的对话,你认为小明和小丽谁正确: 小明:“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以这个四边形门就是矩形.” 小丽:“我用角尺量这个门的任意三个角,发现它们都是直角.所以这个四边形门就是矩形.” 解:小明的不一定是矩形,只根据对角线相等不能判定四边形为矩形; 因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明的说法错误; 小丽的一定是矩形,因为有三个角是直角的四边形是矩形. 所以小丽的说法正确. 9.(2018 北京门头沟期末)已知,如图,在▱ABCD 中,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 CD 上,DF=BE,连结 AF 和 BF. (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)如果 CF=3,B F=4,DF=5,求证:AF 平分∠DAB. 证明:(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 DF∥BE.因为 DF=BE, 所以四边形 BFDE 是平行四边形. 因为 DE⊥AB,所以∠DEB=90°. 所以四边形 BFDE 是 矩形. (2)因为四边形 BFDE 是矩形, 所以∠BFD=∠BFC=90°. 所以 BC= =5,所以 AD=BC=5. 因为 DF=5,所以 AD=DF. 所以∠DAF=∠DFA. 因为 AB∥CD, 所以∠DFA=∠FAB. 所以∠DAF=∠FAB. 所以 AF 平分∠DAB. 10.如图,在△ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 EF∥BC 分别交∠ACB,外角 ∠ACD 的平分线于点 E,F. (1)若 CE=8,CF=6,求 OC 的长; (2)连结 AE,AF.问:当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由. 解:(1)因为 EF 交∠ACB 的平分线于点 E,交∠ACB 的外角平分线于 点 F, 所 以∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF, 因为 EF∥BC, 所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF, 所以∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF, 所以 OE=OC,OF=OC,所以 OE=OF. 因为∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°, 所以∠ECF=90°, 在 Rt△CEF 中, 由勾股定理得 EF= = =10, 所以 OC=OE= EF=5. (2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.理由: 连结 AE,AF,如图所示, 当 O 为 AC 的中点时, AO=CO, 因为 EO=FO, 所以四边形 AECF 是平行四边形, 因为∠ECF=90°, 所以平行四边形 AECF 是矩形. 11.(拓展探究)(2018 青岛)已知,如图,平行四 边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E, 点 G 为 AD 的中点,连结 CG,CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F,连结 FD. (1)求证:AB=AF; (2)若 AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形 ACDF 的形状,并证明你的 结论. (1)证明:因为四 边形 ABCD 是平行四边形, 所以 BF∥CD,AB=CD,所以∠ AFG=∠DCG. 因为 GA=GD,∠AGF=∠CGD, 所以△AGF≌△DGC. 所以 AF=CD.所以 AB=AF. (2)解:四边形 ACDF 是矩形. 证明如下: 因为 AF=CD,AF∥CD, 所以四边形 ACDF 是平行四边形. 所以 AG=DG,FG=CG. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以∠BAD =∠BCD=120°. 所以∠FAG=60°.因为 AB=AF,AG=AB, 所以 AG=AF.所以△AFG 是等边三角形. 所以 AG=GF. 所以 AG=DG=FG=CG.所以 AD=CF. 所以四边形 ACDF 是矩形. 12.( 方 程 思 想 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ,∠B=90°,AD∥BC,AB= 14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,点 E 由点 A 出发沿 AD 方向向点 D 匀速运动,速度为 1 cm/s,点 F 由点 C 出发沿 CB 方向向点 B 匀速运动,速度为 2 cm/s,如果动点 E,F 同时从 A,C 两点出发,连结 EF,若设运动的时间为 t s,解答下列问题: (1)当 t 何值时,梯形 AEFB 的面积是 91 cm2? (2)当 t 何值时,四边形 AEFB 是矩形? 解:(1)根据题意,得 AE=t cm,CF=2t cm, 则 BF= (21-2t)cm.因为 S 梯形 AEF B=91, 所以 ×(t+21-2t)×14=91.所以 t=8. 所以当 t=8 时,梯形 AEFB 的面积是 91 cm2. (2)根据题意,得 AE=t cm,CF=2t cm, 则 BF=(21-2t)cm. 因为 AE∥BF,∠B=90°, 所以当 AE=BF 时,四边形 AEFB 是矩形. 所以 t=21-2t.所以 t=7. 所以当 t=7 时,四边形 AEFB 是矩形.